数理统计之区间估计

引言前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.

譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条.若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，N的真值可能大于1000条，也可能小于1000条.也恩就躬是记说绿，晓我呢们粗希禁望貌确桐定陕一右个皱区椒间朵，禁使扁我宇们曾能尊以坏比插较菌高锹的可鹿靠芬程尊度相见信眼它忙包铲含等真饺参相数圈值饲.湖岁中械鱼至数悉的报真筝值[揭]这炮里轻所蒸说励的形“可弃靠必程患度”恩是腰用配概河率界来菌度乡丰量拴的奥，熟称磨为谋置搭信拒概努率告，萝置打信恢度寻或布置耍信拒水腔平爹.习惯上把置信水平记作，这里是一个很小的正数.置毕信堵水绿平董的熔大旱小冬是经根钉据头实痕际跨需巧要柄选件定番的屈.例如，通常可取置信水平=0.95或0.9等.根据一个实际样本，由给定的置信水平，我小的区间，使们求出一个尽可能置信区间.称区间为的置信水平为的寻际找敬置往信戒区邀间捞的胃方蛾法宗,泽一敌般疏是惑从兄确登定误浑差锯限入僵手草.使得称

为与

之间的误差限.我们选取未知参数的某个估计量，根据置信水平，可以找到一个正数

，只要知道的概率分布，确定误差限并不难.下霞面互我旅们冈就疫来帐正好式魔给玩出四置壶信袋区药间聚的泻定昏义青,沟并构通底过汽例睁子爹说选明黑求新置逃信呈区钢间局的萍方昆法期.由不等式可以解出：这剩个弊不裂等赵式取就孝是壤我滥们档所朋求劈燕的奶置敞信惭区蛾间远.教叮材稍1巧8沿0财页粉已歼经揉给隔出做了身概饺率子分控布臣的妙上丝式侧政分恢位闭数糟（挤分锤位兽点随）活的陈定晒义法，爪为垮便丸于瞧应缓用冰，葵这鸭里浑我粉们颂再很简不要帆介脖绍址一盒下贤.在黎求防置兴信田区纽奉间绑时侍，巩要究查内表炎求丧分搁位紫数笋.设0<<1,对随机变量X，称满足的点为X的概率分布的上分位数.例湾如颤:设0<<1,对随机变量X，称满足的点为X的概率分布的上分位数.标准正态分布的上分位数例叮如纤:设0<<1,对随机变量X，称满足的点为X的概率分布的上分位数.分脂布萝的疫上缩慧分叙位辽数自穿由与度右为旅n镰的设0<<1,对随机变量X，称满足的点为X的概率分布的上分位数.F分布的上分位数自由度为n1,n2的书末附有分布、t分布、F分布的上侧分位数表，供使用.需要注意的事项在教材上有说明.至益于锣如幸何也由匀标遥准怎正疯态毯分荣布分函吸数填表叉查霜表焦求之得住分选位隔数烘，甩若森你准对构分致布遮函滚数厕定炕义农熟针悉董的萝话换，批这允个匀问色题像不火难贴解住决讽.现售在敲回牵到驳置摸信膊区迁间愉题辟目眉上窜来许.一殊、垂置冤信范区填间辨定宾义洋：满足设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量则称区间是

的置信水平（置信度、置信概率）为

的置信区间.分别称为置信下限和置信上限.

一旦有了样本，就把估计在区间内.这里有两个要求:可前见拼，对参数作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量)(X1,…Xn)(X1,…Xn)2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.1.要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.即谣要苍求容估侵计纷尽粘量谣可耍靠皂.可惊靠兆度抬与洽精响度摆是袖一独对伶矛近盾单，一盘般蚀是之在朽保棵证丙可涂靠璃度柜的懒条进件贩下尽墓可命能腐提百高宵精谱度躁.~N(湖0娱,缎1匪)选的点估计为求参数的置信度为的置信区间.

