自动控制采样系统课件

第八章采样系统理论8.1离散系统的基本概念8.2信号的采样与保持

8.3Z变换与Z反变换

8.4离散系统的数学模型

8.5稳定性与稳态误差8.6离散系统的动态性能分析

End本章作业.A/DD/A数字控制器被控对象测量元件

e*(t)数字计算机r(t)e(t)

u*(t)uh(t)

c(t)_计算机控制系统典型原理图

2.离散系统：系统中有一处或多处为离散信号的系统称离散系统。典型的计算机控制系统即为离散系统的一种。其原理图如下：

1.离散信号：仅定义在离散时间上的信号称离散信号，离散信号以脉冲或数码的形式呈现。8.1离散系统的基本概念系统分为连续系统、采样系统和数字系统。另外还有离散事件系统。采样系统、断续系统、离散控制系统基本等价，从实现手段上又称计算机控制系统，在取值上数字化，又称数字系统。.

A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化两过程。D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。

(a)连续信号t(b)离散信号t(c)离散量化信号t..离散控制系统的特点1.校正装置效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制规律易于改变，控制灵活。2.采样信号，特别是数字信号的传递能有效地抑制噪声，从而提高系统抗干扰能力。3.可用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备利用率。4.可实现复杂控制规律，且可以在运行中实时改变响应参数。.e*(t)=e(t)δT(t),其中为理想单位脉冲序列。则：8.2信号的采样与保持对上式取拉氏变换,得例8.1

e(t)=eat,试写出e*(t)表达式。

物理意义：可看成是单位理想脉冲串T

(t)被输入信号e(t)进行调制的过程，如右图所示。

在图中，T(t)为载波信号；e(t)为调制信号；e*(t)为理想输出脉冲序列。8.2.1采样过程与采样定理e(t)te*(t)te(t)e*(t)S采样过程

数学描述：把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采样开关。采样过程可用下图表示。8.18.38.48.58.68.2.2.

---设计控制系统必须严格遵守的一条准则。

1.问题的提出连续信号e(t)经过采样后，只能给出采样点上的数值，不能知道各采样时刻之间的数值。从时域上看，采样过程损失了e(t)所含的信息。采样定理怎样才能使采样信号e*(t)大体上反映e(t)的变化规律呢？.(a)连续信号t(b)离散信号t

2.定性分析如果连续信号e(t)变化缓慢（最大角频率max较低〕，而采样角频率s比较高（即采样周期T=2/s较小〕，则e*(t)基本上能反映e(t)的变化规律。

3.采样定理（香农定理）

如果采样器的输入信号最高角频率为ωmax，则只有当采样频率ωs≥2ωmax,才可能从采样信号中无失真地恢复出连续信号。....8.2.2信号复现及零阶保持器信号复现将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装置称为保持器或复现滤波器。eh(t)e*(t)e*(t)t

零阶保持器eh(t)t

零阶保持器的数学表达式为e(nT+△t)=e(nT)；其脉冲响应为gh(t)=1(t)-1(t-T)，传递函数为

零阶保持器零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。零阶保持器的输入输出特性可用下图描述。8.2.1.频率特性：

可以看出，零阶保持器对部分高频信号不能衰减，同时存在不同滞后。.一阶保持器和三角形保持器

一阶保持器：示意图和频率特性图

三角形保持器：实际上是不能实现的，一般只有采用滞后一步的三角形保持器：

所以一般采用最简单的零阶保持器。.零阶保持器的工程实现所以采用RC电路即可以实现零阶保持..8.3Z变换与Z反变换8.3.1

Z变换性质

1.Z变换的定义

令z=eTs,则=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…

即为Z变换的定义式。称E(z)为e*(t)的Z变换,记作Z[e*(t)]=E(z),或Z[e(t)]=E(z)注意的问题:(1)Z变换只在采样点定义.z=eTs

或s=1/T.lnz不是等价关系.(2)Z带有明显的时间信息,z-1称为一步延迟因子,S不具有这个性质.如:y(z)=z-1x(z),则:y(n)=x(n-1)(3)收敛特性,通常|z|>1,所以级数是收敛的.8.18.48.58.68.28.3.2.

2.Z变换方法

(1)级数求和法

将Z变换的定义式展开：

E(z)=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(nT)z-n+…(2)部分分式法①先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E(s)；②将E(s)展开成部分分式之和的形式；③求拉氏反变换，再求Z变换E(z)。对于常用函数Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。.对比(2)中结果，有(4)单位斜坡信号

e(t)=t，则3.典型信号的Z变换

两边同乘(-Tz)，得单位斜坡信号的z变换两端对z求导数，得

（3）单位理想脉冲序列

e(t)=δT(t)（1）单位脉冲函数

e(t)=δ(t)（2）单位阶跃函数

e(t)=1(t).(5)指数函数

e(t)=e-at(a为实常数〕，则

这是一个公比为(e-aTz-1)的等比级数，当|e-aTz-1

|<1时，级数收敛,则可写成闭合形式所以利用(*)、(**)式，有(6)正弦信号

e(t)=sint

,因为.进行部分分式展开，有再取拉氏反变换参照(2)和(5),得.4.Z变换的性质

（1）

线性定理若E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a为常数，则

Z[e1(t)+e2(t)]=E1(z)+E2(z)，Z[ae(t)]=aE(z)

例8.2

已知e(t)=1(t-T),求Z变换E(z)。

(3)

