数学观与高中数学教学

数学观与高中数学教学第1页，课件共26页，创作于2023年2月一．“数学是什么？”“数学是什么？”是数学观的核心问题，它包括数学的研究对象、数学的本质特性、数学的真理性以及数学的价值等等。它是人们对数学科学认识的基本观点和总的看法。本部分的目的：掌握数学观的基本观点，为数学教育教学打下理论基础。“有一种观点严重威胁着科学的生命：数学是一门不知所云的学科，它只是从定义和公理出发推导出来的一系列结论，而这些公理除了必须互相一致以外，完全出自数学家心灵的自由创造。如果这种说法正确的话，那么数学就不可能吸引任何一个有智慧的人。它将是定义法则和三段论的游戏，既无动力也无目的。”—(美)柯朗·罗宾斯《数学是什么？》第2页，课件共26页，创作于2023年2月（一）数学是关于客观世界的数量关系与空间形式的知识体系。知识性。1．数学研究的对象。“纯数学的对象是现实世界的数量关系与空间形式”（1）凡是研究事物的量、量的关系、量的变化、量的关系的变化、量的变化的关系的时候，就少不了数学。事物的量数量关系：数的概念—数系（实数、复数）—代数系统（群、环、域）—超限数（有限、无限）空间形式：形的概念（点、线、面、体）—欧氏几何及空间（长度、面积、体积计算）—摄影几何及空间（图形的透视性质）—拓扑学及空间（图形连续性）；空间维数，2、3维—n维—无穷维；平直—弯曲。第3页，课件共26页，创作于2023年2月(2)早期：以研究数量、数量关系为主要特征的是属算术与代数范畴;以研究空间形式和形的关系为主要特征的属几何学范畴；以研究（17世纪）数与形结合的，产生了解析几何与微积分—分析学（形、数关系）。（3）最初来自外部经验世界（现实世界）—数学内部逻辑定义的各种空间形式及数量关系，而且是反复作用的结果。２．数学的主要内容。就数学与现实生活的联系来说,大致分为两大类—纯粹数学与应用数学。●纯粹数学：研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系,即研究数学本身的规律的科学。如集合类、代数类及分析类的各门学科。第4页，课件共26页，创作于2023年2月●应用数学：研究如何从现实问题中抽象出数学规律及如何把已知的数学规律应用于现实问题的科学。如数理方程、运筹学、概率论、数理统计、计算数学、计算机科学以及新兴的：控制论、信息论、系统论、生物数学、数学地质学、数量经济学、定量社会学等。3．数学的真理性：是指数学理论是否正确反映了客观实在的规律性。（1）数学理论是逻辑的发展起来的，在逻辑上是正确的，称为逻辑真理。（2）数学理论靠实践检验，当验证了它是客观世界的正确反映时，成为现实真理。（3）检验不一定是直接的数学应用，大量的是间接的、由其他科学或领域检验的。第5页，课件共26页，创作于2023年2月（4）检验要经历时间或过程。如：公元前三世纪阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》，在1800年后，才在光学抛物镜研究和天体运动理论中得到具体应用；黎曼几何（非欧）在爱因斯坦的广义相对论中得到应用。4．数学是一个严密的知识体系。公理化体系或由概念、判断、推理形成的演绎体系。（二）数学是人类社会实践活动的结晶，是推动社会发展的动力之一。一般说来，大部分数学分支中那些最初最老的问题，都是起源于经验，是由外部世界所提出。算术与初等代数、欧氏几何学都起源于生产和生活实践，就连人们认为的高等数学最初也从实践中产生。1．微积分产生的背景：力学（物体、落体、抛射体）、天文学（天体运动）以及几何学中提出的问题。第6页，课件共26页，创作于2023年2月（1）求运动物体的瞬时速度和加速度及求物体移动的距离。（2）求曲线的切线。（3）求函数的最大值和最小值。（4）求曲线的长度、由曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心等。2．概率论的产生背景：对现实世界中大量随机现象的研究。（1）早期的概率论是与赌博的数学研究有关。1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算胜，全部赌本就归胜者。但是，当其中一人赢了a（a＜m）局，另一个赢了b(b＜m)局的时候，赌搏中止。问：赌本应当如何分法才合理？”3年后，著名的物理学、天文学兼数学家惠更斯，用排列组合的方法，研究了这个及一些更复杂的赌搏问题，写成了《论机会游戏的计算》一书，这是最早的概率论著作。第7页，课件共26页，创作于2023年2月（2）机遇搏弈问题（帕斯卡、费马等人）。（3）保险事业的需要。等等。3．中国算术产生的背景。中国古代的数学包括算术和代数，主要是为解决生产和生活实践中提出问题而产生的。