切换线性时滞系统跟踪控制课件

切换线性时滞系统的跟踪控制

指导教师：赵军教授答辩人：李庆奎 7/22/20231论文内容绪论预备知识论文框架主要内容结论与展望针对切换线性时滞系统，讨论跟踪控制问题7/22/20232绪论

绪论时滞系统研究进展切换时滞系统简介跟踪控制切换系统概述

7/22/20233

切换系统由一组连续（或离散）的系统和一条决定子系统之间如何切换的规则所组成，它是混杂系统中极其重要的一种类型。切换系统的运行情况由切换规则决定，切换规则又称为切换律、切换信号或切换函数，通常它是依赖于状态或时间的分段常值函数。(1.1)

模型描述切换系统概念绪论7/22/20234理论价值：切换系统的分析和设计方法容易推广到一般混杂系统应用价值：飞行器控制、交通管理、机器人行走控制、电力系统、网络控制等意义结构框图绪论7/22/20235切换系统的分类切换信号自治切换状态依赖型切换时间依赖型切换受控切换绪论7/22/20236基本工具和方法共同Laypunov函数法单Laypunov函数法多Laypunov函数法驻留时间方法平均驻留时间方法拓展平均驻留时间方法基于滞后的切换方法绪论7/22/20237绪论

绪论时滞系统研究进展切换时滞系统简介跟踪控制切换系统概述

7/22/20238时滞系统研究进展

二十世纪五、六十年代，时滞系统的基本理论被建立起来。频域方法时域方法Razumikhin函数方法Lyapunov泛函方法时滞无关条件时滞相关条件绪论7/22/20239

目前，针对时滞相关问题主要采用如下方法离散Lyapunov

泛函方法确定模型变换方法参数化模型变换方法自由权矩阵方法拟校正的方法

Newton-Leibniz变换方法描述系统方法（广义系统模型变换法）绪论7/22/202310绪论

绪论时滞系统研究进展切换时滞系统简介跟踪控制切换系统概述

7/22/202311一个例子应用背景在系统运行或信号传输过程中，切换和时滞同时存在电力系统，网络控制系统，机器人控制（如，巡线机器人）

右图是一淋浴者的水温调节模型绪论7/22/202312

Sun,ZhaoandHill(2006)在Automatica

上讨论了基于平均驻留时间方法的切换时滞系统的稳定性和L2增益分析；

Kim,CampbellandLiu(2006,2008)分别对时滞的大小和时滞项的系数矩阵的范数给予限定，得出了切换时滞系统稳定性的条件，但保守性依然很大;

XieandWang(2005)考虑了切换信号中含有时滞的情形,等。跟踪控制绪论研究进展7/22/202313本文主要工作

切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律

切换时滞系统鲁棒

H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律

基于观测器的切换时滞系统

H∞

跟踪控制

切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制

切换时滞系统跟踪控制：具有不可稳子系统的情形绪论7/22/202314本文主要工作

切换线性时滞系统

H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律

切换时滞系统鲁棒

H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律

基于观测器的切换时滞系统

H∞

跟踪控制

切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制

切换时滞系统跟踪控制：具有不可稳子系统的情形切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律7/22/2023152.1引言切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律切换时滞系统近年来受到广泛关注已有结果切换跟踪具有重要的应用价值，可解决关键问题稳定性和

L2增益分析，最优控制等方面

已有结果相当有限

7/22/202316本章主要工作设计基本于状态依赖的滞后切换律初步建立切换时滞系统H∞跟踪控制的理论框架切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律利用凸组合技术和单Lapunov

函数方法，允许有子系统为不稳定情形，并包含非切换时滞系统为其等例7/22/202317切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律2.1问题描述考虑切换线性时滞系统:(2.1)

(2.2)

(2.3)

给定参考模型:和性能指标:7/22/202318切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律(2.4)

(2.5)

设计误差状态反馈控制器:其中增广系统(2.1)和(2.2)并考虑(2.4)得其中7/22/202319切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律2.2主要结果定理

2.1对于增广系统(2.5),如果存在正矩阵及矩阵,以及标量,使得下列矩阵不等式成立(2.6)

其中7/22/202320切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律(2.7)

如果我们令且状态依赖的切换律设计如下(2.8)

7/22/202321切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律则在切换律(2.8)下，系统(2.1)的跟踪控制器使得切换时滞系统(2.1)满足模型参考跟踪性能。注2.2:如果存在的某个i使(2.6)成立，即条件(2.6)对于非切换时滞系统的跟踪控制问题可解，此时则无需切换。显然，条件(2.6)比一般非切换时滞系统跟踪控制问题可解条件要弱，因为它包含了非切换时滞系统跟踪控制问题的可解条件为其特殊情况。注2.1:尽管切换时滞系统(2.1)的每个子系统未必能满足模型参考跟踪性能，但恰当的切换却可以做到，如定理2.1所述。7/22/202322切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律2.3仿真算例考虑切换时滞系统(2.1)

和(2.2)

，其中根据定理2.1提供的方法，我们可以得到理想的跟踪性能。如图2.1所示。7/22/202323切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律图2.1切换控制下的系统状态跟踪7/22/202324本文主要工作切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律

