2023年高考数学模拟试卷（二）附参考答案

高考数学模拟试卷

一、多选题

1.已知圆"（「2）：r-2,直线/：I+.-2:0,点〃在直线/上运动，直线内,PH分别于圆，“切

于点.4.8.则下列说法正确的是（）

A.四边形尸八〃i的面积最小值为

B./叫最短时，弦W长为网

C./词最短时，弦,48直线方程为一一1二（）

D.直线相过定点

2.已知双曲线/>>（））的左、右焦点分别为且，/-一,A,P,B为双曲线

a16*

上不同的三点，且A,B两点关于原点对称，直线尸.4与『8斜率的乘积为1,则（）

卜•ub41

B.双曲线C的离心率为、回

C.直线,〃，倾斜角的取值范围为

144/

D.若所开:（）,则三角形可厂的面积为2

3.若数列他“；满足：对W._/-、'，若八J,则q<u,称数列为“鲤鱼跃龙门数列”.下列数列也；

是“鲤鱼跃龙门数列”的有（）

,n41

A.an'4n•IB.u=

i*2

n

C.a»sinnnD.u.-In-----

M"I

4.已知函数:底’，若存在X£（（）.♦7）,r：wR,使得/■（>）='（tj人成立，则（）

A.当人>0时，$+x：>I

B.当人.、0时，*y'<2e

C.当A<0时，x,*v<I

D.当人<0时，上三的最小值为,

Je

二、填空题

5.已知（24-u—,若q・40,贝lJ/W=.

6.“全员检测，阻断清零”的新冠防疫政策，使得我国成为全球最安全的国家.现某处需要三组全民核

酸检测人员，其中有3名医生和6名社会志愿者组成，每组人员由1名医生和2名志愿者组成.根据需

要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9名检测人员分组方法种数为.

7.根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以4表示事件“试验反应为阳性”，

以（'表示事件“被诊断者患有癌症"，则有-09,/'KC-0.9.现在对自然人群进行普查，设

被试验的人患有癌症的概率为0.01,即/＞（cko.oi,则/JI.

8.某种产品的广告支出费用x（单位：万元）与销售量y（单位：万件）之间的对应数据如表所示：

广告支出费用X2.22.64.05.35.9

销售量y3.85.47.011.612.2

根据表中的数据可得回归直线方程r2.27x_j,R2Po.96,则

①第三个样本点对应的残差二1

②在该回归模型对应的残差图中，残差点比较均匀地分布在倾斜的带状区域中

③销售量的多少有96%是由广告支出费用引起的

上述结论判断中有一个是错误的，其序号为

三、解答题

9.在AXBC中,内角4B»C满足2sM+si/S=2s而'C'

（1）求证：lanC3/un.l；

I，3

（2）求♦一•.最小值.

tafiAtanBtcuiC

10.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国

北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月

23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成.据

统计，2019年卫星导航与位置服务产业总产值达到3450亿元，较2018年约增长14.4虬从全球应用北

斗卫星的城市中选取了40个城市进行调研，上图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产

值（单位：万元）的频率分布直方图.

频率

组距

595600605610615产值/万元

(1)根据频率分布直方图，求产值小于600万元的调研城市个数；

(2)在上述抽取的40个城市中任取2个，设V为产值不超过600万元的城市个数，求),的分布列及

期望和方差.

(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有3个城市的产值超过605

万元的概率.

11.在如图所示的多面体中，4877),四边形.4(/王为矩形，IDCD-I.

(1)求证：平面/W?平面CD”；

(2)设半面比尸八平面CDF=/，ABLAD，平面［BCD，求二面角8-/-C的正弦值.

2

12.已知函数e：♦“一1|.

(1)当“-I时，证明：K>0时，f(t)>0；

(2)当2c：时，证明：/(x)在R上有3个零点.

13.在平面直角坐标系xOy中，点B与点(-l1)关于原点对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之

积等于

4

(1)求动点P的轨迹方程，并注明X的范围；

(2)设直线AP与BP分别与直线x3交于M,N,问是否存在点P使得A/MH与APYV面积相等？若

存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

14.随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升,

2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某省统计了该省其中四所大学2022年的

毕业生人数及考研人数(单位：千人)，得到如下表格：

广大学8大学(大学。大学

2020年毕业人数X(千人)7654

2022年考研人数F(千人)0.50.40.30.2

£(号-『)(>,-刃而•亨

参考公式：—~~；-------------------»a=y

I

(l)已知，与X具有较强的线性相关关系，求，关于X的线性回归方程「一八+”；

(2)假设该省对选择考研的大学生每人发放0.5万元的补贴.

(i)若该省大学2022年毕业生人数为8千人，估计该省要发放补贴的总全额：

(ii)若A大学的毕业生中小浙、小江选择考研的概率分别为〃、该省对小浙、小江两人的

考研补贴总金额的期望不超过0.75万元，求〃的取值范围.

