2021-2022学年广东省深圳市蛇口科爱赛国际学校高三数学文上学期期末试卷含解析

2021-2022学年广东省深圳市蛇口科爱赛国际学校高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某一随机变量X的概率分布如下，且E（X）=6.9，则a的值为

(

)X4a9Pm0.20.5A.5

B.6

C.7

D.8参考答案：B略2.函数的图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A由知，CD排除；存在的多个根（如）排除B.故选：A

3.不等式的解集是

(

)A.

B.

C.D、参考答案：B4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，则a4=（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出a1=﹣1，d=2，由此能求出a4的值．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=24，S9=63，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴a4=﹣1+2×3=5．故选：B．5.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为2,动点满足，当P、A、B不共线时，三角形PAB面积的最大值是（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】由题，设点，根据题意，求得圆的方程，再求得P点的位置，即可求得面积的最大值.【详解】以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则：设,，两边平方并整理得：，当点P到AB（x轴）的距离最大时，三角形PAB的面积最大，此时面积为故选：A【点睛】本题考查了曲线的轨迹方程，熟悉圆的定义和求轨迹方程是解题的关键，属于中档题型.6.已知函数，若，则（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由题意首先构造奇函数，然后利用奇函数的性质求解函数值即可．【详解】由题意可得：是奇函数，则：，∴，即：，∴．故选：D【点睛】本题考查了奇函数的性质及其应用，函数值的求解等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1与BD所成的角为（）A.45° B.90° C.60° D.120°参考答案：C【分析】通过平移直线作出异面直线AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得．【详解】如图，连结BC1、BD和DC1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．8.设z1=1+i，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，则=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知求得复数z2，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=1+i，且复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，∴z2=1﹣i，则=．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．9.设,则“”是“复数为纯虚数”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C略10.已知变量x，y满足约束条件，则z＝3x＋y的最大值为（

）A、4B、5C、6D、7参考答案：D试题分析：因为约束条件表示一个三角形及其内部,所以目标函数过点时取最大值：考点：线性规划求最值.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本C与产量q(q∈N*)的函数关系式为C=100+4q，销售单价p与产量q的函数关系式为．要使每件产品的平均利润最大，则产量q等于_______．参考答案：【知识点】基本不等式E1【答案解析】40解析：解：销售收入利润每件产品的平均利润因为所以当且仅当时每件产品的平均利润最大，所以答案为40【思路点拨】表示出销售收入、利润、每件产品的平均利润，利用基本不等式即可求得最大值及产量值.12.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）?B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）参考答案：①③④【考点】命题的真假判断与应用；充要条件；全称命题；特称命题；函数的值域．【分析】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．【解答】解：（1）对于命题①，若对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，则f（x）的值域必为R．反之，f（x）的值域为R，则对任意的b∈R，都?a∈D使得f（a）=b，故①是真命题；

（2）对于命题②，若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值，故②是假命题；

（3）对于命题③，若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．故f（x）+g（x）∈（﹣∞，+∞）．则f（x）+g（x）?B，故③是真命题；

（4）对于命题④，∵﹣≤≤，当a＞0或a＜0时，aln（x+2）∈（﹣∞，+∞），f（x）均无最大值，若要使f（x）有最大值，则a=0，此时f（x）=，f（x）∈B，故④是真命题．故答案为①③④．13.某程序框图如右图所示，现将输出（值依次记为若程序运行中输出的一个数组是

则数组中的

参考答案：3214.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心。若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________参考答案：（1）(,1)（2）201315.已知直线，则直线斜率的取值范围________。参考答案：16.已知上的投影为

.参考答案：317.已知随机变量的分布列如下表所示，的期望，则a的值等于

。0123P0．1ab0.2参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某辆汽车以x千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为(x－k+)升，其中k为常数，且60≤k≤100．（1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）将x=120代入每小时的油耗，解方程可得k=100，由题意可得（x﹣100+）≤9，解不等式可得x的范围；（2）设该汽车行驶100千米油耗为y升，由题意可得y=?，换元令t=、化简整理可得t的二次函数，讨论t的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值．【解答】解：（1）由题意可得当x=120时，==11.5，解得k=100，由（x﹣100+）≤9，即x2﹣145x+4500≤0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为[60，100]；（2）设该汽车行驶100千米油耗为y升，则y=?=20﹣+（60≤x≤120），令t=，则t∈[，]，即有y=90000t2﹣20kt+20=90000（t﹣）2+20﹣，对称轴为t=，由60≤k≤100，可得∈[，]，①若≥即75≤k＜100，则当t=，即x=时，ymin=20﹣；②若＜即60≤k＜75，则当t=，即x=120时，ymin=﹣．答：当75≤k＜100，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20﹣升；当60≤k＜75，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为﹣升．19.在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线，已知过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于两点。（1）写出曲线和直线的普通方程；（2）若成等比数列,求的值参考答案：解：（1）C:（2）将直线的参数表达式代入抛物线得

代入得略20.(本小题满分12分)如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点为的中点.（1）求证：；

（2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.参考答案：解：（Ⅰ）

,点E为的中点,连接的中位线//

……2分又

………4分（II）正方形中,

,

由已知可得：，

,

…………8分故当时，二面角的大小为

……………12分(注：其它方法同样得分)21.(本题满分10分)选修4

-5：不等式选讲设函数，.(I)求证；(II)若成立，求x的取值范围.参考答案：（Ⅰ）．

…5分（Ⅱ）∵，∴要使成立，需且只需，即，或，或，解得，或故的取值范围是.

…10分略22.某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表。该蛋糕店一天制作了这款蛋糕个，以x（单位：个，，）表示当天的市场需求量，T（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润.需求量/个[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]天数1525302010（1）当时，若时获得的利润为，时获得的利润为，试比较和的大小；（2）当时，根据上表，从利润T不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天.（i）求此时利润T关于市场需求量x的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；（ii）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为，求随机变量的分布列及数学期望.参考答案：(1).(2)（i）3;（ii）见解析.【分析】（1）求出,再比较和的大小；（2）（i）先求