不完全信息静态博弈课件

不完全信息静态博弈

1——摘自《庄子》子非鱼,

安知鱼之乐？

子非我,

安知我不知鱼之乐？2不完全信息在前面的分析中，我们假定支付函数是所有参与人的共同知识()如果在博弈中至少有一个参与人不知道其他参与人的支付函数，则称该博弈为不完全信息博弈。不完全信息博弈又被称为贝叶斯博弈不完全信息一些不完全信息的例子与一个陌生人打交道购买一幅艺术品一个企业想进入某个市场参与投标的各个厂商一个简例：市场进入博弈一个企业决定是否进入一个新的产业，但不知道在为企业的成本函数，也不知道一旦进入，在位者决定默许还是斗争。假定在位者有两种可能成本函数：高成本和低成本。对应两种不同成本的不同策略组合的支付矩阵如表3-1所示。一个简例：市场进入博弈表3-1市场进入博弈：不完全信息在位者高成本情况低成本情况默许斗争默许斗争进入者进入不进入40.50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400如果在位者是高成本一个简例：市场进入博弈在位者高成本情况低成本情况默许斗争默许斗争进入者进入不进入40.50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400进入者最优行为是进入，在位者最优行为是默许。表3-1市场进入博弈：不完全信息一个简例：市场进入博弈在位者高成本情况低成本情况默许斗争默许斗争进入者进入不进入40.50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400如果在位者是低成本表3-1市场进入博弈：不完全信息一个简例：市场进入博弈在位者高成本情况低成本情况默许斗争默许斗争进入者进入不进入40.50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400进入者最优行为是不进入，在位者最优行为是斗争（一旦低成本者进入）。表3-1市场进入博弈：不完全信息一个简例：市场进入博弈在位者高成本情况低成本情况默许斗争默许斗争进入者进入不进入40.50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400但进入者不知道在位者究竟是高成本还是低成本，因此，进入者的最优选择依赖于他对在位者成本的信念。表3-1市场进入博弈：不完全信息一个简例：市场进入博弈假定进入者认为在位者是高成本的概率是p,则是低成本的概率是(1)。进入者进入的期望支付是p(40)+(1)(-10)进入者不进入的期望支付是0比较上面两个表达式，可知进入者的最优选择为如果p≥1/5，进入；如果p<1/5，不进入。在前面市场进入博弈中，进入者似乎是在与两个不同的在位者博弈，一个是高成本的在位者，一个是低成本的在位者。一般地，如果在位者有T种可能的不同成本函数，进入者似乎是在与T个不同在位者博弈。海萨尼()转换如果一个参与人并不知道他在与谁进行博弈，博弈的规则无法进行定义。海萨尼通过引入虚拟的参与人——”自然”()，将不完全信息博弈转换为完全但不完美信息的博弈，从而可用完全信息博弈论进行处理，这就是著名的“海萨尼转换”()海萨尼()转换图4.1就是市场进入博弈问题，经过海萨尼转换后，得到的博弈树。0高低[P][1-P]进入者不进入进入不进入进入合作斗争合作斗争(0,300)(0,400)(40,50)(-10,0)(30,80)(-10,100)图3-1市场进入博弈海萨尼()转换不完全信息静态博弈中，参与人i的行动空间可能依赖于他的类型θi,或者说行动空间是类型依存的()。比如，一个企业选择什么价格依赖于其实力；一个人能干什么事情依赖于其能力，等等。海萨尼()转换因此，行动空间可以表示为(θi)，一个特定行动可表示为集合(θi)中的一个元素。类似的，参与人i的支付函数也是类型依存的（比如不同成本函数的企业利润各不相同。），用(,;θi)表示参与人i的效用函数。于是可以用上述参数表示一个静态贝叶斯博弈。海萨尼()转换更为一般地，自然在博弈的开始选择还可包括参与人的战略空间、信息集、支付函数等。海萨尼()转换我们将一个参与人所拥有的所有个人信息称为他的类型()不完全信息意味着，至少有一个参与人有多个类型（否则就成为完全信息博弈）。海萨尼()转换一般地，用θi表示参与人i的一个特定类型，Θi表示参与人i的所有类型的集合，即θi∈Θi假定，只有参与人i知道自己的类型θi海萨尼()转换根据海萨尼公理()，假定各参与人类型的分布函数P(θ1,…,θn)是共同知识。以市场进入博弈为例，在位者高成本的概率p是共同知识意味着：进入者知道在位者是高成本的概率为p,在位者知道进入者认为在位者是高成本的概率是p…海萨尼()转换用θ(θ1,…,θ1,θ1,…,θn)表示除了i之外的所有参与人的类型组合。θ=（θi,θ）表示所有参与人的类型组合。根据条件概率规则海萨尼()转换N人静态贝叶斯博弈的战略式表述包括：参与人的类型空间Θi，条件概率p1,…,类型依存战略空间为(θi)，类型依存支付函数(;θi)，1,…。参与人i知道自己的类型θi（属于Θi），条件概率(θθi)描述给定自己属于θi的情况下，参与人i关于其他参与人类型的一个估计。可以用{;θ;;1,…}表示这个博弈。静态贝叶斯博弈定义给定参与人i只知道自己的类型θi,而不知道其他参与人的类型θ，参与人i将选择(θi)以最大化自己的期望效用。参与人i的期望效用函数定义为静态贝叶斯博弈定义参与人的类型空间Θi，条件概率p1,…,类型依存战略空间为(θi)，类型依存支付函数(;θi)，1,…。参与人i知道自己的类型θi（属于Θi），条件概率(θθi)描述给定自己属于θi的情况下，参与人i关于其他参与人类型的一个估计。可以用{;θ;;1,…}表示这个博弈。N人静态贝叶斯博弈

