数值分析课程内容自己看

数值分析课程课件内容自己看第1页，课件共26页，创作于2023年2月几何意义：用线性、抛物线等简单函数近似表示原函数。

插值函数类的选取:代数多项式(多次式插值)，三角多项式，有理多项式等最简单的插值多项式:

使得:有n+1个未知数，n+1个方程求解。第2页，课件共26页，创作于2023年2月4.1.2插值多项式的存在唯一性求未知数：

其系数行列式为范德蒙行列式(Vandermonde)

例如n=2时，

有唯一解。利用第3页，课件共26页，创作于2023年2月特殊情况：n=0时，即过一点可知

插值函数为过的直线.

n=1时,

即为过两点的直线。第4页，课件共26页，创作于2023年2月4.2拉格朗日插值（Lagrange意大利籍法国数学家）

使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。

对节点中任一点,作一n次多项式

，使它在该点上取值为1，上为0，即

则插值多项式为:

而在其余点

第5页，课件共26页，创作于2023年2月构造过程：上式表明：n个点都是其中为待定系数。

∵

(i=k时)

∴∴n次拉格朗日插值多项式为：的零点。第6页，课件共26页，创作于2023年2月常用的拉格朗日插值多项式：

n=1时，称为线性插值，n=2时，称为二次插值或抛物线插值，例题：已知用线性插值的近似值。

和抛物线插值计算第7页，课件共26页，创作于2023年2月解：首先是线性插值：节点为:∴

抛物线插值：

精确值为,抛物线精度相对高些.第8页，课件共26页，创作于2023年2月4.3插值余项区间[a,b]上使用插值多项式近似f(x),节点上没有误差，其它点上一般存在误差，记称为近似代替的截断误差，也称为的插值余项.

可由下面定理来估计定理：设f(x)在区间[a,b]上有直到n+1阶导数，为互不相同的节点，为满足的n次插值其中

，且与x有关。

除了在多项式，则对任何有:第9页，课件共26页，创作于2023年2月证明：考虑插值节点上有∴这些节点是的零点,可设

①其中为待定函数（与x有关），需确定.对分析知：

当时，①式左边=右边=0，此时可为任意函数。

当时，为使①式成立，需为∴为了计算，引入辅导函数

第10页，课件共26页，创作于2023年2月②

可知至少有n+2个零点：.由罗尔定理知:在的两个相邻零点间至少有一个零点。∴至少有n+1个零点，以此类推，

至少有一个零点，即

对②关于t求n+1阶导数：(为n次多项式），因为

所以

第11页，课件共26页，创作于2023年2月注意：，即使得

2.该定理中，当f(x)具有（n+1）阶导数才可使用且在求误差时，利用求得，即

例：前面例子中，求线性插值和抛物线插值在

处的误差限。1.若f(x)本身为不超过n次多项式，则一定可构造出即第12页，课件共26页，创作于2023年2月解：线性插值：第13页，课件共26页，创作于2023年2月抛物线插值：4.4带导数插值条件的插值利用拉格朗日插值和待定系数法求导数插值条件的插值，一阶导数在几何图形中具有几何意义，（例如参数曲线中的切矢量，包括切线方向和模长）

第14页，课件共26页，创作于2023年2月如何构造，通过下例说明：例：已知节点上函数值和处的导数值,构造一个次数不超过3的多项式,要求满足：且

解：对三节点，可先构造二次拉格朗日插值令其中为不超过3次的多项式因为是和的零点,第15页，课件共26页，创作于2023年2月即也是的3个零点,可设A为待定系数（1）通过计算知，且利用(1)式可求出A,从而得到

所以第16页，课件共26页，创作于2023年2月注意：（1）也可直接设A为待定系数，利用导数条件，求出A，一般情况下也有可能为二次多项式，原来方法更加准确。

（2）求余项:R(x)=f(x)－P3(x)易知:

x0,x2是R(x)的一重零点，x1为R(x)的二重零点,

∴R(x)可写为R(x)=K(x)(x－x0)(x－x1)2(x－x2)①其中K(x)待定函数

可知：当x=x0,x1,x2时，K(x)可取任意数，式①都成立（此时左=右=0）

但求出的通常为3次多项式，第17页，课件共26页，创作于2023年2月当x≠x0,x1,x2时，∴引入辅助函数K(x)(x－x0)(x－x1)2(x－x2)可知在插值区间内有5个零点：

x0,x1(二重),x2,x

反复应用罗尔定理知：在区间内至少有一个零点，(∵)∴∴插值余项为R(x)=在插值区间内与x有关.所以若K(x)为R(x)/(x－x0)(x－x1)2(x－x2)式①也成立。记为ξ,第18页，课件共26页，创作于2023年2月4.5埃尔米特插值（Hermite法国数学家）有时插值函数不仅要求在节点上与原函数相同，还要求其导数的值与原函数的值相同，即要求H2n＋1(xi)=f(xi)，H’2n＋1(xi)=f’(xi)

i=0、1、…、nH2n＋1(x)为次数不超过2n＋1的插值多项式该问题即为埃尔米特插值.这里只讨论如何构造三次Hermite插值.4.5.1Hermite插值问题：在[x0,x1]上寻找一个次数不多于3的多项式H(x)，满足H(x0)=f(x0);H’(x0)=f’(x0);

H(x1)=f(x1);H’(x1)=f’(x1)(1)第19页，课件共26页，创作于2023年2月根据条件①可知：

具体构造：可设第20页，课件共26页，创作于2023年2月由第一列知x1是的二重根；∵为三次多项式,∴可设由求出a，b后化简得(其中h=x1－x0)

同理可求出：第21页，课件共26页，创作于2023年2月4.6牛顿插值多项式问题提出：拉格朗日插值方法中，若增加一个节点数据，其插值的多项式需重新计算。

现设构造一个插值多项式Nn(x)，只需对Nn-1(x)作简单修正(如增加某项)即可得到，这样计算方便。

由线性代数知，对任何一个不高n次的多项式

P(x)=b0＋b1x＋b2x2＋…＋bnxn(幂基)

也可将其写成P(x)=a0＋a1(x－x0)＋a2(x－x0)(x－x1)＋…＋an(x－x0)…(x－xn-1)其中为系数，为给定节点，可由①求出对牛顿插值多项式可将其写成：

只需求出系数，即可得到插值多项式。

①第22页，课件共26页，创作于2023年2月先讨论等距节点下插值公式：4.6.1差分等距节点下插值公式对等距节点可写成

,h称为步长。

定义：设Y(x)在处的函数值分别为,称为f

(x)在处以步长为h的一阶向前差分

类似的称：为f(x)在处步长为h的m阶向前差分。有了差分定义,可用来计算系数对一般的n次插值多项式,可设第23页，课件共26页，创作于2023年2月∵通过节点∴可得

∵通过对节点∴

一般的，由所以,当插值节点有n+1个时，可得到第24页，课件共26页，创作于2023年2月注意到∴上式也可以写为：余项公式可写为：