第四章-动态电磁场与电磁波课件

第四章：动态电磁场与电磁波主要内容:

理解并掌握麦克斯韦方程组，了解方程之间的关系、方程的物理意义及使用范围。理解均匀平面电磁波的性质和计算方法，理解其随时间作正弦变化的情况，了解平面电磁波极化的概念及平面电磁波的反射和折射。7/24/202314.1动态电磁场静态场库仑电场(静止电荷产生，单独存在)恒定磁场(传导电流产生，单独存在)当电磁场频率比较低,场量中随时间变化的量可以忽略时,使场具有类似静态场(静电场,恒定磁场)的特性.准静态场电准静态场(感应电场相对于库仑电场可以忽略)磁准静态场(位移电流产生的磁场相对于恒定磁场可以忽略)7/24/20232当电磁场频率较高，场量随时间迅速变化时，必须考虑变化的电场(位移电流)产生的磁场及变化的磁场产生的感应电场。此时，时变电场和时变磁场是相互依存相互制约的。这种相互作用和相互耦合的时变电磁场即成为动态电磁场。7/24/20233电磁场的基本规律－麦克斯韦方程组一、电磁感应定律－麦克斯韦第二方程磁场中的导体，其感应电动势e的大小与穿过回路的磁通随时间的变化率成正比。即：7/24/20234定义非保守感应场Ei沿闭合路径的积分为l中的感应电动势，那么前式可改写为：如果空间同时还存在由静止电荷产生的保守电场Ec，则总电场E为两者之和，即E=Eq+Ei。则：7/24/20235感生电动势B变化，S不变动生电动势S变化，B不变引起与闭合回路铰链的磁通发生变化的原因可以是磁感应强度B随时间的变化，也可以是闭合回路自身的运动(大小、形状、位置的变化)7/24/202361、感生电动势2、动生电动势涡旋电场7/24/202373、感应电动势＝感生电动势＋动生电动势涡旋电场7/24/20238库仑电荷变化的磁场麦克斯韦第二方程7/24/20239麦克斯韦第二方程7/24/202310二、全电流定律－麦克斯韦第一方程恒定磁场中的安培环路定律静电场中，传导电流连续性方程7/24/202311电荷守恒定律：矛盾？每单位时间内流出包围体积V的闭合面S的电荷量等于S面内每单位时间所减少的电荷量。7/24/202312补：位移电流恒定磁场的安培环路定律：传导电流密度对传导电流而言，有：非恒定电流下，是否成立？JcS1S2S0LS0S1L即穿过以边界L为边线的任意曲面S1，S2的电流相等。单位时间内通过闭合曲面流出的电量等于0。7/24/202313例：S1S2Li说明：安培环路定律只适用于恒定电流，即电流连续的情况。在接有电容器的回路中，回路电流不连续，电荷主要堆积在极板上。极板上的电量随时间变化，电容器内电场强度E，电位移D也随时间变化。7/24/202314全电流在任何情况下都连续高斯定理位移电流密度7/24/202315麦克斯韦第一方程7/24/202316场在空间每一点的性质，它是积分形式麦克斯韦方程当积分域缩小到一个点的极限麦克斯韦方程组:电磁场随时间的变化规律由麦克斯韦方程组动态描述：相应的微分形式：反映电磁运动在一局部区域内的平均性质7/24/202317由微分形式的麦克斯韦方程式可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。但是在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。此外，时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。

对于不随时间变化的静态场，则

那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程，电场与磁场不再相关，彼此独立。

7/24/202318一般而言，表征媒质宏观电磁特性的本构关系为对于各向同性的线性媒质，上式可以写为：注意：ε，μ，γ是反应媒质特性的3个参数，在一定的频率范围内为常数，通常与动态电磁场的工作频率有关。麦克斯韦方程是电磁理论的基础和核心，当给定电荷和电流分布时，根据初始条件和边界条件，由方程组可求得电磁场在空间的分布情况及随时间的变化情况。7/24/202319在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。爱因斯坦（1879-1995）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦克斯韦方程的一段评述：“这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。假使我们已知此处的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些，在时间上稍为迟一些所发生的事件”。7/24/202320麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于人类历史的进程也起了重要作用，正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“弗曼物理学讲义”中写道“从人类历史的漫长远景来看──即使过一万年之后回头来看──毫无疑问，在十九世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，与这一重大科学事件相比之下，同一个十年中发生的美国内战（1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而黯然失色”。7/24/202321例1计算铜中的位移电流密度和传导电流密度的比值。设铜中的电场为E0sinωt，铜的电导率σ=5.8×107S/m,ε≈ε0。