1.A,B,D

2.A,B,D

3.B.D

4.A,C,D

5.I

6.18

7.1

12

8.②

9.(1)证明：因为2叩门+'苏8=2加1，由正弦定理得2〃2：，从而＜,=­♦；"，

则cM-*W=,

lab4a44ft4

所以4、i【ih《Nsin//sin(4♦()-sin.4cost*cos./sinC',

即有3、in4cosC=coM、inClan(3tanJ,

(2)解：由(1)tan(二3tanJ,有tan5=-tan(,4*C)=-，

taiUtanC-13tan\4-l

miiI23I3tan"lI3(lan4+1)

tanJtan27tanCtarvl2taa4tatt42tanJ

,,I233(.,I1、3,I―；—,

+------+-------=—ItsnX+-------2—•2JUiwl------=3,

taMtanj?tanC2【larU)2jtan/

当且仅当laM=/，gptan.4：A=n时取等号.

tart44

123

所以•的最小值为3.

tanJtanntanC

10.(1)解：由频率分布直方图可知产值小于600万元的频率为(。.()3-0.04卜5一035,

所以产值小于600万元的调研城市个数为40.0.3514(个)；

(2)解：由(1)得产值不超过600万元的调研城市有14个,超过600万元的调研城市有40-1426(个),

所以随机变量)'的取值可能为0，1，2,

C?5C1C177

所以尸(…)试=/pg)=,=jr尸『2)试，，

所以可得分布列

Y012

57

P

1210(.

期望E(V)=0x(+卜/.2)(总=7

io

方差。x，+h

'10；121

(3)解:由频率分布直方图可知城市的产值超过605万元的概率为(0.05+0.01)x5=0.3,

设任取5个城市中城市的产值超过605万元的城市个数为V，

可知随机变量X满足''。(5,0.3),

所以H.v-3)-(jO.3，(l-O.3「0.1323.

11.(1)证明：18a平面CDF，8€3平面。。「，.一48"平面(7)-，

因为四边形葭7•工为矩形，则—

.4/?a平面(7)尸，CF平面(7)尸，.TE平面(7)尸，

-ABAEVA，AB、/Eu平面/BE，因此，平面4加，平面(7)『.

⑵解:因为/£/平面/6S，46L40,

以点4为坐标原点，」。、4。、所在直线分别为x、1、二轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

设平面8£尸的法向量为而“二)，EB=(l.O,-l),EF=(2.2^),

mFRr--0

财叫黑：-，取x・],可得前二(L-M),

fh-EF=2x2y=0

因为平面/8£〃平面CDF,且平面/8£•的一个法向量为，，

••

所以,平面CD尸的一个法向量为万=(010),故ms(加方”*T

R-H3

所以,府.斤)=Jl-cas[同斤)=—，

因此,二面角H/-C■的正弦值为、"

3

12.(1)证明：当a=-1时，/HHc'=c*l-^^-+x+lc*,

令K(x)=l-(5+x+l卜'，贝118'(幻=[—’>0,

故函数#U在R上为增函数，

则当i」0时，#t)・M(0)=0,故0.

2

(2)证明：因为1:♦u(x・l|,所以/'(t)cv-a,

设加x)=c'-x+a,则力'(r)-c'-I,令人'(.t)=0,解得x・0,

当X€(Y>Q)时，力'3<0,/'(、)为减函数，又AO)=l+a(O,八⑼。，

故,使得/'(wf)=©"1・ni+a=0，贝!lc"-/n=-aW2+e"，解得iw4-2,

故函数〃i)在区间(-，，())上的最大值为

,,..nV...f_m

f(m)=c•-4-o(<w+l)=e------.(/w-eXw+0=~wle-------11,

由〃14-2得c"-J-I>-；-I_•(),故/(»J)>0,

又/(2a)=c"'2</'t</(2<?,I)-c2*>«<I+a<0,/(0)=l+o<0

故在(一"小(办0)上，/(上各有1个零点.

在区间(a+x)上,i(x)=c'i>o,/'m为增函数,

/1。)=1+0(0»/r(-a)=e**+2<i=e-e*1+2a^e(-a)+2a>0,

故而£(0,•工),使得/'(〃)-(),

在(0.〃)上，/”)<(),/(K)为减函数，/(0)(0,故/(K)无零点,

在(”,+*)上，/'(n>0,/(X)为增函数,又/(")<〃0)<0,

〃2a)»e1--4a1+o■eJ(C*1)2-4a1+a>e:(-tf)3-4a2+</=a^e--4)a+1j>0,

故在(〃，•，)上，八、)仅有1个零点.

综上，/(工)在R上有3个零点.

13.(1)解：因为点B与点4-I--关于原点0对称，所以点B的坐标为

332,

设点P的坐标为（、•”，由题意得二2.二工二3,化简得±+±=1（.=二I）

x+lX—I443

故动点p的轨迹方程为:+'1=im）；

43

（2）解：若存在点P使得A/"8与AP"\的面积相等，设点P的坐标为（中；I,

则114HP8卬〃Z4P8PN\mn^\fP\

因为，产8=si”/MPN,所以黑工覆，所以卧|=产）

|PW|\PB\p-闻\x„-

即（3-%）'=归一1|,解得/=]因为士+《=i（"二1）,所以n=土叵'

3436

故存在点P使得A/MH与AP"V的面积相等，此时点P的坐标为'1•辿.

IS61

―，、、断士/立/曰-4,S-6+7__一0.2-o5-04*（1.5ex

1