电磁感应中的双导轨问题

电磁感应中的双导轨问题等间距导轨一、无外力F作用如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，导轨间的距离为L,导轨上横放着两根导体棒ab和cd,它们与两金属导轨组成闭合回路.已知两根导体棒的质量均为m,导体棒ab在导轨之间的电阻为2R,导体棒cd在导轨之间的电阻为R,导轨光滑且电阻可忽略不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B.开始时，导体棒cd静止，导体棒ab具有水平向右的初速度v0,此后的运动过程中，两导体始终与金属导轨垂直且接触良好.求：闭合回路中电流的最大值；两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热；当导体棒ab的速度大小变谱v0时，导体棒ab发热的功率及其加速度大小。【分析】当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，根据闭合电路欧姆定律列式求解即可；随着右边棒速度增加，必然有安培力的产生，右边棒收到的安培力向左做减速运动，左边棒受到的安培.力向右做加速运动，随着速度减少，两棒的加速度也在减少，当二者速度一样时候，回路的电动势为零，没有电流也就没有安培力， 两个棒稳定运动， ，t解：(1)当导体棒ab刚开始运动时，闭合回路中的磁通量变化率最大，感应电动势最大，所以电流最大，最大电动势为Em=BLv0由闭合电路欧姆定律得:

最大电流为：【m二丞十R』3R(2)运动过程中，两导体棒沿水平方向不受外力，动量守恒设共同速度为v，则：mv0=2mv整个过程中两导体棒组成系统损失的动能全部转化为焦耳热，根据能量守恒定律得:(3)设ab棒的速度变为号■时，cd棒的速度为v'，则由动量守恒可得：^气二m"+nr^VQ注意：由于两个棒都在切割产生感应电动势，方向相冲，所以产生的感应电动势要相减。此时回路中的电动势为E=BL-rv注意：由于两个棒都在切割产生感应电动势，方向相冲，所以产生的感应电动势要相减。此时回路中的电动势为E=BL-rv0-BL此时回路中的电流为I房与#bix导体棒的发热功率为：P=I勺二；R2T2EL片6Rid此时R2T2EL片6Rid…、，F由牛顿弟一定律可得，ab棒的加速度为：a=—ID答：(1)闭合回路中电流的最大值为-；2…，…一，，，…………叫口(2)两导体棒运动的整个过程中回路中产生的焦耳热为一^—r2t2 2(3)当导体棒ab(3)当导体棒ab的速度大小变时，导体棒ab发热的功率为，其加速1OR度大小为如图所示，平行金属导轨MN、MzN'和平行金属导轨PQR、P‘Q‘R'固定在高度差为h(数值未知)的两水平台面上。导轨MN、MzN'左端接有电源，MN与MzN'的间距为L=0.10m,线框空间存在竖直向上的匀强磁场、磁感应强度B1=0.20T；平行导轨PQR与P‘Q‘R'的间距为L=0.10m,其中PQ与PzQ'是圆心角为60°、半径为r=0.50m的圆弧形导轨，QR与Q‘R'是水平长直导轨，QQ'右侧有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B2=0.40T。导体棒a质量m1=0.02kg，接在电路中的电阻R1=2.0Q，放置在导轨MN、M，N'右侧N‘N边缘处；导体棒b质量m2=0.04kg，接在电路中的电阻R2=4.0Q，放置在水平导轨某处。闭合开关K后，导体棒a从NN'水平抛出，恰能无碰撞地从PP'处以速度v1=2血，滑入平行导轨，且始终没有与棒b相碰。重力加速度g=10m/s2,不计一切摩擦及空气阻力。求：f-I- +fS|导体棒b的最大加速度；导体棒a在QQ'右侧磁场中产生的焦耳热;闭合开关K后，通过电源的电荷量q。⑴设a棒滑到水平导轨上时的速度大小为v2，则从PP'到QQ'，由动能定理得m1g(r—rcos60°)=^m1v2—|m1v2解得v2=3m/s因为a棒刚进磁场时，a、b棒中的电流最大，b棒受力最大，加速度最大，所以E=B2Lv2=0.12VEI=R1+R2=0.02A由牛顿第二定律有B2IL=m2amax则导体棒b的最大加速度amax=0.02m/s2两个导体棒在运动过程中，动量守恒且能量守恒，当两棒的速度相等时回路中的电流为零，此后两棒做匀速运动，两棒不再产生焦耳热。