解：

铜中的传导电流密度为:位移电流密度为：7/24/202322例2

在无源的自由空间中，已知磁场强度求位移电流密度Jd。解：无源的自由空间中J=0，麦克斯韦第一方程变为：7/24/202323例3

已知在无源的自由空间中，其中E0、β为常数，求H。

解：无源即所研究区域内没有场源电流和电荷，即J=0,ρ=0。有麦克斯韦第二方程得：7/24/202324由上式得：7/24/202325适合静态场的各种边界条件原则上可以直接推广到时变电磁场。第一，在任何边界上电场强度的切向分量是连续的，即

因为只要磁感应强度的时间变化率是有限的，采用前述相同的方法，那么由电磁感应定律的积分形式，即可获得上面结果。对于各向同性的线性媒质，上式又可写为时变电磁场的边界条件7/24/202326

第二,在任何边界上，磁感应强度的法向分量是连续的。由磁通连续性原理，即可证明

第三，电位移的法向分量边界条件与媒质特性有关。

对于各向同性的线性媒质，上式又可表示为在一般情况下，由高斯定律求得式中s

为边界表面上自由电荷的面密度。7/24/202327

对于两种理想介质形成的边界，由于不可能存在表面自由电荷，因此此式表明，两种理想介质形成的边界上，电位移的法向分量是连续的。第四，磁场强度的切向分量边界条件也与媒质特性有关。在一般情况下，由于边界上不可能存在表面电流，根据全电流定律，只要电位移的时间变化率是有限的，采用前述同样方法可得此式表明，在一般边界上，磁场强度的切向分量是连续的。但是在理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连续的。对于各向同性的线性介质，上式又可写为7/24/202328边界条件:设边界由理想介质与理想导电体形成，已知在理想导电体内部不可能存在电场，否则将会导致无限大的电流，因此，理想导电体内部也不可能存在时变磁场，否则这种时变磁场在理想导电体内部会产生时变电场。在理想导电体内部也不可能存在时变的传导电流，否则这种时变的传导电流在理想导电体内部会产生时变磁场。由此可见，在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流，它们只可能分布在理想导电体的表面。7/24/202329已知在任何边界上，电场强度的切向分量及磁感应强度的法向分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量，只可能存在法向电场及切向磁场。也就是说，时变电场必须垂直于理想导电体的表面，而时变磁场必须与其表面相切，如下图示。EH

,

=enet因，由前式得

由于理想导电体表面存在表面电流Ks，设表面电流密度的方向与积分回路构成右旋关系，因，求得H1tH2tKS7/24/202330例设z=0的平面为空气与理想导体的分界面，z<0一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。解：7/24/202331无源的自由空间中J=0，麦克斯韦第一方程变为：7/24/202332假设t=0时，ρS=0，由边界条件Dn=ρS以及n的方向可得7/24/202333例设区域Ⅰ(z<0)的媒质参数εr1=1,μr1=1,σ1=0；区域Ⅱ(z>0)的媒质参数εr2=5,μr2=2,σ2=0。区域Ⅰ中的电场强度为:区域Ⅱ中的电场强度为:试求：(1)常数A；(2)磁场强度H1和H2；(3)证明在z=0处H1和H2满足边界条件。7/24/202334解：(1)在无耗媒质的分界面z=0处，有由于E1和E2为切向电场，7/24/202335

(2)根据麦克斯韦第二方程：有7/24/202336同理，可得(3)将z=0代入(2)中得7/24/202337电场是一种物质，具有物质的属性，具有能量。静电场能量带电体系统的静电场能量EdqPP点电位等于移动单位正电荷从P∞电场力做功。移动q电荷时，电场力做功：外力做功：把电荷从