例1设X1,…Xn是取自的样本，二淋、晃置量信好区新间程的位求刻法明躺确亿问驱题叫,全是齿求妙什毁么销参伶数远的螺置奴信究区化间义?置矛信猜水厚平踏是贸多彩少愁？寻找未知参数的一个良好估计.解验：寻畏找永一逗个陆待哪估狠参甚数美和估喉计棚量宣的虹函招数痕，摘要旬求其肿分休布验为耽已粉知摸.有优了联分洽布旺，妙就枝可膛以般求详出U取吐值卷于恭任标意堤区肯间爷的公概序率尿.对给定的置信水平查正态分布表得对鼓于摔给泻定短的起置咬信马水岭平扯(大永概齿率)萌,肉根降据U的艳分遭布签，确丹定蜘一冤个什区荒间,围使隶得U取花值排于赛该版区姨间用的神概举率独为置瞎信键水桨平挽.使为什么这样取？对给定的置信水平查正态分布表得使从膜中眯解墙得也棒可奖简漂记矮为于是所求的置信区间为从取例培1海解阵题分的权过改程篇，摄我动们逝归帅纳殊出夸求繁置高信漏区纯间万的结一罚般赏步旺骤寸如超下元:1涝.姓明艺确遮问吐题睡,遥是尸求两什友么垒参特数盒的宿置蛛信的区充间济?置信水平

是多少?2.寻找参数的一个良好的点估计T(X1,X2,…Xn)称S(T,)为枢轴量.

3.寻找一个待估参数和估计量T的函数S(T,),且其分布为已知.4.对于给定的置信水平

，根据S(T,)的分布，确定常数a,b，使得P(a≤S(T,)≤b)=

5.对“a≤S(T,)≤b”作等价变形,得到如下形式:则就是的100(

)％的置信区间.可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数和估计量T的函数S(T,),且S(T,)的分布为已知,不依赖于任何未知参数(这样我们才能确定一个大概率区间).而肤这西与敬总赶体橡分牢布稀有浑关芝，河所统以印，总战体宋分浴布避的猾形捏式胖是闯否拌已验知骗，圈是仙怎界样肯的胁类费型拖，院至孝关困重葡要.这富里职，堂我握们飞主火要党讨蒜论品总调体顷分昆布屈为正瓦态的甩情辈形扶.烤若铸样死本冷容量量走很洋大幼，粮即技使蝇总猾体俩分较布蜂未银知粘，乏应接用柄中绘心或极鸦限迫定现理主，挎可贝得絮总御体轰的轰近掉似恒分打布伍，愧于掀是豪也刑可幻玉以弊近息似喉求秆得形参隐数鱼的脖区每间屑估仗计泊.教易材斜上异讨通论舞了钱以唐下喷几可种斯情塞形暑：单个正态总体均值和方差的区间估计.两个正态总体均值差和方差比的区间估计.比想例p的索区冷间饥估秧计司.下拦面宣我变们许举透几绳个点例映子壤，钱其临余乞部祝分饱请本自葬己锋看讯.休黑息汉片千刻唐继刃续例2

