第2课时单调性与最值

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正弦函数、余弦函数的性质第2课时

单调性与最值课标定位素养阐释了解正弦函数和余弦函数的单调性,并能利用单调性比较大小.了解正弦函数和余弦函数的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值.借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间

[0,2π]上的性质.体会数学抽象的过程,提升逻辑推理和数学运算素养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习自主预习·新知导学一、正弦函数、余弦函数的单调性𝟐

𝟐1.观察正弦函数

y=sin

x,x∈

-

𝛑

,

𝟑𝛑

的图象,正弦函数在区间𝟐

𝟐-𝛑

,𝟑𝛑

上函数值的变化有什么特点?𝟐

𝟐提示:观察图象可知,当

x∈

-

𝛑

,

𝛑

时,曲线逐渐上升,可知

y=sin

x在区间

-

𝛑

,

𝛑

上单调递增,sin

x

的值由-1

增大到

1;当

x∈

𝛑

,

𝟑𝛑𝟐

𝟐

𝟐

𝟐𝟐

𝟐时,曲线逐渐下降,可知

y=sin

x

在区间

𝛑

,

𝟑𝛑

上单调递减,sin

x的值由1

减小到-1.2.观察余弦函数y=cos

x,x∈[-π,π]的图象,余弦函数在区间[-π,π]上函数值的变化有什么特点?推广到整个定义域呢?提示:观察图象可知,当x∈[-π,0]时,曲线逐渐上升,函数y=cos

x在区间[-π,0]上单调递增,cos

x的值由-1增大到1;当x∈[0,π]时,曲线逐渐下降,函数y=cosx在区间[0,π]上单调递减,cos

x的值由1减小到-1.推广到整个定义域可得:当x∈[(2k-1)π,2kπ],k∈Z时,余弦函数y=cosx单调递增,函数值由-1增大到1;当x∈[2kπ,(2k+1)π],k∈Z时,余弦函数y=cosx单调递减,函数值由1减小到-1.3.(1)正弦函数在每一个闭区间-

𝛑,

𝛑𝟐

𝟐(k∈Z)上都单调递增,其值从-1

增大到1;在每一个闭区间𝛑,

𝟑𝛑𝟐

𝟐(k∈Z)

上都单调递减,其值由1

减小到-1.(2)余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ]

,k∈Z

上都单调递增,其值从-1

增大到1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π]

,k∈Z

上都单调递减,其值从1

减小到-1.4.函数y=sin

x

在下列区间上单调递增的是()A.[0,π]B.

𝛑

,

𝟑𝛑𝟐

𝟐𝟐

𝟐C.

-

𝛑

,

𝛑

D.[π,2π]解析:由函数y=sin

x

的单调递增区间是[-𝛑+2kπ,𝛑+2kπ],k∈Z,𝟐

𝟐𝟐

𝟐可知当

k=0

时,y=sin

x

在区间

-

𝛑

,

𝛑

上单调递增,故选

C.答案:C二、正弦函数、余弦函数的最值1.观察下图中的正弦曲线和余弦曲线.正弦曲线:余弦曲线:(1)从正弦曲线、余弦曲线上很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R,值域是什么?提示:[-1,1].(2)当x取何值时,正弦函数y=sinx,x∈R分别取得最大值1和最小值-1?𝟐提示:

当且仅当

x=𝛑+2kπ,k∈Z

时,函数取得最大值

1;𝛑当且仅当x=-𝟐+2kπ,k∈Z

时,函数取得最小值-1.

𝟐

2.(1)正弦函数当且仅当

x=

𝛑+2kπ,k∈Z

时取得最大值

1,𝛑当且仅当x=-𝟐+2kπ,k∈Z

时取得最小值-1;(2)余弦函数当且仅当

x=

2kπ,k∈Z

时取得最大值

1,当且仅当x=

(2k+1)π,k∈Z

时取得最小值-1.3.函数y=2-sin

x取得最大值时x的值为

.解析:当sin

x=-1,即x=-𝛑+2kπ(k∈Z)时,𝟐函数y=2-sin

x

取得最大值3.𝟐答案:-𝛑+2kπ(k∈Z)【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打“×”.(1)在区间[0,3π]上,函数y=cos