所以由动量守恒定律有m1v2=(m1+m2)v3设a棒在此过程中产生的焦耳热为Qa，b棒产生的焦耳热为Qb由能量守恒定律有2m1v2=2(m1+m2)v2+Qa+QbA Ar—_r、r,n*、-，-t.一 ＞、i_/_»Qa^^1由于a、b棒串联在一起，所以WQb=R2Qa=0.02J设闭合开关后，a棒以速度v0水平抛出，则有v0=v1cos60°=1m/s对a棒冲出过程由动量定理得EB1ILAt=m1v0即B1Lq=m1v0q=1C二、水平导轨，有外力作用(安培力除外，)两根足够长的平行金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可不计。导轨间的距离i=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻均为R=0.50Q在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行，大小为0.20N的力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？【分析】两杆同向运动，回路中的总电动势等于它们产生的感应电动势之差，即与它们速度之差有关，对甲杆由牛顿第二定律列式，对两杆分别运用动量定理列式，即可求解。解：设时刻t两金属杆甲、乙的速度分别为V]和v2。回路中的感应电动势E=BLv1-BLv2=BL(V1-v2)回路中的电流对杆甲，由牛顿第二定律得：F-BLi=ma由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量(t=0时为0)等于外力F的冲量由动量定理得：Ft=mv1+mv2联立以上各式解得咛绊己十(F-ma)]t,%Fy^-^]t12ing 乙代入数据得vi=8.15m/s,v2=1.85m/s。结论：两个棒，一个做加速度减少的加速运动，一个加速度逐渐增大。直到二者加速度一样，两个棒的速度差恒定，产生的感应电动势恒定，使得各棒的合外力恒定，这样才能稳定的运动下去。对应的速度时间图像如下：、斜面上如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为。的绝缘斜面上，导轨上端连接一个定值电阻，导体棒a和b放在导轨上，与导轨垂直并接触良好，斜面上水平虚线PQ以下区域内，存在着垂直斜面向上的磁场，磁感应强度大小为B0.已知b棒的质量为m，a棒、b棒和定值电阻的阻值均为R，导轨电阻不计，重力加速度为g.断开开关S，a棒、b棒固定在磁场中，恰与导轨构成一个边长为L的正方形，磁Ap场从B0以^=k均匀增加，写出a棒所受安培力F安随时间t变化的表达式.若接通开关S,同时对a棒施以平行导轨斜向上的拉力F,使它沿导轨匀速向上运动，此时放在导轨下端的b棒恰好静止，当a棒运动到磁场的上边界PQ处时，撤去拉力F，a棒将继续沿导轨向上运动一小段距离后再向下滑动，此时b棒已滑离导轨，当a棒再次滑回到磁场上边界PQ处时，又恰能沿导轨匀速向下运动，求a棒质量ma及拉力F的大小.【分析】(1)由法拉第电磁感应定律求解感应电动势，根据闭合电路的欧姆定律电路的电流，根据安培力计算公式来解答；弄清楚电路连接情况，根据欧姆定律得干路电流，b棒保持静止时根据共点力平衡条件列方程，分析a棒的运动情况，根据机械能守恒定律得到a棒返回磁场时速度，a棒匀速下滑时，根据共点力的平衡条件求解a棒的质量；a棒向上运动时受力平衡，由此求解拉力大小.【解答】解：(1)由法拉第电磁感应定律可得：E=^^3；L>E根据闭合电路的欧姆定律可得：1=告，t时刻磁感应强度为：B=B0+kt，此时棒所受的安培力为：F^=BIL，解得：F安=虹(亳+心)根据题意可知，a棒沿斜面上运动时，a棒为电源，b棒和电阻R并联，通过a棒的电流为11，由并联电路关系可得：I1=Ib+IRb棒和电阻R阻值相等，则通过b棒的电流为：Ib=}li，