已知某地区新生婴儿的体重X~随捏机陪抽届查1邻0疲0个填婴狼儿…得1款0垫0个小体西重粗数惠据X1,X2,…茅,X1兰0才0的区间估计求和（置信水平为1-

）.解帮：米这鹿是罚单扎总弯体泰均霜值岗和峡方馋差略的磁估暑计已知先求均值的区间估计.因泄方塑差类未猴知矿，北取对给定的置信度

,确定分位数使即均值的置信水平为的区间估计.即为从带中纽奉解济得取枢轴量从膜中疏解已得再求方差的置信水平为的区间估计.对给定的置信度

,确定分位数使于是即为所求.需舅要臭指微出脚的备是饲，挖给窜定币样捧本纳，遥给惠定惕置园信巩水导平气，置隔信颈区播间健也不冶是称唯棍一的智.对蚀同躲一庆个渡参演数臣，润我糊们奇可带以舰构糊造励许鹅多臣置险信陡区困间样.~N(0,1)取枢轴量由磁标江准述正冈态亭分买布赚表价，抵对宇任呢意a、b，我株们除可截以忌求理得P(a<U<b).例如，设X1,…Xn是取自的样本，求参数的置信水平为的置信区间.~N(侮0够,绩1裁)例如，由P(-1.96≤U≤1.96)=0.95我们得到均值的置信水平为的置信区间为由P(醋-壁1见.耽7暮5≤U≤应2誉.富3盆3盛)括=蓄0绕.粥9霜5这客个拖区徒间筐比仁前绍面念一立个缝要症长拢一新些圆.置信区间为我们得到均值的置信水平为的我德们隙总听是伏希扫望还置淘信锈区姥间步尽铁可勿能云短苍.类精似虏地月，昂我贿们唤可蜜得誉到灯若县干握个诞不骂同拣的姿置坟信区侮间甜.任济意宰两固个常数a和b，陡只己要崭它模们朗的纤纵钻标咽包下含f(u)将下划9搞5糖%的吃面既积迁，医就区确败定请一副个9裹5井%的蛾置典信砌区怖间僻.在裹概牢率撤密环度遗为泽单挡峰呀且堡对捏称坝的烂情绩形南，兄当a=持-b时汇求痛得年的斩置怕信滚区谢间蔑的候长责度陶为矛最蛋短残.a=盯-b即使在概率密度不对称的情形，如分布，F分布，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.我释们益可赌以忆得败到蓝未孩知唇参泪数迫的钳的牧任殊何置及信宫水暴平室小炎于水1纠的置桥信晨区皆间浇，夏并假且置病信移水蓬平跌越阔高帖，止相驳应蔬的置趣信坦区蕉间平谷均员长霸度越赖长盾.也筒就条是数说摘，哈要蜂想死得叮到牺的烈区滨间键估攻计彻可单靠等度初高崖，灭区障间司长厨度欲就兰长筝，荡估某计汇的次精毙度泪就腐差删.桃这桥是攀一虏对叹矛拉盾盟.实全用寒中勺应离在勇保挪证架足螺够初可挑靠争的故前紧提墓下谦，衰尽夫量绒使现得保区鸭间填的新长统度许短魂一碰些勉.例仓3某慌单敏位止要比估珍计昆平辱均爬每绩天贞职牛工傻的饮总风医甘疗顾费某，捉观速察箱了仅3唱0并天伏,宣其详总斧金蓬额维的历平染均山值浊是运1糖7斜0溜元惧，折标崭准有差锈为眉3铸0泥元骆，细试洪决辨定概职倒工烧每敲天锄总抬医再疗济费盟用怎平也均醒值够的笑区麻间贼估牙计昂（功置古信奔水菜平梯为易0照.粪9束5件）欣.解脂：设警每滋天芝职滴工辞的放总柜医地疗斑费控为X，近似服从正态分布大润样昆本峡，控由朝中撇心鸣极淹限景定网理剂，E(X)=,D(X)=未知，用样本标准差S近似代替.取轧枢舱轴陪量近诸似N(虽0筐,沉1记)堂分惩布对给定的置信水平,确定分位数使得均值的置信水平为的区间估计为将=170,S=30,=1.96,n=30代入得,的置信水平为0.95的置信区间是[159.27,180.74]得均值的置信水平为的区间估计为三炊、哥单蜜侧畅置习信证区帜间上润述堡置饶信垦区郑间丝式中尚置电信供限播都葡是谣双愁侧艇的潜，研但亲对锹于冤有底些许实坡际追问屡题爽，志人赞们集关鼻心洋的闸只馒是井参赤数沈在恒一剑个渐方稼向拘的瞒界陡限糟.例慌如粮对森于闯设隶备闸、迁元畜件洁的深使斗用橡寿源命葬来让说殃，蛛平祝均客寿翻命乞过奸长偏没堵什浙么月问踢题闯，恭过末短辈就症有壶问扰题动了蜂.这矿时医，孕可歪将室置皱信轧上甲限妙取屿为秧+耀∞虾，睁而且只浆着拳眼遇于坏置晓信眨下孤限巨，伙这粮样逮求势得坑的到置稿信兴区竹间鉴叫采单焰侧碎置衬信境区溪间卧.于捷是院引西入较单蔽侧宾置牵信肯区动间车和划置烫信纲限纱的陈定振义禾：满足设是一个待估参数，给定若由样本X1,X2,…Xn确定的统计量则称区间是的置信水平为的单侧置信区间.称为单侧置信下限.又若统计量