切换时滞系统鲁棒

H∞跟踪控制：时间依赖的切换律

基于观测器的切换时滞系统

H∞

跟踪控制

切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制

切换时滞系统跟踪控制：具有不可稳子系统的情形切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律7/22/2023253.1引言基于时间依赖的切换律设计是切换系统研究的重要一类课题已有结果鲁棒跟踪控制一直是控制领域的重要问题驻留时间方法和平均驻留时间方法，抖颤界N0=0已有结果相当有限

切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律7/22/202326本章主要工作基于平均驻留时间方法设计基本于时间依赖的切换律提出切换时滞系统权重的H∞跟踪控制性能构造一类特殊Lapunov泛函，利用自由权矩阵方法给出时滞依赖的跟踪控制问题可解条件，和已有结果相比，限制条件减少，复杂性降低切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律7/22/2023273.1问题描述考虑具有不确定性的切换时变时滞系统:(3.1)

(3.2)

给定参考模型:切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律7/22/202328切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律(3.3)

和权重的跟踪性能指标:考虑其标称系统，有下面的主要结果。假设3.1:

不确定性

满足下面的假设。假设

3.2:

其中

为适当维数常矩阵，

为未知实变矩阵满足7/22/2023293.2主要结果(3.4)

切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律定理

3.1若时变时滞满足假设1。对于给定的常数，如果存在正定矩阵及矩阵,以及适当的自由权矩阵,使得下列矩阵不等式成立7/22/202330(3.5)

则切换系统(3.1)

的标称系统满足权重的H∞模型参考跟踪性能。(3.6)

切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律则在控制器作用下，基于平均驻留时间的切换律满足其中满足7/22/202331(3.7)

切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律定理

3.2若时变时滞满足假设1且不确定性满足假设2。对于给定的常数，如果存在正定矩阵及矩阵,以及适当的自由权矩阵,使得下列矩阵不等式成立7/22/202332切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律则切换系统(3.1)

满足权重的H∞模型参考跟踪性能。(3.9)

则在控制器作用下，基于平均驻留时间的切换律满足其中满足(3.8)

7/22/202333切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律注3.1:定理3.1和定理3.2给出了切换时滞系统鲁棒跟踪控制问题可解的充分条件。然而控制器的可解条件(3.4)和(3.7)却并不是线性矩阵不等式(LMIs)。因此，在矩阵变换的过程中，恰当地选择自由权矩阵是非常重要的，比如，自由权矩阵根据需要可取成形如。注3.2:由于我们所选取的Lyapunov-Krasovski泛函并不包含时变时滞项，就时滞相关稳定性而论，与已有文献[113，174]相比，限制条件减少了，从而降低了切换控制器设计的困难和计算复杂性。7/22/2023343.3仿真算例考虑切换时滞系统(3.1)

和(3.2)

，其中切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律7/22/202335取时变时滞，根据定理3.1和定理3.2提供的方法，我们可以得到理想的跟踪性能。如图3.1-3.3所示。切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律7/22/202336切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律图3.1状态跟踪参考模型状态图3.2状态跟踪参考模型状态7/22/202337切换时滞系统鲁棒H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律图3.3基于平均驻留时间的切换信号7/22/202338本文主要工作切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律

切换时滞系统鲁棒

H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律

基于观测器的切换时滞系统

H∞

跟踪控制

切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制

切换时滞系统跟踪控制：具有不可稳子系统的情形基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制7/22/2023394.1引言前面讨论的前提是系统的状态是可知的，而实际控制系统的状态是不可知或不易知的已有结果当我们考虑系统的实际状态与观测器状态的误差时，不得不面临处理非线性项的困难已有结果基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制不可直接运用满足线性增长条件[62]不合理、难检验模糊系统的结果[156]7/22/202340本章主要工作为了处理估计误差和外界干扰带来的困难，我们引进常数变易法作为工具来处理切换时滞系统的跟踪控制问题；将文[2]所述方法拓展用于基于观测器的切换时滞系统的跟踪控制问题；恰当地选用的Lyapunov-Krasovskii

泛函，我们可以给出标称系统状态的指数稳定界。基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制7/22/2023414.1问题描述考虑如下切换时变时滞系统:(4.1)

(4.2)

给定参考模型:(4.3)

和性能指标:基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制7/22/202342(4.4)

基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制我们要构造系统(4.1)的状态观测器具有如下形式:系统状态和参考模型状态的差值为:系统状态和观测器状态的差:以及观测器状态和参考模型状态的差:(4.5)

(4.6)

(4.7)

7/22/202343基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制定义如下形式的误差状态反馈控制律:我们有下述形式的增广系统:(4.9b)

(4.9a)

(4.8)

其中(4.9b)可以写为:(4.9c)

常数变易公式有下面的主要结果。7/22/202344基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制假设4.1:存在正定矩阵X，G，以及矩阵Yi，满足4.2主要结果(4.10)

注4.1:上述假设表明误差切换时滞系统(4.11)

存在共同Lyapunov-Krasovskii泛函(4.12)

