公共基础数学第一章

jj1.6.1 （2）n推论2行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面5行列式的某一列（行）6把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列划掉后，留下来的n－1阶行列式叫做元素aij的式，记作Mij称作元素aij的代数 乘n范行列式设为n阶行列式，AmBn A.-2或 B.2或 C.2或- D.-2或-由m×n个数排成的m行n列的数为当m=n时，称为n阶方阵，记为负矩阵，显然A+(-1.6.2m×n矩阵 矩阵乘法的性 （2014设AB为三阶方阵且行列式 A*为A的伴随矩阵则行列式 A. B.- C. D.-例（2011）设，则A-1 A.B.C.D.k≠0（列或或或或AAmAAn3AP1P2PlAP1P2Pl这2ABmPnQPAQm×nAkkkm，k≤nk2A所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。显然，m×n矩阵A的k阶子式共有。ArDr1（如果存在的话）DrAR(A)。根据行列式按行（列）Ar2（如果存在的话）r1Ar1r2零．事实上，所有高于r+1阶的子式（如果存在的话）也都等于零．AAAsR(As若矩阵A中所有t阶子式等于零，则R(A)<t．AnAn|A|当|A|≠0时，R(A)=n;当|A|0R(AnAm×nR(AmAR(AnAAm×n0≤R(A)≤min(mn)R(AT)=R(A)=R(ATA)若A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，则Am×nBn×lCR(A)nR(B)定理：nAxR(AR(A,R(A)R(A,b)nR(AR(Abn．推论：1）k1,k2,…,kn-rn-rR(AR(B)r，r0n-r（自由未知量）表示，并令自由未知量分别等于k1,k2,…,kn-r，即可写出含n-r个参数的通解。 rrrr-1 A.- B.- C. D. ，已知A*的秩为1，则a A.- B.- C. D.a1A*OR(A*)0a=-2时，R(A*)=1，na1,a2annnniin0A：a1a2amk1k2表达式：k1a1+k2a2+…+kmam称为向量组A的一个线性组合，k1,k2,…,km 给定向量b和向量组A：a1,a2,…,am，如果存在一组实数k1,k2,…,km，使b=k1a1+k2a2+…+kmam，x1a1+x2a2+…+xmam=bAx=b A：a1a2amk1k2向量组A：a1,a2,…,am线性无关若k1a1+k2a2+…+kmam=0，则必有k1=k2=…=km=0。单个向量线性相关a=0A：a1a2amAa1a2 齐次方程组x1a1+x2a2+…+xmam=0，即Ax=0有非零解定理：向量组a1,a2,…,am线性相关 矩阵A(a1,a2,…,am)的秩R(A)<m；向量组a1,a2,…,am线性无关 矩阵A(a1,a2,…,am)的秩R(A)=m；向量组a1,a2,…,am(m≥2)线性相 其中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示 a1a2am线性无关，a1a2ambba1a2am线性表示，且表示式a1a2ar线性相关，则a1a2am(mr)线性相关，也即若部分组相关，则整体组相关。推论1含有零向量的向量组线性相关。a1,a2,amnmna1,a2,am推论：n+1个n维向量一定线性相关。例（2009）设A是m×n非零矩阵，B是n×l非零矩阵，满足AB=O，以下选项不一定成立的是 r(A)+r(B)≤答案：AABrA0，rB)0AB=OrArB)nDr(A)n，r(B)nABB、C 例（2014）nAxBrAn2，α1,α2,α3为其线性无关的解向量，k1k2为任意常数，则Ax=B（）答案：Cr(An2nAx02α2-α1、α2-α3Ax0Ax0α1AxB1.6.5AnlnxAxλxlA，xA值l的特征向量。λ是矩正A的特征值λ是方程的根n阶方阵Anλ1,λ2λnAn×n的互异特征值为λ1，λ2λnp1p2pnp1,p2A和B相 A和B特征值相反身性：AABB 存在常 和，使得是A的特征向仅当，是A的特征向 已知矩阵 A.a=1,λ3=-B.a=C.a=-D.a=-5,λ3=-，， 例（2011）A3，P=(a,αα3P-1APdiag(1,2 3α),则Q-1AQ= 3A.B.C.x1x2,xnnaa(jif ij 1其中A(a，xxxxTAf ij 1ABxTAxxTBx合同矩阵的性质：1）AA：ETAE=AABR(A)RxCy1）系数不为0的平方项的个数一定是r定理：是正定二次型f的标准性中f的标准形中di>0(i=1,