最著名的《九章算术》（公元一世纪左右）包括246道数学问题，按问题性质分属九章：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股，各章按解题法则又分为若干类，解题法则叫做“术”。各章含义如下：方田：专讲各种形状地亩面积计算和有理数四则运算；粟米：专讲各种谷物之间的兑换问题，主要涉及比例运算；衰分：多与商业、手工业及社会制度有关的问题主要是配分比例计算法；第8页，课件共26页，创作于2023年2月少广：主要是开平方、开立方的问题；商功：主要涉及各种立体图形体积算法；均输：主要是涉及赋税、徭役、运输等比较复杂的配分比例计算方法；盈不足：各种盈亏问题的解法；方程：相当于方程组的解法；勾股：主要是勾股问题的解法及简单的勾股测量。由此，我国古代数学主要特点是应用于计算，以算为中心每题的体例统一为“今有…，问…几何？答曰…。术曰…。”采用“寓理于数”的理论方法。数学的广泛应用，也促进了社会的发展。第9页，课件共26页，创作于2023年2月（三）数学是人类辩证思维的工具。数学来自于实践，但是经过从具体到抽象的过程后，数学就成了脱离现实的独立的理论体系，在其运算过程、证明过程、解决问题或新的观察过程中，不断产生、发现新矛盾新问题或悖论。为了解决这些矛盾，人们运用抽象思维创立新的概念、判断和理论，于是就促成新学科的产生。在近现代数学中，数学自身的矛盾不断推动数学向前发展。主要思维方法是：联想、类比、分类、演绎、归纳、分析、综合、悖论、猜想等逻辑推理（证明）方法及发散思维、计算方法等。1．非欧几何的产生。（1）它是由欧氏几何学中“平行公设”引发的一场革命。第10页，课件共26页，创作于2023年2月（2）问题：“平行公设”（第五公设）是否与其它公理、公设相关。（3）解决：1825年俄国数学家罗巴切夫斯基，创立非欧几何。罗氏几何是包括公设“过已知直线外一点可以做两条以上的直线与已知直线平行”及其他欧式公理、公设在内的、具有相容性的新的数学体系。这证明了欧氏“平行公设”是独立的，不能从其他公理、公设中推出。（4）思维方式：发散的逆向思维，间接证明法。2．“数学基础”这门新学科的诞生（1）所谓数学基础在原始意义上，是指以某种较为简单的数学理论为基础，并按照一定的原则去建立（或重建）另一种比较复杂的数学理论（甚至全部数学理论）。集合论创立后，数学家认为集合是全部数学理论的基础。第11页，课件共26页，创作于2023年2月（2）问题：1902年,罗素发现集合论悖论（通俗称为理发师悖论）—由“所有正常集合组成的集合是否属于自身”的问题。使集合论产生了危机。（3）研究：形成了数学基础的公理化，以及以罗素为代表的逻辑主义学派；布劳威尔为代表的直觉主义学派；希尔伯特为代表的形式主义学派。并开创了（元数学）的研究。但数学基础问题至今从数学上未有完全解决。（4）思维方法：从对“数学基础”的不同的哲学立场去研究；从数学自身采用了更加抽象的公理化方法。3．数系的拓展。4．歌德巴赫猜想，等等。数学是思维的体操第12页，课件共26页，创作于2023年2月(四)数学是用符号语言表达的逻辑体系。1．使数学成为形式化的科学，具有高度的抽象性和精确性。2．符号化语言包含的信息量大，大大简化了数学运算或推理过程，加快了数学思维的速度。3．便于世界各国进行数学交流，促进数学的发展和传播。4．数学符号具有“可操作性”，便于做出新的数学发现和创造。5．体现了数学美：简洁、精确、严密、对称、和谐等美的特性。第13页，课件共26页，创作于2023年2月（五）数学是文化的重要组成部分。●数学与一个民族、地区（或国家）的思维传统、文化传统、生活传统习惯、地理环境、社会制度（政治的、经济的）等等均有直接的关系，世界各国形成了许多不同的数学特色。●如中国古代数学特色：“经世致用”、“寓理于数”、“使用算器，以算为主”。●古希腊数学特色：重理性思维，演绎逻辑体系。（六）数学也是重要的实验科学。计算机的产生，使人类进入信息时代。利用计算机可以进行模拟试验，计算和数据处理。第14页，课件共26页，创作于2023年2月二．数学观对高中数学教学的影响基于对数学的上述观点，应该如何认识高中数学课程？如何从事高中数学教学，实现课程的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的功能。（一）数学课程是一个多元的复合体。数学课程应被看作是一个由理论、方法、思想、问题和符号语言等多种成分组成的复合体1、理论：中学数学是一门演绎科学的理论体系。它是由概念、判断（公理或命题）、推理（定理、公式、规则、推论）组成。以上这些概念型、方法型知识是数学的表层知识，是结论性知识。第15页，课件共26页，创作于2023年2月2．方法：它是非常丰富的技能类知识。它包括数学证明、数学计算以及数学发现的方法。