2023年高考数学大招3柯西不等式

大招3柯西不等式

大招总结

在求二元（或多元）代数式最值或者二元（或多元）不等式的证明的题目中，巧用柯西不等式会比

较方便快捷.

二维形式：

+02）卜2+仇7）2,等号成立条件：ad.

扩展：

（a；++a；++a：乂"；+优+b；++髭）..+ajb、+%4++"滴〃）

等号成立条件：

q:%%:4==a〃:bn

（当4=。或2=0时，生和〃都等于0,不考虑《：2/=1,2,3,/）

二维形式的证明：

（a2+Z?H+d2）（a,0,c,dGR）

=a2c2+〃唐+a2d2+〃/

=a2c2+2abcd+b2d?+a2d2—2abcd+b2c2

=（ac+bd）2+（ad-be?

..（ac+bd）2

等号在且仅在加—be=0,即加=0c时成立.

向量形式的证明：

令〃2=（%,%，%・，q）〃=（A也也，-也）

+。也

mn=a[b{+%4+=|m||n|cos(/n,n)

=Ja；+〃；+〃；+J/?；+/?；+b；++h：cos(m,〃)

cos（肛力,,1,

ah+a2仇+生打++a“。””Ja；+a；+ag++a；Jb:+b；+b；++b；•

典型例题

例1.实数尤、y满足3X2+2/=6,则2x+y的最大值是,

解方法1:由柯西不等式得（3f+2y2）（g+g）.（2x+y）2

,11

故（2x+y/”6x上=11

6

2x+y„V1T,

，2x+y的最大值是而.

故答案为而.

方法2:万能上法

令2x+y-k,y-k-2x,3x2+2（k-2x）2=6

3x?+2（左2一4"+4?）=6,IL?—86+2左2—6=0

A®,-VTT点旧

22

方法3：3x2+2y2-6,—+——1,

23

令2x+y=z，直线2x+y-z=0与椭圆相切时有最值

由硬解定理（见圆锥曲线）得2x4+3—z2=0,z=±Vn,所以最大值为日

方法4：三角换元

22

—+—=1,令元=J^cosa,y=Gsina,

23

辅助角公式2>/2COS6Z+V3sin（7=JTTsin（a+0）,所以最大值为JFT

例2.已知实数x,y满足+1+J2y+3=4,则x+y的最小值是,

解方法1：：实数x,y满足J2x+l+j2y+3=4,由柯西不等式可得，

(2x+l+2y+3)(l+l)..(j2x+lxl+j2y+3xl)2,

即4x+4y+8..16,求得x+y..2,

当且仅当J2x+1=J2y+3=2时,取等号，

故x+y的最小值是2.

故答案为2.

方法2:12x+l+J2y+3=4,令J2x+1=a,J2y+3=b,x=，y=~~2~,

题目转换为a+8=4,求广4+生二3=+62)-2的最小值，

222V7

IIA-A-/A/—1b~31/7.O\__

地位等价法，a=b=2,----------4-------------=—\a~+h~)-2=2.

222V7

方法3:，2x+l+J2y+3=4,

令J2x+I=q,J2y+3=b,x=°?1,y='?-4+b=4,

ci~~lb~-31/2>2\c(a+b)——2ab.16—2,cib,

----+-----=-la+b]-2=------------2=---------2=6-ab

222V722

，H”2.

例3.函数y=542x-I+V10-2x的最大值为，此时x=,

解由柯西不等式得[52+12][(岳=I?+(J10—2x)2(5岳=I+1xJ10-2x)2

(5j2x-1+V10-2x)2,,26x9,

5j2x—1+410—2x”3J26,

当且仅当5jl0-2x=1xy]2x-l时,取等号，即x=2-吐取等号.

52

故答案为3>/26,---.

52

例文⑴证明柯西不等式：⑷+⑹仁+储/团+加了；

(2)若eR+且a+b=1,用柯西不等式求J3a+1+J3b+1的最大值.

解⑴证明：(片+尸)(/+屋)一(ac+6/y=(ad-he)2..0,

.'.(a2+b2)(c-2+J2)..(«C+M)2.

