2021-2022学年云南省昆明市北大村中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年云南省昆明市北大村中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为A.2000

B.4096

C.5904

D.8320参考答案：答案：C解析：10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，选C2.执行如图所示的程序框图，输出的结果是A.5B.6C.7D.8参考答案：B3.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（

）A.4 B. C.2 D.参考答案：C【分析】由题意得m＝2sin18°，4﹣m2＝4cos218°，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，计算即可得解．【详解】由题意得m＝2sin18°，4﹣m2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，∴＝．故选：C．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.已知△OAB是边长为1的正三角形，若点P满足，则的最小值为（

）A．

B．1

C．

D．参考答案：C5.圆上的动点P到直线x+y－7=0的距离的最小值等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A6.一个正三棱柱和它的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（）A．16 B．18 C．8+24 D．24+参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，结合三视图的数据，直接求出三棱柱的表面积即可．【解答】解：由题意可知正三棱柱的底面是正三角形，高为2，边长为4，两个底面面积和为：2×=8，侧面积为：3×4×2=24．所以表面积为：8+24．故选C．7.已知集合，则集合（）(A)

(B)[0,1]

(C)

(D)参考答案：C因为，所以，∴选C．8.若O是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABC一定是（

）

A．等边三角形B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰直角三角形参考答案：B9.若全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，7}，集合B={1，4，7}，则集合（?UA）∩B=（）A．{4} B．{1，2，4，6，7} C．{3，5} D．{1，7}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】直接利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：由U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，3，5，7}，得?UA={2，4，6}，又B={1，4，7}，∴（?UA）∩B={4}．故选：A．10.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为__________．参考答案：.【分析】列举出从1,2,3,4中选取两个不同数字组成的全部两位数，数出能被3整除的两位数的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】从1,2,3,4中选取两个不同的数字组成的所有两位数为：，共计12个基本事件，其中能被3整除的有：，共有4个基本事件，所以这个两位数能被3整除的概率为．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，列举出基本事件的总数，再得出所有事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12.已知变量满足约束条件若取整数，则目标函数的最大值是

.参考答案：5

13.已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为

．参考答案：4【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．【解答】解：由|f（x）+g（x）|=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x）=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g（x）与φ（x）=﹣f（x）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为4．故答案为：4．【点评】本题考查求方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.函数的图象向左平移个单位得出函数，则

▲

．参考答案：则

15.（5分）在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，若=+m（0＜m＜1），则?的取值范围是

．参考答案：[﹣，﹣1）考点： 平面向量数量积的运算．专题： 计算题；函数的性质及应用；平面向量及应用．分析： 运用向量的数量积的定义可得，?=4，运用向量的三角形法则，化简?=4m2﹣2m﹣3，再由二次函数在闭区间上的最值求法，即可得到范围．解答： ?=||?||?cos60°=4×=4，若=+m（0＜m＜1），则?=?=（+m）?（﹣）=（+m）?（m﹣）=m2﹣﹣m=4m2﹣2m﹣3=4（m﹣）2﹣，由于0＜m＜1，则m=，取得最小值﹣，又m=0，4m2﹣2m﹣3=﹣3；m=1，4m2﹣2m﹣3=﹣1．则有?的取值范围为[﹣，﹣1）．故答案为：[﹣，﹣1）．点评： 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查二次函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．16.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

．参考答案：6π+4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱和三棱锥组成的组合体，分别求出两者的体积，相加可得答案．解答： 解：由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆柱和三棱锥组成的组合体，半圆柱底面半径R=2，高h=3，故半圆柱的体积为：=6π，三棱锥的底面是两直角边长为2和4的直角三角形，高为3，故三棱锥的体积为：=4，故组合体的体积V=6π+4，故答案为：6π+4．点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．17.双曲线的渐近线方程是

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

在长方体中，，分别是所在棱的中点，点是棱上的动点，联结．如图所示．(1)求异面直线所成角的大小(用反三角函数值表示)；(2)(理科)求以为顶点的三棱锥的体积．(文科)求以为顶点的三棱锥的体积．参考答案：(1)联结，在长方体中，有.

又是直角三角形的一个锐角，∴就是异面直线所成的角.

由，可算得.

∴，即异面直线所成角的大小为.

(理)(2)由题意可知，点到底面的距离与棱的长相等．

∴．

∵，∴．

(文)(2)由题意可知，点到底面的距离与棱的长相等．

∴．

∵，∴．

19.数列{an}中，a1=1，an﹣an+1=anan+1，n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）Sn为{an}的前n项和，bn=S2n﹣Sn，求bn的最小值．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）由a1=1，an﹣an+1=anan+1，n∈N*．可得=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：bn=S2n﹣Sn=+…+．再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a1=1，an﹣an+1=anan+1，n∈N*．∴=1，∴数列是等差数列，公差为1，首项为1．∴=1+（n﹣1）=n，可得an=．（2）由（1）可得：Sn=1++…+．∴bn=S2n﹣Sn=+…+．∴bn+1﹣bn=+…+++﹣（+…+）=+﹣=﹣＞0，∴数列{bn}单调递增，∴bn的最小值为b1=．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若△ABC的面积为，求b的值．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，又a=2b，利用余弦定理可求cosA＜0，可得A为钝角，即可得解．（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求bc=24．又，进而可求b的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：由正弦定理：，∴sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=3sinC，∴sinA+sinB+sin（A+B）=3sinC．又∵sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，a=2b，所以，所以，所以A为钝角，故△ABC为钝角三角形．

…（6分）（2）解：因为，∴．又，∴，∴bc=24．又，所以，∴b=4．

…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．21.（本题满分12分）现有8名语、数、外成绩优秀者，其中语文成绩优秀，数学成绩优秀，外语成绩优秀，从中选出语、数、外成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛。(1)求被选中的概率。(2)求和同时被选中的概率。参考答案：22.（本小题满分13分）设函数（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；（Ⅱ）若函数在存在单调递增区间，试求实数的取值范围；（Ⅲ）求函数的极值点.参考答案：（1）的定义域为，，在上增函数，