∞

P，外力克服电场力做功。结果使静电场能量增加，W增=W’。功------能7/24/202338初始状态：设想带电体系中的电荷可以分割成许多微小部分，这些部分最初都分散在彼此相距无限远的状态，规定此时静电场能为0。现有带电体系的静电能W是相对初始状态而言，W等于把各部分电荷从无限远分离的状态聚集成现有带电体系时外力克服电场力作的功。静电能自能(带电体自身)互能(各电荷之间的相互作用能)7/24/202339互能：把每一带电体看作整体，将各带电体从无限远移到现在位置外力做的功。Rq1q2AB形成过程：(1)q2先固定，q1从无穷远搬来，放置在距离q2为R处。(2)q1先固定，q2从无穷远搬来，放置在距离q1为R处。(1)搬运q2时，空间不存在其他电荷的电场，外力无需做功W2=0。再搬运q1时，处于q2的电场中，克服电场力做功。将q1从∞

A，外力做功：7/24/202340(2)同理：7/24/202341以三点电荷为例，相距无穷远，则无相互作用q1

在A处不动q2在q1电场作用下由无穷远移至B

处，做功q3在q1和q2作用下由无穷远移至C处，做功不带电的导体的带电过程就是把无穷远处的电荷不断地搬运到导体上的过程。7/24/202342外力做功：7/24/202343互能属于整个系统，不只属于某一电荷，而且只与带电体系的现在状态有关。相互作用相等n个点电荷组成的带电体系统的互能：自能：把带电体各部分从无限分离的状态聚集起来所做的功。为除qi之外的其他电荷在qi点产生的电势的代数和。7/24/202344静电能量的分布及其分布密度电场能量密度单位体积内电场能量均匀介质电场总能量：7/24/202345欧姆定律的微分形式恒定电流J恒定电场E电荷7/24/202346电功率：电功率功率体密度电场力做功体积V内总功率：7/24/202347能量密度与能流密度矢量

时变电磁场，在各向同性的线性媒质中：电场能量密度磁场能量密度损耗功率密度因此，时变电磁场的能量密度为7/24/202348时变电磁场能量守恒定律、坡印廷定理假设电磁场在一有耗的导电媒质中，媒质的电导率为，电场会在此有耗导电媒质中引起传导电流

。根据焦耳定律，在体积V内由于传导电流引起的功率损耗是由麦克斯韦第一方程：7/24/202349由矢量恒等式则：7/24/202350利用散度定理上式可改写为：坡印廷定理7/24/202351又：对于各向同性的线性媒质，即D=εE,B=μH,J=σE,则：同理，

7/24/202352对于各向同性的线性媒质，坡印廷定理表示如下：坡印廷矢量电场能量密度磁场能量密度wewm7/24/202353坡印廷定理可写成：体积V中电磁能量增加率体积V中的热损耗功率单位时间内穿过V的表面S流入体积V的电磁能量坡印廷矢量S=E×H可解释为通过S面上单位面积的电磁功率电磁功率面密度7/24/202354已知某点的E及

H，即可求出该点的能流密度矢量。且，S

与E

及H垂直。又知，因此，S，E及H三者在空间是相互垂直的，且由E至H

与S

构成右旋关系，如图示。SEH能流密度矢量的瞬时值为：可见，能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度的瞬时值的乘积。只有当两者同时达到最大值时，能流密度才达到最大。若某一时刻电场强度或磁场强度为零，则在该时刻能流密度矢量为零。7/24/202355波动是能量传输的一种基本方式，电磁波的传播过程就是电磁场能量的输运过程。电磁场的运动有条件:若空间只有电场或磁场，或者E和H平行，则S=0，即电磁场是静止的(相对于某一参考量)，相应的电磁能存储于空间。若E和H有相互垂直的分量，就必形成运动的电磁场，即相应的能量以波动的方式在空间运输。S=E╳H7/24/202356表示在场中任一点，单位时间流出包围体积V表面的总能量为零，可见，在静电场和静磁场情况下，没有电磁能量流动。静电场和静磁场：7/24/202357恒定电流的电场和磁场：无源区域，通过S面流入V的电磁功率等于V内的损耗功率。瞬时功率:S=E×H瞬时功率流密度:7/24/202358例1：试求一段半径为b，电导率为，载有直流电流I的长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。解：如图，一段长度为L的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z轴重合，设电流均匀分布在导线的横截面上，则：图5-5坡印廷定理验证7/24/202359在导线表面，导线表面的坡印廷矢量:7/24/202360将坡印廷矢量沿导线表面积分，有7/24/202361例2：一同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I，内、外导体间的电压为U。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可求出同轴线内、外导体间的电场和磁场：7/24/202362可见，电磁能量沿z轴方向流动，由电源向负载传输。通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为：7/24/202363同轴线的功率传输7/24/202364标量位与矢量位

