2021年河南省郑州市荥阳第四高级中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年河南省郑州市荥阳第四高级中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若，则tan2α=（） A． B． C． D． 参考答案：考点： 两角和与差的正切函数；二倍角的正切．专题： 三角函数的求值．分析： 由题意和两角和与差的正切函数可的tanα，再由二倍角的正切公式可得tan2α解答： 解：∵，∴tanα=tan[﹣（﹣α）]==，∴tan2α==故选：C点评： 本题考查两角和与差的正切函数，涉及二倍角的正切公式，属基础题．2.如果时总有成立，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.若双曲线C：的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为A.

B.

C.

D.参考答案：B4.集合A=｛0，1，2｝，B={}，则=（

）A.｛0｝

B.｛1｝

C.｛0，1｝

D.｛0，1,2｝参考答案：C=｛0，1｝.5.

的值为（）参考答案：答案：A6.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称

在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.已知点F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称，则双曲线的离心率为（）A． B．

C．2 D．参考答案：D考点： 双曲线的简单性质．专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 求出过焦点F且垂直渐近线的直线方程，联立渐近线方程，解方程组可得对称中心的点的坐标，代入双曲线方程结合a2+b2=c2，由离心率公式解出e即得．解答： 解：过焦点F且垂直渐近线的直线方程为：y﹣0=﹣（x﹣c），联立渐近线方程y=x与y﹣0=﹣（x﹣c），解之可得x=，y=故对称中心的点坐标为（，），由中点坐标公式可得对称点的坐标为（﹣c，），将其代入双曲线的方程可得﹣=1，结合a2+b2=c2，化简可得c2=5a2，故可得e==．故选：D．点评： 本题考查双曲线的简单性质，涉及离心率的求解和对称问题，属中档题8.已知是坐标原点，点，若为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（

）A

B

C

D参考答案：A略9.某正三棱柱的三视图如右图所示，其中正视图是边长为2的正方形，则该正三棱柱的表面积为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B略10.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点（不包括边界），记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是（）A．圆的一部分 B．椭圆的一部分C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分参考答案：B把MN平移到面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为，求点P的轨迹．点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，则点P的轨迹是椭圆的一部分．解：把MN平移到面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为，点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，∵点P是△A1C1D内的动点（不包括边界）∴则点P的轨迹是椭圆的一部分．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中,的角平分线,则的长为

．参考答案：考点：正弦定理余弦定理的运用．【易错点晴】本题设置的目的是考查正弦定理余弦定理在解三角形中的运用.正弦定理的作用是实现三角形中的边角转化；而余弦定理的重要作用是建构方程或不等式.解答本题的关键是如何求出的长,为使用正弦定理创造条件,然而在这里就是运用余弦定理建立关于的方程,从而突破了解答本题的难点.在解答过程中,求出角后,又借助等腰三角形的特征,在中直接使用余弦定理求出了.12.设P是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是__________参考答案：13.对于实数a和b，定义运算a*b=，则式子的值为

参考答案：914.函数是上的单调函数，则的取值范围为

.参考答案：15.已知函数，设，若，则的取值范围是

。参考答案：略16.若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线相切，则圆O的方程是

.参考答案：

17.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是

．参考答案：3【考点】EF：程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a≥20的最小n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：模拟程序的运行过程可得：当n=1，a=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=8，n=2；当n=2，a=8时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=26，n=3；当n=3，a=26时，不满足进行循环的条件，退出循环．故输出n值为3．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.第3小题满分8分.对于数列，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列.某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为,公差为的无穷等差数列的子数列问题，为此，他取了其中第一项，第三项和第五项.(1)若成等比数列,求的值；(2)在,的无穷等差数列中，是否存在无穷子数列，使得数列为等比数列？若存在，请给出数列的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3)他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数，公比为正整数()的无穷等比数

列,总可以找到一个子数列,使得构成等差数列”.于是，他在数列中任取三项，由与的大小关系去判断该命题是否正确.他将得到什么结论？参考答案：解:(1)由a32=a1a5，

…………..2分即(a1+2d)2=a1(a1+4d)，得d=0.

…………………..4分

(2)解：an=1+3(n-1)，如bn=4n-1便为符合条件的一个子数列.

……………..7分因为bn=4n-1=(1+3)n-1=1+3+32+…+3n-1=1+3M,

……………..9分这里M=+3+…+3n-2为正整数，所以,bn=1+3M=1+3[(M+1)-1]是{an}中的第M+1项，得证.

……………….11分

(注：bn的通项公式不唯一)(3)该命题为假命题.

…………………….12分由已知可得,因此,,又,故,

…………..15分由于是正整数，且，则,又是满足的正整数，则,,所以，>,从而原命题为假命题.

………..18分19.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若，求的值。参考答案：解：（Ⅰ）已知函数即，……3分令，则，即函数的单调递减区间是；…………6分（2）由已知，………………9分当时，.……12分

略20.（本小题满分14分）已知，其中。(I) 若与的图象在交点(2，k)处的切线互相垂直，求a，b的值；(II)

(Ⅱ)当时，求F(x)的最大值；(Ⅲ)若x=2是函数F(x)的一个极值点，和1是F(x)的两个零点，且，求n．参考答案：21.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB与BB1的中点。

（I）求证：EF⊥平面A1D1B；

（II）求二面角F—DE—C的正切值；

（III）若AA1=2，求三棱锥D1—DEF的体积。

参考答案：解析:方法一：（I）∵E、F分别为AB与BB1的中点

∴EF∥AB1，而AB1⊥A1B，∴EF⊥A1B又D1A1⊥平面ABB1A1，∴D1A1⊥EF，∴EF⊥平面AD1B1

…………2分

（II）设CB交DE的延长线于点N，作BM⊥DN于M点，连FM∵FB⊥平面ABCD，∴FM⊥DN，∴∠FMB为二面角F—DE—C的平面角

…………5分设正方体棱长为a，则中，∴二面角F—DE—C的正切值为

…………8分

（III）连结DB，∵BB1∥DD1

…………12分方法二：如图所示，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—ACD1，不妨令正方体的棱长为2。

（I）∵E、F分别为AB与BB1的中点∴E（2，1，0），F（2，2，1），A1（2，0，2）D1（0，0，2），B（2，2，0），，，…………2分，

（II）显然，平面DEC的法向量为解得

…………6分记二面角F—DE—C的平面角为α，故二面角F—DE—C的正切值◆

…………8分22.在等比数列{an}中，a1=1，且a2是a1与a3﹣1的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足．求数列{bn}的前n项和．参考答案：【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q，运用等差数列的性质