大学物理-第二章-气体动理论2课件

§2.4麦克斯韦速率和速度分布规律

一．分子速率分布函数二．麦克斯韦速率分布律§2.5麦克斯韦速率分布实验验证

一．麦克斯韦速率分布实验验证二．麦克斯韦速度分布律§2.6玻尔兹曼分布定律1气体分子热运动是杂乱无章的，由于其他分子的不断碰撞，单个分子的运动速度的方向和大小是不可预知，但是大量分子的整体却会出现一些统计规律：

分子数按位置分布平均说来是均匀的。分子数按速度方向分布平均说来是均匀的。在容器内任何一处，不论怎样取体积ΔV，只要ΔV中包含有大量的分子ΔN，则ΔV21.

无论在容器中的什么地方，只要ΔV大小相同，ΔV包含的分子数占总分子数的比率就相等；

分子数按空间位置分布是等概率的

分子数按位置分布平均说来是均匀的。分子数按速度方向分布平均说来是均匀的。2.

同理，无论任何时刻沿任一方向运动的分子数占总分子数的比率都相等；分子数按速度方向分布是等概率的3理论和实验发现：当气体处于平衡态时，分子数按速率的分布也遵循着一个完全稳定的统计规律

——麦克斯韦速率分布律问题：

分子数按速度的大小的分布有什么规律呢？1859年，理论上也就是说，在总数为N的分子中，具有各种速率的分子各有多少？或这些分子在运动过程中，出现在各个速率范围内的概率是多少？4§2.5麦克斯韦速率分布律和速度分布律

一．分子速率分布函数为了说明这个规律，下面首先介绍分子速率分布函数的概念分子的速率在原则上可以连续地取值，从0到∞；在各个速率范围中分子数是不连续的；3.如何来研究分子数按速率的分布？将速率分成一些小的区间，按这些区间来计算分子数设气体分子总数为N，速率处在v到v+dv

之间的分子数为dN

，5特点：1.

不同v附近的速率区间dv

内分子数dN

是不同的，这一比率是速率v的函数；2.

在区间dv

足够小的情况下，这一比率还应和区间的大小dv

成正比。设定：气体分子总数为N，速率处在v到v+dv

之间的分子数为dN

：速率在v到v+dv

之间的分子数占总分子数比率为6式中写成等式——分子速率分布函数物理意义：由等式右边可以看出分子速率分布函数表示速率在v附近，单位速率区间内的分子数占总分子数的比率。7——分子速率分布函数讨论1.就大量分子而言，表示速率在v到v+dv

区间内分子数占总分子数的比率

2.对单个分子而言，由于分子的速率在不断的改变，它的速率有时处在v到v+dv

区间内，有时也可能处在这个区间外，因此f(v)dv表示单个分子处于v到v+dv

区间内一种预计或者估计，也就是前面提到的概率81.它的大小反映单个分子处于v到v+dv

区间的可能性的大小；2.任何时刻分子具有什么样的速率无法确定，但是具有某一速率的可能性大小是可以预计的。因此表示单个分子处于v到v+dv

区间内一种预计或者估计，也就是前面提到的概率f(v)dv对于单个分子的意义说明：9——分子速率分布函数讨论速率处在v1到v2这个有限速率区间中的分子数可用下列积分计算表示速率处在v到v+dv

区间内的分子数；速率处在0到∞整个区域中的分子数3.函数变式：Nf(v)v=dN10意味着：1.

对大量分子来说，任意分子的速率必然落在0

到∞整个区域中的；2.

对单个分子来说表示按速率分布单个分子处于0到∞整个区域中的概率等于1。4.分子速率分布函数的归一化11二．麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律就是给出了一定条件下的速率分布函数的具体形式麦克斯韦速率分布律——麦克斯韦速率分布函数在平衡态下，气体分子速率在v到v+dv

区间内的分子数占总分子数的比率为其中12——麦克斯韦速率分布函数T

是气体的热力学温度，m是一个分子的质量，k

是玻尔兹曼常数对于给定气体（m一定），只与温度有关。13麦克斯韦速率分布曲线以速率v为横轴，以为纵轴，画出的图线就是麦克斯韦速率分布曲线，它能形象地表示出气体按速率分布的情况o14则曲线下所围整个面积等于1曲线所围面积及物理意义o在曲线下v附近取一宽度为dv

的小窄条小窄条面积就等于物理意义：就等于在该区间内的分子数占总分子数的比率思考？图示阴影部分的面积的意义15曲线特征从曲线形状可以看出，速率很小和速率很大的分子数都很少,或者说分子取速率很大或很小的概率都很小；2.从曲线看，在某一速率vp