x仅在x=0时取得最大值1.(

×

)(2)存在实数

x,使得

cos

x=

.(×)(3)余弦函数y=cos

x在区间[0,π]上单调递减.(

√

)合作探究·释疑解惑探究一求正弦函数、余弦函数的单调区间𝟑【例

1】

(1)求函数

y=2sin

𝛑

-

的单调递增区间.(2)求函数y=2𝟒𝛑

-的单调递增区间.𝟑解:(1)y=2sin

𝛑

-𝟑=-2sin(x-𝛑),𝛑令z=x-𝟑,则y=-2sin

z.由y=-2sin

z

的单调递增区间为[2kπ+𝛑,2kπ+𝟑𝛑](k∈Z),𝟐

𝟐可得2kπ+𝛑≤x-𝛑≤2kπ+𝟑𝛑(k∈Z),𝟐

𝟑

𝟐𝟔解得2kπ+𝟓𝛑≤x≤2kπ+𝟏𝟏𝛑(k∈Z),𝟑所以函数

y=2sin

𝛑

-𝟔的单调递增区间为𝟔𝟓𝛑

,𝟔𝟏𝟏𝛑

(k∈Z).(2)y=2𝛑

-=2-

𝛑.结合y=|cos

x|的图象,𝟒

𝛑

𝟒𝛑

𝛑

𝛑可知kπ-𝟐≤x-𝟒≤kπ(k∈Z),得kπ-𝟒≤x≤kπ+𝟒(k∈Z).所以函数y=2𝟒𝛑

-的单调递增区间为[kπ-𝛑,kπ+𝛑](k∈Z).𝟒

𝟒反思感悟用整体替换法求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的单调区间时,如果式子中x的系数为负数,那么先利用诱导公式将x的系数变为正数,再求其单调区间.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式.𝟔【变式训练

1】

(1)求函数

f(x)=2cos -

𝛑

的单调递增区间;𝟑

𝟒(2)已知ω

是正数,函数f(x)=2sin

ωx

在区间

-

𝛑

,

𝛑

上单调递增,求ω

的取值范围.𝟔解:(1)令-π+2kπ≤2x-𝛑≤2kπ,k∈Z,解得-𝟓𝛑+kπ≤x≤𝛑

+kπ,k∈Z,𝟏𝟐

𝟏𝟐故函数f(x)的单调递增区间是[-𝟓𝛑+kπ,𝛑

+kπ],k∈Z.𝟏𝟐

𝟏𝟐𝟐

𝟐(2)由-𝛑+2kπ≤ωx≤𝛑+2kπ(k∈Z),ω>0,得-

𝛑

𝟐𝒌𝛑≤x≤

𝛑𝟐𝝎

𝝎

𝟐𝝎

𝝎𝟐𝒌𝛑(k∈Z).故f(x)的单调递增区间是[-

𝛑𝟐𝒌𝛑

𝛑𝟐𝒌𝛑](k∈Z).根据题意,得

-

𝛑

,

𝛑

[-

𝛑𝟑

𝟒

𝟐𝝎𝟐𝝎𝟐𝒌𝛑𝝎

𝟐𝝎

𝝎𝛑𝝎

𝟐𝝎𝝎𝟐𝒌𝛑](k∈Z).从而有-𝛑𝟐𝝎𝟑-

𝛑

,𝛑 𝛑

,𝟐𝝎

𝟒,𝟑𝟐解得0<ω≤,故ω

的取值范围是𝟐,

𝟑

.探究二正弦函数、余弦函数单调性的应用【例2】利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小:(1)sin

196°与cos

156°;𝟓

𝟒(2)cos -

𝟐𝟑𝛑

与

cos -

𝟏𝟕𝛑

.解:(1)sin

196°=sin(180°+16°)=-sin

16°,cos

156°=cos(180°-24°)=-cos

24°=-sin

66°.∵0°<16°<66°<90°,且当0°≤x≤90°时,y=sin

x

单调递增,∴sin16°<sin

66°.∴-sin

16°>-sin

66°,即sin

196°>cos

156°.𝟓

𝟓(2)cos -

𝟐𝟑𝛑

=cos

𝟐𝟑𝛑=cos𝟑𝛑

=cos

𝟑𝛑,𝟓

𝟓cos -

𝟏𝟕𝛑

=cos𝟏𝟕𝛑=cos𝟒

𝟒𝛑

=cos𝛑.𝟒

𝟒∵0<𝛑𝟒

𝟓𝟑𝛑<π,且y=cos

x

在区间[0,π]上单调递减,∴cos

𝟑𝛑<cos𝛑,𝟓

𝟒即

cos -

𝟐𝟑𝛑

<cos -

𝟏𝟕𝛑

.𝟓

𝟒反思感悟用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时,应先将异名化同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间,再利用单调性来比较大小.【变式训练2】

