空间图形的基本关系与公理课件

第2课时空间图形的基本关系与公理1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线所有的点都在这个平面内．公理2：经过

的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有

通过这个点的公共直线．两点不在同一条直线上一条3．直线与平面的位置关系有

三种情况．4．平面与平面的位置关系有

两种情况．5．平行公理平行于

的两条直线平行．平行、相交、在平面内平行、相交同一条直线【思考探究】如何判断两直线是异面直线？提示：

(1)可以利用定义判断两直线不同在任何一个平面内．(2)利用“过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线”去判断．6．定理空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

相等或互补．1．分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(

)A．异面 B．平行C．相交

D．以上都有可能解析：

如图，a∥b，c与d相交，a与d异面．答案：

D2．直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两条直线的平面的个数为(

)A．1 B．3C．6 D．0解析：

以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个．答案：

B3．在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么(

)A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D．M既不在直线AC上，也不在直线BD上解析：

平面ABC∩平面ACD＝AC，M∈平面ABC，M∈平面ACD，从而M∈AC.答案：

A4．已知A、B、C表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理正确的是________．(1)A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒lα(2)A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB(3)L

α，A∈l⇒A∉α(4)A∈α，A∈l，l

α⇒l∩α＝A答案：

(1)(2)(4)5．如图，若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的正切值________．1．点共线问题证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．2．线共点问题证明空间三线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上．3．证明点线共面的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)设EG与FH交于点P.求证：P、A、C三点共线．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P、A、C三点共线．【变式训练】

1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是AA1的中点．(1)求证：E、F、D1、C四点共面；(2)求证：CE、D1F、DA三线共点．证明：

(1)如图，连接A1B，EF，CD1.∵EF∥A1B，CD1∥A1B，∴EF∥CD1.故E、F、D1、C四点共面．(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1，所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P，∵D1F在平面A1ADD1内，∴P在平面A1ADD1内．同理，P在平面ABCD内，∴P在平面A1ADD1与平面ABCD的交线DA上，即CE、D1F、DA三线共点．在证明线线平行时，常利用公理4，证明两直线同时平行于第三条直线，从而证明两直线平行．如图是正方体的表面展开图，E、F、G、H分别是棱的中点，试判断EF与GH在原正方体中的位置关系并加以证明．解析：

将展开图还原为正方体ABCD－A1B1C1D1，则E、F、G、H分别是棱A1D1、A1B1、BC、DC的中点，连结B1D1，BD(如图)，则EF∥B1D1，GH∥BD.又∵BB1D1D是正方体的侧棱，∴BB1綊DD1.∴四边形BB1D1D是平行四边形．∴B1D1∥BD.∴EF∥GH.即EF与GH是平行关系．【变式训练】

2.空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点，请问E、F、G、H满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？并加以证明．解析：

E、F、G、H为所在边的中点时，四边形EFGH为平行四边形．证明如下：∵E、H分别是AB、AD的中点，

证明两直线为异面直线的方法(1)定义法(不易操作)．(2)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．(3)一个常用结论过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由．(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析：

(1)不是异面直线．理由：连接MN、A1C1、AC，∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，∴MN∥A1C1.又∵A1A綊D1D，而D1D綊C1C，∴A1A綊C1C，∴A1ACC1为平行四边形．∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线．理由：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1.∴BC平面CC1D1，∴B∈平面CC1D1D，这与ABCD－A1B1C1D1是正方体矛盾．∴假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．【变式训练】

3.下列四个命题：①若直线a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c是异面直线；②若直线a、b相交，b、c相交，则a、c相交；③若a∥b，则a、b与c所成的角相等；④若a⊥b，b⊥c，则a∥c.其中真命题的个数是(

)A．4

B．3C．2 D．1解析：

如图，①若A1A为b，CD为a，BC为c，则a、c不异面，∴①不正确．②若A1A为b，AB为a，A1B1为c，则a∥c，∴②不正确．若AA1为b，AB为a，AD为c，则a⊥b，a⊥c，b⊥c，且a与c相交，故④也不正确．③由异面直线所成角的定义或等角定理知③正确．答案：

D1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．从近两年的高考试题来看，异面直线的判定、异面直线所成角在高考试题中偶尔会出现，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属低中档题，重点考查异面直线的概念、异面直线所成角的定义及求法，同时考查反证法，以及学生的空间想象能力．

(本小题满分12分)(2010·湖南卷)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.【规范解答】

(1)因为C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角.2分【阅后报告】该题难度较小，第(1)问的关键在于“找到角”，而第(2)问关键在于证明BM⊥平面A1B1M，这些方法是解决立体问题常用思路．1．(2010·江西卷)过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作(

)A．1条B．2条C．3条

D．4条解析：

连接AC1，则AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等；过点A分别作正方体的另外三条体对角线的平行线，则它们与棱AB，AD，AA1所成的角也