数学分析华师大导数的概念

数学分析华师大导数的概念第1页，课件共23页，创作于2023年2月一、导数的概念一般认为,求变速运动的瞬时速度，求已知曲线别在研究瞬时速度和曲线的牛顿(1642－1727,英国)两个关于导数的经典例子.切线时发现导数的.下面是微分学产生的三个源头.牛顿和莱布尼茨就是分上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是第2页，课件共23页，创作于2023年2月1.

瞬时速度设一质点作直线运动,质点的位置s是当t越来越接近t0时，平均速度就越来越接近t0时间t的函数,即其运动规律是则在某(1)时刻的瞬时速度.严格地说,当极限时刻t0及邻近时刻t之间的平均速度是第3页，课件共23页，创作于2023年2月2.

切线的斜率如图所示,存在时,这个极限就是质点在t0时刻的瞬时速度.其上一点

P(x0,y0)处的切线点击上图动画演示点Q,作曲线的割线PQ，这PT.为此我们在P的邻近取一需要寻找曲线y=f(x)

在条割线的斜率为第4页，课件共23页，创作于2023年2月答:它就是曲线在点

P的切线

PT的斜率.的极限若存在，则这个极限会是什么呢？设想一下,当动点

Q沿此曲线无限接近点

P时，(2)第5页，课件共23页，创作于2023年2月上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同x0

处关于x的瞬时变化率(或简称变化率).均变化率，增量比的极限(如果存在)称为f在点的极限.这个增量比称为函数f关于自变量的平Dy=f(x)–f(x0)与自变量增量

Dx=

x–xo

之比一类型的数学问题：求函数f在点x0处的增量第6页，课件共23页，创作于2023年2月定义1设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果极限存在,则称函数

f在点

x0

可导,

该极限称为

f在如果令

Dx=

x–x0,Dy=f(x0

+Dx)–f(x0),导数就x0

的导数，记作可以写成第7页，课件共23页，创作于2023年2月二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.机动目录上页下页返回结束第8页，课件共23页，创作于2023年2月这说明导数是函数增量

Dy与自变量增量

Dx之比的极限,即

就是

f(x)关于

x在

x0处的变化点x0不可导.率.如果(3)或(4)式的极限不存在,则称在第9页，课件共23页，创作于2023年2月在点的某个右邻域内五、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)定义2

.设函数有定义,存在,机动目录上页下页返回结束第10页，课件共23页，创作于2023年2月定理2.函数在点且存在简写为可导的充分必要条件是机动目录上页下页返回结束例3证明函数f(x)=|x|在x=0处不可导.证因为时它的极限不存在,所以

f(x)

在x=0当处不可导.第11页，课件共23页，创作于2023年2月例4

证明函数在x=0处不可导.不存在极限,所以

f在

x=0处不可导.证因为当时,第12页，课件共23页，创作于2023年2月第13页，课件共23页，创作于2023年2月四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x

处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即机动目录上页下页返回结束第14页，课件共23页，创作于2023年2月定理5.1

如果函数

f在点

x0可导,则

f在点

x0连续.值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可其中

D(x)是熟知的狄利克雷函数.例5证明函数

仅在

x=0处可导,

处连续，却不可导.导的必要条件.如例3、例4中的函数均在x=0第15页，课件共23页，创作于2023年2月不连续,由定理5.1,f(x)在点

x0不可导.由于导数是一种极限,因此如同左、右极限那样,所以有当

x0=0时,因为证当时,用归结原理容易证明

f(x)在点

x0可以定义左、右导数(单侧导数).第16页，课件共23页，创作于2023年2月二、导函数如果函数f在区间I上的每一点都可导(对于区间(7)即导函数，简称导数,记作定义了一个在区间I上的函数，称为f在I上的则称f为区间I上的可导函数.此时,对I上的任端点考虑相应的单侧导数,如左端点考虑右导数),仅为一个记号，学了微分之后就会知注

这里意一点x都有f的一个导数与之对应,这就第17页，课件共23页，创作于2023年2月三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:机动目录上页下页返回结束第18页，课件共23页，创作于2023年2月例1.求函数(C为常数)的导数.解:即例2.求函数解:机动目录上页下页返回结束第19页，课件共23页，创作于2023年2月说明：对一般幂函数(为常数)例如，（以后将证明）机动目录上页下页返回