●在中学数学中，它包括一些基本方法或技能方法，如换元法、代入法、合并同类项法、因式分解法、判别式法、配方法、加减消元法、待定系数法、恒等变形法、放缩法、比较法、叠加法等等。基本的数学方法或技能具有可操作性和可模仿性。3．思想与思想方法。中学数学思想是指对中学数学客观规律的本质认识。在中学数学中有四个最重要而且最基本的数学思想，即集合思想、数学结构思想、对应思想和转化思想。在这方面要在长期教学实践中进行渗透、培养才能掌握。●还包括一些重要的数学方法，它属深层知识：如数学模型法、数形结合法、函数法、变换法以及类比法、归纳法、猜想等重要的数学发现方法。第16页，课件共26页，创作于2023年2月（1）集合思想：整体思想在数学中就是集合思想，可以用来理解一些概念型数学模型（如各种数系）和方法型数学模型；数形结合法（体现代数与几何两大集合间的对应关系）；函数及函数法（两个集合间的一种特殊对应，定义域和值域都是集合）；分类法（实质是集合的分类）；变换法（将一个集合中的问题转化为另一个集合中的问题）等等。（2）数学结构思想：●皮亚杰认为：所谓“结构”，就是指一个有诸种转换规律组成的整体。整体性、转换性和自我调节性是结构的三大特征。●在中学数学中强调结构思想主要是强调数学知识间的广泛联系。如，数系的拓展就体现了各种数系（实数、虚数、有理数、无理数、整数、分数、正数、负数）的结构及从属关系；第17页，课件共26页，创作于2023年2月●再如，方程间的同解变换，代数式间的恒等变换，几何图形的位置变换等等，变换实质上就是转换法则。注意，转换法则对于某个（些）数学结构来讲应该是封闭的，如数系结构中的元素通过转换法则，必须仍是该数系结构中的元素。（3）对应思想：在实践中，人们总是根据事物的本质属性，外部特征和行为规则将事物分类，这些类（集合）的个体之间可以构成各种各样的对应关系，这种对应关系在数学中就是对应思想。在中学数学中，对应思想主要体现于运用数学方法分析问题和处理问题的过程中。如数学模型与原型之间的对应，数形结合的对应，函数（一种特出的对应）原集合与子集合之间的对应，变换法中的问题对应等等。第18页，课件共26页，创作于2023年2月（4）转化思想：●事物之间的普遍联系，使得事物间可以相互转化。在解决数学问题时，对于一些直接求解较为困难的问题需要转化为一个新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的。这一思想方法就是转化思想。●在中学数学中，分析、处理和解决问题时，采用的化繁为简、化难为易、化未知为已知，直到转化为熟知、易解决问题为止。如将实际问题转化为数学问题、几何问题与代数问题之间的相互转化、特殊问题与一般问题的相互转化等等。除以上数学思想外，还有优化思想、概率统计思想等。●思想与思想方法属于数学的深层次知识，必须在长期的数学教学、学习与实践中，逐步的去体会、发掘、渗透，才能掌握，从而真正形成知识、技能和数学素养。第19页，课件共26页，创作于2023年2月4．问题●希尔伯特指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或终止”●所谓问题，是指一个人面临的某个他所不认识的，或按照已知的法则不能解决的东西。它有接受性、障碍性、探究性等特点。●在中学数学中，学生要了解所学的每个数学学科（代数、立体几何、解析几何、微积分、概率论与数理统计）产生的背景（基本问题）；能够把实际问题转化为数学问题（提出问题），分析数学问题，建立数学模型并予以解决；把已有数学知识应用于解决日常生活问题等等。●提出数学问题，解决数学问题，应用数学知识，是激发学生学习数学、建构数学知识的核心，是挖掘数学潜能、培养学生数学素质的关键问题。第20页，课件共26页，创作于2023年2月5．符号语言●符号语言是数学思维的工具，数学越抽象，符号越精细，语言越加形式化。数学符号语言在数学学习中极为重要。●学生要了解基本符号、运算符号和关系符号所表达的数学概念的内涵与外延；用符号语言思维并与其他人交流；用正确符号语言建立数学模型；表达数学的逻辑成分，并用逻辑思维与推理方法描述和证明数学问题。特别要注重集合语言的掌握和普遍使用。●对以上几种成分的相互关系可以简单标为：第21页，课件共26页，创作于2023年2月符号语言问题理论方法及思想方法表述工具表述工具研究工具研究工具解答第22页，课件共26页，创作于2023年2月(二)高中数学教学的原则。著名数学家柯朗指出：数学教育“正在出现严重危机。不幸的是，数学教育工作者对此应负责任。数学的教学逐渐流于无意义的单纯演算习题的训练。固然可以发展形式演算能力。但却无助于对数学的真正理解，无助于提高独立思考能力。……忽视应用，忽视数学与其他领域之间的联系，这种状况丝毫不能说明形式化方针是正确的；相反，在重视智力训练的人们中必然激起強烈的反感。”