设媒质是线性均匀且各向同性的，那么对微分形式的麦克斯韦方程中全电流定律两边取旋度，再将电磁感应定律 代入，整理后得若对电磁感应定律两边取旋度，再将全电流定律代入，整理后得利用矢量恒等式，同时考到及 ，那么上述两式变为

7/24/202365由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂，直接求解上述方程需要较多的数学知识。为简化求解过程，引入标量位与矢量位作为求解时变电磁场的两个辅助函数。

已知时变磁场是无散场，因此可以表示为矢量场A的旋度，即可令式中A称为矢量位。将上式代入式中，得7/24/202366上式又可改写为由此可见，矢量场为无旋场。因此它可以用一个标量场的梯度来表示，即可令式中称为标量位。由此得注意，这里的矢量位A

及标量位均是时间及空间函数。当它们与时间无关时，矢量位A及标量位与场量的关系和静态场完全相同。因此矢量位A

又称为矢量磁位，标量位又称为标量电位。7/24/202367位函数与源的关系

为了导出位函数与源的关系，根据位函数定义式及麦克斯韦方程，求得

利用矢量恒等式，上两式又可写为7/24/202368根据亥姆霍兹定理得知，只有当矢量场的散度及旋度共同给定后，这个矢量场才被惟一地确定。已知规定了矢量场A的旋度，，必须再规定其散度。原则上，其散度值可以任意给定，但是为了简化计算，由上式可知，若令则前两式可以简化为罗伦兹条件由上可见，按照罗伦兹条件规定A的散度后，原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。矢量位

A

仅与电流J有关，标量位

仅与电荷有关。7/24/202369由上可见，已知电流分布，即可求出矢量位A。已知电荷分布，由即可求出标量位

。求出A

及以后，即可求出电场与磁场。麦克斯韦方程的求解归结为位函数方程的求解，而且求解过程显然得到了简化。因为原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中需要求解六个坐标分量，而位函数方程分别为一个矢量方程和一个标量方程，且结构较为简单，在三维空间中仅需求解四个坐标分量。尤其在直角坐标系中，矢量位方程可以分解为三个结构如同标量位方程一样的标量方程。因此，实际上等于求解一个标量方程。由此可见，位函数A及

的引入显著地简化了麦克斯韦方程的求解。7/24/202370

函数方程的直接求解需要较多的数学知识，我们根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。位函数方程的求解当场源是位于坐标原点的时变点电荷时，其场分布一定具有球对称特点，即场量仅为变量r的函数，与球坐标变量及无关。那么，在除坐标原点以外整个空间，位函数满足的方程式为首先求解标量位函数方程。为此设场源是位于坐标原点的时变点电荷，求出其解后，采用叠加原理推出任意分布的时变体电荷的解。式中7/24/202371上式为函数（

r）的齐次波动方程，其通解为由后面分析可以获知，式中第二项不符合实际的物理条件，应该舍去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为已知位于原点的静止点电荷产生的电位为将此式同上式比较，可见函数f1

为:7/24/202372因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为式中r

为体元dV

至场点的距离。对于位于V

中的任意体分布电荷，如图示。r'rzyxm(r,t)VdV'r'-r0点电荷的位置矢量为r'，则全部电荷在r

处产生的电位由上式积分求得7/24/202373为了求出矢量位函数A，可将矢量位函数方程在直角坐标系中展开，则各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式，即显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位A

的解为式中V'