电路的总电阻为：R总=R：+R+E3由欧姆定律得干路电流为：11=瓦;一心感应电动势为：E=BLv,b棒保持静止，则有：mgsin0=BIbL,a棒离开磁场后撤去拉力F,在a棒进入磁场前机械能守恒，返回磁场时速度还是v,此时a棒和电阻R串联，则电路中的电流为：a棒匀速下滑，则有：magsin9=BI2L,联立以上各式，解得：ma号ir，a棒向上运动时受力平衡，则有：F=magsin0+BIaL，解得：F=jgmi口日.1T3答：(l)a棒所受安培力F安随时间t变化的表达式为F安=克史("t)；(2)a棒质量^^ir，拉力F的大小.四、竖直方向如图所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直于导轨向里的匀强磁场中，两根质量相同的金属棒A和B与导轨紧密接触且可自由滑动.先固定A，释放B，当B的速度达到10m/s时，再释放A，经1s时间A棒速度达到12m/s，(g取10m/s2)则：( )A.当vA=12m/s时，vB=18m/sB.当vA=12m/s时，vB=22m/sC.若导轨很长，它们最终速度必相同D.它们最终速度不相同，但速度差恒定【解答】解：AB、由于释放A,经1s时间A棒速度达到12m/s,根据动量定理可得mgt+F安t=mvA-0,对B根据动量定理可得：mgt-F安t=mvB-mvB0,联立解得：vB=18m/s,故A正确、B错误；CD、开始一段时间内，A棒的加速度大于B棒的加速度，二者的速度之差逐渐减小，安培力逐渐减小；若导轨很长，最终通过二者的感应电流必将为零，它们最终速度必相同，如图所示：故C正确、D错误； /故选：AC。不等间距导轨如图所示，间距不等的光滑导轨水平放置，上面垂直放置两根质量相等、电阻相等的金属导体棒，导轨的宽度lmn>lpq，且都处在磁感应强度竖直向上的匀强磁场中，导轨足够长，金属棒MN以某一初速度向右运动，则两根金属棒运动的v-t图象大致是（ ）分析金属棒MN以某一初速度向右运动，切割磁感线产生感应电动势和感应电流，该感应电流通过PQ，PQ受到向右的安培力而向右加速，也产生感应电动势，回路中总的感应电动势减小，感应电流减小，两棒所受的安培力减小，当回路中感应电流为零时，两棒做匀速运动.根据它们的受力情况分析其运动情况.解答】解：金属棒MN向右运动时，切割磁感线产生感应电动势和感应电流，该感应电流通过PQ，PQ受到向右的安培力而向右加速，也产生感应电动势，回路中总的感应电动势减小，感应电流减小，两棒所受的安培力减小，所以MN做加速度减小的减速运动，PQ做加速度减小的加速运动，当回路中感应电流为零时，两棒做匀速运动此时两棒产生的感应电动势大小相等，方向相反则有：BLmnvmn=BLPQVPQ，由于Lmn>Lpq,所以匀速运动时,Vmn〈Vpq，故A正确,BCD错误。如图所示，水平面上固定着不等间距的两段平行直导轨，处于磁感应强度大小为B的竖直向下的匀强磁场中，粗糙导轨PQ、P'Q'的宽度为L,光滑导轨MN、M'N'无限长，其宽度为2L,导轨电阻均不计金属棒ab、cd垂直放置于两段导轨上与导轨接触良好，均可自由滑动，其质量分别为m和2m,二者接入电路的电阻分别为R和2R，一根轻质细线绕过定滑轮(定滑轮用绝缘材料固定在轨道平面内，滑轮质量和摩擦不计)一端系在金属棒ab的中点上，另一端悬挂一物块W,W的质量着M,此时金属棒ab恰好不滑动。现用水平向右的恒定拉F使金属棒cd由静止开始向右运动，当cd达到最大速度时金属棒ab即将滑动，已知重力加速度g求：金属棒cd的最大速度vm恒定拉力F的大小若在金属棒cd达到最大速度时立即撤去拉力F,试计算出金属棒cd继续运动的位移S若金属棒cd从静止开始运动到达到最大速度所用时间为t,则金属棒ab从棒cd开始运动到静止共产生了多少焦耳热？【分析(1)当cd棒达到最大速度vm时，ab棒恰好未发生相对滑动，对ab棒根据平衡条件求解；

当cd棒达到最大速度vm时，此时cd受力平衡，根据平衡条件求解；金属棒cd达到最大速度时立即撤去拉力F，直到停止，对cd棒根据动量定理结合电荷量的计算公式求解；导体棒cd加速过程中，对cd棒根据动量定理结合电荷量的计算公式求解位移，对cd棒全过程根据动能定理求解产生的焦耳热。【解答】解：(1)当cd棒达到最大速度vm时，ab棒恰好未发生相对滑动，对ab棒受力分析可得：BIL=Mg+fmcd受拉力F作用前，根据平衡条件可得：Mg=fm解得:【=翠^对cd棒：Em=2BLvm，I=_^-解得:'mH解得:'mH；当cd棒达到最大速度vm时，此时cd受力平衡，则外力F=2BIL又BIL=2Mg故