复数位移定理

已知e

(t)的z变换为E(z)，则有根据复数位移定理，有

例8.3已知e(t)=te-at,求Z变换E(z)。

Z[e(t)]=E(ze

±at)（2）

实数位移定理若

E(z)=Z[e(t)]，则

Z[e(t-kT)]=z-kE(z),Z[e(t+kT)]=解：解：已知单位斜坡信号的z变换为8.3.28.3.1.(4)z域微分定理

若e

(t)的z变换为E(z)，则若e

(t)的z变换为E(z)，则

z[ane(t)]=E(z/a),a为常数

例8.4试求ncost的Z变换。(5)z域尺度定理解：由变换表.(6)初值定理若e

(t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值(n=0,1,2,…)，且极限存在，则设x(nT)和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为x(nT)y(nT)=，则卷积定理为：Z[x(nT)y(nT)]=X(z)Y(z)若e(t)的z变换为E(z)，并有极限存在，则(7)终值定理（8）卷积定理.8.3.2Z反变换

从Z域函数E(z)求时域函数e*(t)，叫做Z反变换。记作Z-1[E(z)]=e*(t)。

例8.5

已知z变换函数，试求其z反变换。

解：首先将E(z)/z展开成部分分式所以

e(nT)=(-1+2n)10

e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+…

=0+10(t-T)+30(t-2T)+70(t-3T)+…

1.部分分式展开法

部分分式展开法是将E(z)展成若干分式和的形式，对每部分分式查Z变换表找出相应的e*(t)。因Z变换表中Z变换函数分子普遍有因子Z，所以应将E(z)/z展开成部分分式。性质8.3.1.

例8.6

已知z变换函数解：因为所以

e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+…=0+(1-e-aT)(t-T)+(1-e-2aT)(t-2T)+(1-e-3aT)(t-3T)+…2.幂级数法（综合除法)查表得

e(t)=1(t)-e-at则e(nT)=1-e-anT由Z变换的定义而则c0,c1,c2,…就是脉冲序列e*(t)各采样点的值e(nT),所以试求其z反变换。.

例8.7已知z变换函数试求其z反变换。解：.3.反演积分法(留数法)其中围线C为包围X(Z)所有极点的闭合围线在复变理论中，积分值的计算是借助于留数定理来获得的。由于围线C包围了X(z)的所有极点，所以利用留数定理可以得到：

其中，z=zk为第k个极点值，Res[*]为X(z)关于极点z=zk的留数。.

例8.8已知z变换函数试求其z反变换。解：X(z)有两个极点z1=2,z2=2,由围线积分公式得：.8.4离散系统的数学模型8.4.1线性常系数差分方程及其解法式中：k—第k个采样周期；n—系统的阶次。一般n阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，可用n阶常系数差分方程描述。8.18.38.58.68.2对于n阶连续时间系统，输出和输入之间的关系，可用n阶常系数微分方程描述。.差分方程求解：1.迭代法根据给定差分方程和输出序列的初值，则利用递推关系，一步步算出输出序列，因此，主要由计算机完成迭代法的求解。2.Z变换法

用Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的位移性质，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解C(z)取Z反变换即求得输出序列。

例8.8已知差分方程和初始条件为：试用z变换法求差分方程的解yk。解：方程两边作z变换得：得到输出量：方程两边作反z变换得：.8.4.2脉冲传递函数脉冲传递函数的定义和意义

零初始条件下，系统输出C(t)的z变换C(z)与输入r(t)的z变换R(z)之比，称为脉冲传递函数，即G(z)=C(z)/R(z)。

若输入r(t)=δ(t),则C(z)=G(z)R(z)=G(z),g*(t)=Z-1[G(z)]。即连续系统的脉冲响应采样后的Z变换即为脉冲传递函数。.对于连续系统G(S),..2、脉冲传递函数的求取由以上思路：其他还有诸如双线性变换法等.开环脉冲传递函数1.串联环节3各种情况下系统的离散化.2.有零阶保持器的情况3.连续信号进入连续环节一般不能写出G（Z）.--闭环脉冲传递函数.8.5离散系统的稳定性与稳态误差8.5.1稳定性判据一、S域到Z域的映射1.S域的虚轴映射成Z域的圆周；左半S平面映射在圆周内，右半S平面映射在圆周外。其中S域的多点对应于Z域的一点（实部相同，虚部呈周期性）.设系统的结构图如下图所示，采样周期T=1s。设K=10,试分析系统的稳定性，并求系统的临界放大系数。例8.7解：⑴

由图得

由此得系统特征方程为

z2+2.31z+3=0求解得一对共轭复根

1=-1.156＋j1.292=-1.156-j1.29分布在单位圆外，因此系统是不稳定的。

C(s)R(s)

—二、离散系统稳定的充要条件Z域中：特征方程1+HG(Z)=0的模│Zi│<1(牢固掌握).三、离散系统的稳定性判据1.双线性变换与劳氏判据，用于解决S对Z的一对多问题⑴双线性变换⑵劳斯判据：同前连续系统..求得系统特征方程为

z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K)=0例：由系统开环脉冲传递函数得到系统的临界放大系数为:

Kc=2.4列劳氏表计算

w22.736-0.104K0.632K

w11.264-0.528K0

w00.632K

为使系统稳定，须有进行w变换得(2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=0.1.终值定理法

8.5.2稳态误差的计算

2.误差系数法

(1)单位阶跃输入时

r(t)=1(t)

(2)单位斜坡输入时

r(t)=t

(3)单位加速度输入时

r(t)=t2/28.5.1例.

设系统的结构图如下图所示，K