cos

1,cos

2,cos

3的大小关系是

.(用“>”连接)解析:因为0<1<2<3<π,且y=cos

x在区间[0,π]上单调递减,所以cos1>cos

2>cos

3.答案:cos

1>cos

2>cos

3探究三正弦函数、余弦函数的值域或最值𝟑

𝟔

𝟔【例

3】

(1)求函数

f(x)=2cos

𝛑

,x∈

-

𝛑

,

𝛑

的值域;𝟐

𝟔

𝟔(2)求函数

f(x)=-2cos2x+2sin

x+𝟑,x∈

𝛑

,

𝟓𝛑

的值域.解:(1)因为-𝛑<x<𝛑,所以0<2x+𝛑𝟔

𝟔

𝟑𝟑𝟐𝛑,所以-𝟏<cos

𝛑

<1,𝟐

𝟑所以函数y=2cos𝛑

,x∈

-

𝛑

,

𝛑𝟑

𝟔

𝟔的值域为(-1,2).𝟐(2)由已知可得f(x)=2sin2x+2sin

x-𝟏.𝟔

𝟔令

t=sin

x,因为

x∈

𝛑

,

𝟓𝛑

,所以

t∈

𝟏

,

.𝟐𝟐所以f(x)可化为y=2t2+2t-𝟏=2𝟏

𝟐-1,t∈

𝟏

,

.𝟐

𝟐所以当t=𝟏时,ymin=1;当t=1

时,ymax=𝟕.𝟐

𝟐所以函数f(x)的值域是𝟐,

𝟕

.反思感悟常见的与三角函数有关的求值域或最值的类型有以下几种:(1)形如y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)的函数,令t=ωx+φ,先根据题中x的取值范围,求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性求出y=sin

t或y=cos

t的最值(值域).形如y=asin2x+bsin

x+c(a≠0)的函数,可先设t=sin

x,将函数

y=asin2x+bsin

x+c(a≠0)转化为关于t的二次函数

y=at2+bt+c(a≠0),再根据二次函数的单调性求值域(最值).形如y=asin

x或y=acos

x的函数的最值还要注意对a的讨论.【变式训练

3】

函数

y=2sin2x+2cos

x-3

的最大值是(

)A.-1

B.𝟏𝟐

𝟐C.-𝟏

D.-5解析:y=2sin2x+2cos

x-3=-2cos2x+2cos

x-1=-2

-𝟏

𝟐

𝟏≤-𝟏,故选C.𝟐

𝟐

𝟐答案:C易

错

辨

析求三角函数最值时忽视分类讨论致错𝟑【典例】

已知函数

y=2asin -

𝛑

+b

的定义域为𝟐,𝛑

,函数的最大值为1,最小值为-5,求a

和b

的值.错解:∵0≤x≤𝛑,∴-𝛑≤2x-𝛑𝟐

𝟑

𝟑𝟑𝟐𝛑.𝟐∴-√𝟑≤sin𝟑-

𝛑

≤1.,-

-

,则 解得-

,-

.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解中默认a>0,忽视了对a<0这一情况的讨论,导致丢解.正解:∵0≤x≤𝛑,∴-𝛑≤2x-𝛑𝟐

𝟑

𝟑𝟑𝟐𝛑.𝟐∴-√𝟑≤sin𝟑-

𝛑

≤1.若a>0,则,--

,解得-

,.若a<0,则-

,-解得,--,-

.防范措施形如y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的函数,其最值与参数A的正负有关,因此在解决这类问题时,要注意分A>0和A<0两种情况进行讨论.随

堂

练

习1.下列不等式正确的是()A.sin

11°<cos

10°<sin

168°B.sin

168°<sin

11°<cos

10°C.sin

11°<sin

168°<cos

10°D.sin

168°<cos

10°<sin

11°解析:由诱导公式,得cos

10°=sin

80°,sin

168°=sin(180°-12°)=sin

12°.因为当0°≤x≤90°时,y=sin

x单调递增,所以sin

11°<sin

12°<sin

80°,即sin

11°<sin

168°<cos

10°.故选C.答案:C2.y=sinx-|sin

x|的值域是()A.[-1,0]C.[-