为电流J

的分布区域。7/24/202374首先两式均表明，空间某点在时刻t

产生的标量位或矢量位必须根据时刻的场源分布函数进行求积。换言之，位于r

处

t

时刻的场强不是由同一时刻t的源的分布决定的，而是取决于比t

时刻超前时刻的源分布。这就意味着，位于r

处的源产生的场传到r

处需要一段时间，这段时差就是。已知(

r-r’)为源点至场点的距离，因此v代表电磁波的传播速度。7/24/202375恒定电流或低频交流电的情况下，场量往往是通过电流、电压及负载阻抗等参数表现，表面给人造成能量是通过电荷在导线内传输的假象。I如能量真是通过电荷在导线内传输，常温下导体中的电荷运动速度约10-5m/s，电荷由电源端到负载端所需时间约是场传播时间（L/c）的亿万倍负载只需经过极短（t=L/c，其中c为光速）的时间就能得到能量的供应。7/24/202376由式可见，电磁波的传播速度与媒质特性有关。在真空中，最新测得的数据为这就是光波在真空中的传播速度，或简称为光速。光速通常以c表示。值得注意的是，既然空间场强不是取决于同一时刻的源特性，那么即使在同一时刻源已消失，只要前一时刻源还存在，它们原来产生的空间场强仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放到空间，而空间电磁能量可以脱离源单独存在，这种现象称为电磁辐射。7/24/202377此外，显然只有时变电磁场才具有这种辐射特性，而静态场完全被源所束缚。当静止电荷或恒定电流一旦消失，它们所产生的静电场或恒定磁场也随之失去，因而静态场又称为束缚场。若源随时间变化很快，空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附近也会有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也与源的变化快慢有关。因此，为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的高频电流激励发射天线，而通常50Hz交流电不可能有效地辐射电磁能量。位于时变电荷或电流附近的时变电磁场，由于距离很近，引起的时差很小，场强随时间的变化基本上与源的变化同步，所以近处的时变场称为似稳场。反之，离开时变源很远的地方，由于时差很大，辐射效应显著，所以远处的时变场称为辐射场。

7/24/202378正弦电磁场正弦电磁场的复数表示:各个坐标分量为:变化的电场变化的磁场变化的磁场变化的电场同频率7/24/202379复数形式:7/24/202380采用复数，正弦量对时间t的偏导数等价于该正弦量的复数形式乘以jω，即电场强度矢量也可用复数表示为：复振幅7/24/202381例1：将下列用复数形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相反的变换。7/24/202382例2:将下列场矢量的复数形式写为瞬时值形式。7/24/202383麦克斯韦方程组的复数形式一般形式的麦克斯韦方程组：且：代入第一方程得：7/24/202384t任意时：同理：复数形式麦克斯韦方程组7/24/202385复坡印廷矢量对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时：坡印廷矢量瞬时值为对复数a+jb有：

7/24/202386一个周期T=2π/ω内的平均值为：复坡印廷矢量7/24/202387例:已知无源(ρ=0,J=0)的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量式中k、E0为常数。求：(1)磁场强度复矢量；(2)坡印廷矢量的瞬时值；(3)平均坡印廷矢量。7/24/202388解：(1)由得7/24/202389(2)电场、磁场的瞬时值为坡印廷矢量的瞬时值为：7/24/202390(3)平均坡印廷矢量：7/24/202391均匀、线性、各向同性的无源媒质区域(J=0,ρ=0)且σ=0的时，变为一般形式的麦克斯韦方程组：波动方程及解电磁波：时变电磁场以波动的方式向前传播，形成电磁波。7/24/202392将麦克斯韦方程组第二方程两边同时取旋度得：同理有：7/24/202393波动方程:直角坐标系中，E的矢量波动方程对应三个标量波动方程：7/24/202394理想介质中的均匀平面波均匀、线性、各向同性的无源媒质区域:若电场强度E和磁场强度H只是直角坐标z和时间t的函数：7/24/202395设电场只有x方向分量，磁场只有y方向的分量，则电场、磁场及传播方向满足下图：思考：有电磁场的区域，是否一定有电磁波存在？7/24/202396无界媒质中：波动方程简化为：+z入射波-z反射波波动方程—证明了电磁场以波动的方式运动，形成电磁波。7/24/202397复数麦克斯韦第二方程：7/24/20239