2023年高考数学压轴题及答案解析

2023年高考数学压轴题

22

%y

1.设椭圆C：=1(a>h>0)的左、右焦点分别为Fi(-c,0),F0),动点

葭+记2(C,

2

P(x,y)在椭圆C上运动，当△PFF2面积最大时，SAPF1F2=C.

(1)求椭圆C的离心率;

(H)若c=l,延长尸B，尸尸2分别交椭圆C于4,B(A,8不重合)两点，设屈1=AF；P,

BF2=\IF2P,求人+”的最小值.

【解答】解：(1)由题意当△尸为尸2面积最大时，尸为椭圆短轴的端点,

所以s^PF1F2=±1尸百卜b=bc=d,

所以可得6=。，

所以62=02=02-。2,可得02=2。2,则a=&C,

所以椭圆的离心率e=。=卷=乎：

(II)由题意得，点P不在x轴，

不妨设点尸(m,〃)(〃W0),A(xi，yi),(必”)，

Fi(-1,0),Fi(1，0),

由4%=AF]P,得(-1-xi,-yi)=入(加+l,n)f

xi=-痴-入-1,yi=-M,

又由(I)及c=l知椭圆C的方程为：万+/=1

Qin+a+l)2.尸

-__Y~^~+⑶)=1，①

2

又-^-+"2=1,②

联立①②可得(3+2加)入2+(2刃+2)入-1,

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即［（3+2加）A-1!•（1+A）=0,

由题意知人>0,入+1W0,

所以入=豆先’

1

同理可得^=打痂（n>o）,

所以入+u=多急+』=苴忌’

2

故当阳=0,入+p取到最小值

2.已知抛物线炉=2川（p>0）上一点尸的横坐标为4,且P到焦点厂的距离为5,直线/

交抛物线于4B两点（位于对称轴异侧），且。小。B=*

（I）求抛物线的方程；

（II）求证：直线/必过定点.

【解答】解：（I）由题可得点尸到抛物线准线的距离为5,

抛物线的准线方程为x=-*由抛物线的定义知4+5=5,

解得p=2,

故抛物线的方程为f=4x；

（II）证明：易知直线力8的斜率不为0,设直线的方程为l=吁3

A（.，.），B（.，为），且yiy2Vo,

联立方程｛+t>消去X可得“-4f=0,

则△=16m2+i6f>0,且yi+y2=4加，y\y2=-4/,

-»-*Q（ViV*?）29

由04•=4得———+yry2=

解得-18或2（舍去），

Q

所以-4f=-18,可得Z=2，

即直线N8的方程为xfy+宏

Q

令y=0,则x=2，

9

所以直线/必过定点（5,0）.

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3.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过/(0,-2),8(3,-1)

2

两点.

(1)求E的方程；

(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于"，N两点，过用且平行于x轴的直线与线段

48交于点7,点〃满足MT=TH证明：直线"N过定点.

22

【解答】解：(1)设E的方程为三三=1，

4=i

nb

将A(0，-2),-1)两点代入得9i，

",2*,2=1

4ab

解得〃2=3,房=4,

22

故E的方程为工上=1；

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⑵由A(0,-2),B得,-1)可得直线AB：y=-1x-2

①若过P(l,-2)的直线的斜率不存在，直线为x=l,

代入号片'=1'可得M(l，婴)，N(l,

将y=2季■代入AB：可得T(、后+3,乙；$_)，

由而=而，得H(2>B+5,平■)，

O

易求得此时直线HN：y=(2-^-)X-2-过点(0，-2)；

3

②若过P(l,-2)的直线的斜率存在，设丘-y-(H2)=0,M(xi,川)，N(X2,

”)，

kx-y-(k+2)=0

联立［22，得(3乒+4)x2-6kC2+k)x+3k(%+4)=0,

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6k(2+k)-8(2+k)

yi+y=—9—

x1+x2=--3-k-29-+-4-23k2+4-24k⑺

故有，4(4+4k-2k2'且勺丫2+乂2丫广叁J，),

_3k(4+k)

x1X2-3k9%4-3k2+4

73yl

联乂，2，可得T(一-—+3,y1)H(3y1+6-xj»Yj)>

y=yx-22

可求得此时HN：y-y„=——力-72——(x-x°)，

23y1+6-x「X22

将(0,-2)代入整理得2(xi+x2)-6Cy\+y2)+xi/+x2_yi-3yly2-12=0,

将(*)代入，得24Z+12庐+96+48Z-24k-48-48左+24庐-36/-48=0,

显然成立.

综上，可得直线HV过定点(0,-2).

4.己知函数/(x)=ln(1+x)+axex.

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程：

(2)若/(x)在区间(-1,0),(0,+8)各恰有一个零点，求。的取值范围.

【解答】解：(1)当。=1时，/(x)=加(1+x)+xe'x,则f，(x)=^+e-x.

1+x

：.f(0)=1+1=2,

又/(0)=0,

.•.所求切线方程为y=2x；

若a20,当-1VxVO时，f(x)>0,f(x)单调递增，则/(x)</(0)=0,不合

题意；

故。<0，一6)=7^~(13弓£))，令g(x)=l且肾立，注意到

xx

1+xee

/八_i_/八—I-//、a(X-1+V2)(X-1-V2)

g⑴T，g(0)-l+a»g(x)=----------------------，

e

令g，(x)>0,解得或X〉1WL令g'(x)<0,解得

1-V2<x<1+V2,

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在(T,I-V2),(1W2,他)单调递增，在(13,1/)单调递减,

且x>l时，g(x)>0,

①若g(0)=l+a20,当x>0时，g(x)>0,f(x)单调递增，不合题意；

②若g(0)=l+a<0,g(0)g(1)<0,则存在xo6(0,1),使得g(xo)=0,

且当xe(0,xo)时，g(x)<g(0)=0,f(x)单调递减，则/(xo)<f(0)=0,

当尤>1时，f(x)>ln(1+x)+a>0,/(一。-1)>0,则由零点存在性定理可知/