7/22/202345基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制(4.13)

定理

4.1假定假设1成立，并且存在正定矩阵及矩阵以及向量使得下列矩阵不等式成立其中设计反馈控制律和切换律(4.14)

则对系统(4.1)来说，基于观测器的H∞模型参考跟踪性能满足。7/22/202346基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制4.3仿真算例考虑切换时滞系统(4.1)

和(4.2)

，其中7/22/202347基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制首先,由假设4.1，在任意切换条件下我们可得观测器增益矩阵为当时，误差切换时滞系统(4.9a)在任意切换下是指数稳定的。仿真结果如图4.1所示。取外扰为，根据定理4.1提供的方法，仿真结果由图4.2-4.3所示。7/22/202348基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制图4.1任意切换下误差系统的状态7/22/202349基于观测器的切换时滞系统H∞

跟踪控制图4.2状态跟踪参考模型状态图4.3状态跟踪参考模型状态7/22/202350本文主要工作切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律

切换时滞系统鲁棒

H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律

基于观测器的切换时滞系统

H∞

跟踪控制

切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制

切换时滞系统跟踪控制：具有不可稳子系统的情形切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制7/22/2023515.1引言前面几章讨论的状态跟踪，渐近跟踪问题没有讨论研究现状输出跟踪在跟踪控制问题中占有重要地位。本章讨论的参考模型本身也是时滞系统。切换时滞系统结果少对于非切换时滞自由系统已有成熟结果切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制7/22/202352本章主要工作采用平均驻留时间的方法，针对一类不确定项满足一定匹配条件的切换时滞系统，讨论其输出渐近跟踪给定参考模型的输出问题。借助于常数变易公式，对参考模型的状态给予了估计。恰当的控制器设计有效补偿不确定性和匹配参考模型，从而实现鲁棒输出跟踪。切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制7/22/2023535.1问题描述考虑具有不确定性的切换时滞系统:(5.1)

(5.2)

给定参考模型:切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制7/22/202354(5.3)

(5.4)

(5.5)

切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制A1:

模型匹配条件.存在矩阵及向量

g(t),

满足A2:

不确定性匹配条件.不确定性及

di(p(t))

满足其中

与

为非负常数。7/22/202355切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制A3:

是可控制的,A4:

对于参考模型系统

(5.2)，如果存在正定矩阵

X,Y,

使下面的矩阵不等式成立我们的目的是设计鲁棒切换跟踪控制器，为此我们考虑由系统(5.1)和(5.2)而得到的误差切换时滞系统，设z(t)=x(t)-xr(t)

有(5.6)

7/22/202356切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制注5.1:系统(5.1)的输出跟踪问题可以转化为误差切换时滞系统(5.6)的镇定问题。5.2主要结果设计如下跟踪控制律其中(5.7)

其中Pi

为正定矩阵且为待定的常参数。7/22/202357切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制注5.2:控制器设计包含两部分：一是针对不确定性的镇定和补偿控制器，另一部分为针对匹配参考模型的控制器。定理5.1:对系统(5.1)和

(5.2)

，假定假设A1-4成立。对给定正数,如果存在正定矩阵,使得下面的矩阵不等式成立(5.8)

且若切换信号满足如下的平均驻留时间其中满足则系统(5.1)的输出鲁棒跟踪参考模型

(5.2)的输出。

(5.9)

7/22/202358切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制5.3仿真算例考虑

Mahmoud与Al-Muthairi(1994)所使用不确定时滞系统的模型.(5.10)

(5.11)

7/22/202359切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制分别令，及，系统(5.10)变为切换系统(5.1)，其中7/22/202360切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制参考模型系统(5.2)中有

且

其中仿真结果如图5.1-5.3所示。7/22/202361切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制图5.1控制输入7/22/202362切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制图5.2误差系统的状态轨线7/22/202363切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制图5.3切换信号7/22/202364本文主要工作切换线性时滞系统H∞

跟踪控制：状态依赖的切换律

切换时滞系统鲁棒

H∞

跟踪控制：时间依赖的切换律

基于观测器的切换时滞系统

H∞

跟踪控制

切换时滞系统的鲁棒输出跟踪控制

切换时滞系统跟踪控制：具有不可稳子系统的情形切换时滞系统跟踪控制：具有不可稳子系统的情形7/22/202365切换时滞系统跟踪控制：具有不可稳子系统的情形6.1引言前面几章讨论基于平均驻留时间的跟踪控制，其假定各子系统都是可稳的，对于切换系统而言，具有不可稳的子系统更具现实意义上一章讨论的输出跟踪，仍然依赖于参考模型，对于讨论任意给定的参考信号的跟踪问题更为普遍。研究现状跟踪控制尚无结果对于拓广平均驻留时间的方法对于稳定性分析已见报道7/22/202366切换时滞系统跟踪控制：具有不可稳子系统的情形本章主要工作采用拓广平均驻留时间的方法，讨论含有不可稳子系统的跟踪控制问题。采用了PI控制器，即“比例-积分”控制器，这种控制器在跟踪控制问题中能有效消除稳态跟踪误差