处，f(v)函数有一极大值。或者说分子速率取的概率最大物理意义：若把整个速率范围分成许多相等的小区间，则所在区间内的分子数占总分子数的比率最大o最概然速率16温度对分布曲线影响不同温度下的分布曲线有何不同呢？对于给定气体（m一定），f(v)

只与温度有关。下图给出了某种气体在不同温度下的速率分布函数请分析温度对分子速率分布的影响？T1T3T217T1T3T2温度升高，曲线的峰变低，并且向速率大的一侧移动；2.随温度升高，曲线下的面积高度下降，宽度变宽，最可几速率的值变宽，而f(v)

减小。181、最概然速率vp由速率分布函数的极值条件：——与分布函数f（v）的极大值对应的速率即：得：麦克斯韦速率分布律应用三种特殊速率192、平均速率v因考虑到分子速率是从0~连续分布的，故应用自0~的积分来求和。于是

——大量分子无规则运动速率的算术平均值20从而可求得方均根：同理：3、方均根速率vrms（或）v2速率的方均值为——大量分子无规则运动速率平方的平均值的平方根21三种速率的比较f(v)0v以上三种统计速率各有不同的意义和作用vp<<vv2

计算分子的平动动能；讨论分子的速率分布；计算分子平均自由程。221)T一定时2)m（µ）一定时

讨论23要验证分子速率分布规律，需要高真空技术。直到20世纪20年代，才开始能对气体分子速率进行实验测定：最早测定分子速率的是1920年斯特恩（Stern）1934年我国物理学家葛正权曾测定过铋（Bi）蒸汽分子的速率分布实验结果都与麦克斯韦速率分布律大致相符。1955年蜜勒（Miler）和库什（P.Kusch）做的比较精确地验证了麦克斯韦速率分布律下面介绍一个测定分子速率分布的实验§2.5麦克斯韦速率分布实验验证

一．麦克斯韦速率分布实验验证24小孔充分小,改变,测D上的沉积厚度,就可测气体速率分布蒸汽源检测器ROD抽气抽气密勒-库什实验装置及演示1955年，Miller和Kusch用钾（和铊）蒸汽作的分子射流实验。25PCBASSφlωA

恒温箱——金属蒸气源P：接受分子的胶片屏高真空的容器显然只有满足下面两个关系的分子，才通过C盘狭缝射到P上。当ω

，l

，φ

一定时，只有速率满足上式的分子，才能通过C盘狭缝射到P上。这时B

和C起着速率选择器的作用，改变ω

（或l及φ），可使速度大小不同的分子通过。26实验结果表明：实验与理论符合较好。说明蒸汽源内的原子的速率分布是遵守麦克斯韦速率分布律的实验表明：大量分子的速率分布遵从一定的统计规律

——麦克斯韦速率分布律27例.

有N个粒子，其速率分布函数为求:

1）速率分布曲线

2）由v0求常数C 3）粒子的平均速率解:1）速率分布曲线（如图所示）2）常数

C由归一化条件求得3）平均速率：所以，有28二．麦克斯韦速度分布律只要用速度分量代替速率，并将其推广到三维情形，就可以得到麦克斯韦速度分布律。它表示分子速度分量处在之间的概率29——麦克斯韦速度分布函数30是气体分子具有速度分量vi的概率。31平均速度是气体分子具有速度分量vi的概率。32说明：上面介绍了分子按速率和速度分布的情况，并假设分子在空间位置的分布是均匀的，即认为在容器中的任一处都有相同的分子数密度。但这仅适用于气体不处在外力场中的情形，如果气体受到外力场的作用情形就会不同例如：

处在地面附近的空气，气体分子在重力作用下要落向地面，即倾向于落向势能最低处，但由于分子存在热运动，又使它们向上扩散开来，这两倾向达到平衡时，就出现了空气分子沿竖直方向作上疏下密的分布。33麦克斯韦速度分布函数只与分子运动有关，那么分子按空间位置的分布也必然与分子在外力场中的势能有关。玻尔兹曼将麦克斯韦速度分布律作了推广。§2.6玻尔兹曼分布定律(自学)34玻尔兹曼提出：气体在平衡态下，分子速度处在区间vx~vx+dvx

，

vy~vy+dvy

，

vz~vz+dvz

，和位置处在区间x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz中的分子数目为：式中分别表示分子动能和分子在外场中的势能。——玻尔兹曼分布定律35——玻尔兹曼分布定律将上式对位置积分就是麦克斯韦速度分布；将上式对速度积分就得到气体分子数按位置的分布。36分子数密度上式表明：对于相同的体积元dxdydz

来说，势能大的区域分子数少