(2)由柯西不等式可得(『+]2)[(.+])2+(病[1)2]..(J3a+1+^3b+l)2.

a+b=l,:.(y/3a+l+y/3b+\)2„10,;.，3a+l+j3〃+l的最大值为Ji6.

例5.(2019-全国卷HI)设x,y,zwR,且无+y+z=l.

(1)求*-1)2+(y+1)?+(z+1)2的最小值；

⑵若(犬—2尸+(y-1)~+(z—d)~..成立，证明：④—3或a.1.

解⑴x,y,z£R,且x+y+z=1,

由柯西不等式可得(F+]2+]2)[(》_[)2+(y+])2+(z+l)2]

..(x-l+y+l+z+1)2=4,

可得(x_l)2+(y+l)2+(z+l)2..g,

即有(x-Ip+(y+1)?+(z+1)2的最小值为I.

(2)证明：由x+y+z=l,柯西不等式可得

(l2+l2+l2)[(x-2)2+(y-l)2+(z-a)2]..(x-2+y-l+z-«)2=(«+2)2,

可得(尤―2)2+(y_1)2+(z_a)2..但产,

即有(％-2)2+"-1)2+(2-。)2的最小值为史卢,

由题意可得(“；2)…;，解得a.._1或④-3.

自我检测

1.已知定义域在R上的函数〃x)=k+l|+|x—2］的最小值为a.

(1)求a的值；

⑵若p,为正实数,且p+q+r-a,求证：p2+q2+r2..3.

2.设正数a,),c满足出?c=a+/?+c,求证：ab+4bc+9ac..36,并给出等号成立条件.

3.设a,b,m,n^R,,@.a2+b2=5,ma+nb=5,PJiJ>]m2+n2的最小值为二

TT

4.己知E，K是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点.且则椭圆和

双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()

4g

A.」一

3

2百

B.----

3

C.3

D.2

5.设a,0,c为互不相等的正整数,求证：1+」,，a+bc

23

1.(1)解：k+岫-2|.J(X+1HX-2)1=3,当且仅当T瓢2时，等号成立，・•・“X)的

最小值为3,即a=3.

(2)证明：由⑴知，〃+4+-=3,又'4"为正实数，

••・由柯西不等式得,(p2+/+，)(12+12+12)..(pxl+qxl+rxl)2

=(P+q+r)2=3?=9,即/+g2+产..3

A人“b+c,」+"=l

2.证明：正数兄2c满足abbeac

(ah+4bc+9ac)(—+—+—|..(1+2+3)2=36

再由柯西不等式可得Iabbeac)

当且仅当。=2、b=3、c=l时,取等号，故必+4Z?c+9ac..36成立

3,由柯西不等式得,(""+〃勿2"("+〃一)3+6)

a2+b2=5,imi+nb=5,:.^m2+»2j..5,/.yJm2+n2的最小值为蓬.故答案为班.

4.设椭圆的长半轴为气双曲线的实半轴为半焦距为。，由椭圆和双曲线的定义可知,

设归耳|=4，|%|=&，|耳周=2：

一71

e,e,-；NF]PF,=—

椭圆和双曲线的离心率分别为x23,

4c2=(r,]2+(n)2-2rncos—

由余弦定理可得-3,(D

3住_1

“_——]

在椭圆中，⑴化简为即40=4a2-3口即4c2e：，⑵

r.r^1,

I2=-------------F1

在双曲线中，⑴化简为即4c'=4q2+g即4c2e；，⑶

(13)

131+1

4

-2-1-2-=

qee

联立(2)(3)得,2,由柯西不等式得\出J

化+U41611叵一述Gf-

ee"3=T「。”八一？e\=F，4=、3

即%)3,即4%v，J，当且仅当3时取等号.

1+1史

故4C2最大值为3.

方法2:设椭圆的长半轴为《，双曲线的实半轴为-4>%,半焦距为C,由椭圆和双曲线的定

义可知，设电1=4」呐=5归闾=2：

71

q,/,'.NF\PF>=—

椭圆和双曲线的离心率分别为3,

由余弦定理可/=耐+(力一小天面+面

-V2

4+^=2%小=4+%1+1_a,+«2_r}

由［/一4=2%,得［弓=4一生…G羯cc

44