战略式表述N人静态贝叶斯博弈的战略式表述给定参与人i只知道自己的类型θi,而不知道其他参与人的类型θ，参与人i将选择(θi)以最大化自己的期望效用。参与人i的期望效用函数定义为贝叶斯纳什均衡()N人不完全信息静态博弈的纯战略贝叶斯纳什均衡是一个类型依存的战略组合{*,1,…}，其中每个参与人i在给定自己类型θi和其他参与人类型依存战略*(θ)的情况下，最大化自己的期望效用函数。贝叶斯纳什均衡()换言之，战略组合a*=(a1*(θ1),…,*(θn))是一个贝叶斯纳什均衡，如果对于所有的i，以及属于,有下式成立。类似地，可以定义混合策略贝叶斯纳什均衡。此处从略。均衡的存在形式纳什均衡存在性定理的推广，此处从略。通过海莎尼转换，不完全信息静态博弈就转化成完全但不完美信息博弈贝叶斯纳什均衡()在不完全信息古诺模型中，参与人的类型是成本函数。假定市场出清价格为12,每个企业都有不变的单位成本。令为企业i的单位成本，那么，企业i的利润为(12)，i=1,2应用举例1：不完全信息古诺模型假定企业1的单位成本c1是共同知识，企业2的单位成本可能是C2L也可能是C2H。C2L<C2H;企业2知道自己的成本是C2L还是C2H，但企业1只知道企业2的成本概率为(p,1)；为更具体进行分析，可假设2,c1=1,C23/4,C25/4,1/2，并记应用举例1：不完全信息古诺模型给定企业2知道企业1的成本，企业2将选择q2，实现利润（记为Z2）的最大化。记a-c2=t.由Z22(t-q1*-q2)，可以求出q2*(q1)=(1/2)(1)上式表明，企业2的最优产量不仅依赖于企业1的产量，还依赖于自己的成本。应用举例1：不完全信息古诺模型令q2L为5/4时企业2的最优产量，q2H为3/4时企业2的最优产量，那么，q2（1/2）(5/41);q2(1/2)(3/41)企业1不知道企业2的真实成本，因而不知道企业2的最优反应究竟是q2L还是q2H,因此，企业1将选择q1,以最大化下列期望利润（假设效用函数与期望利润函数相同）。应用举例1：不完全信息古诺模型EZ1=(1/2)q1(1-q1-q2L)+(1/2)q1(11-q2H)解最优化一阶条件，得企业1的反应函数为：q1*=(1/2)(1-(1/2)q2(1/2)q2H)=(1/2)(1q2)均衡意味着两个反应函数同时成立，解两个反应函数，可得到贝叶斯均衡为q1*=1/3；q2L*=11/24；q25/24作为练习，请与完全信息下的古诺模型产量进行对比。应用举例1：不完全信息古诺模型应用举例2：不完全信息下公共产品的提供两个参与人，1,2，同时决定是否提供公共产品，每个参与人面临两个决策：提供(1)或不提供(0)。如果至少有一个人提供，每人至少得到1单位的好处，如果没有人提供，每人得到0单位的支付。参与人提供公共产品的成本是。可以用表3-2表示。1-c1,1-c21-c1,11,1-c20,0表3-2公共产品博弈参与人2

提供不提供提供不提供参与人1应用举例2：不完全信息下公共产品的提供假定公共产品的好处是共同知识，但每个人提供的成本只有自己知道（提供成本是参与人i的类型）。假定(1,2)具有相同的、独立的定义在[]上的分布函数P(.)，其中a<1<b，该分布函数是共同知识。该博弈的纯战略()是从[]到{0，1}的一个函数，其中0表示不提供，1表示提供。参与人i的支付函数为

(,)=(a12)–应用举例2：不完全信息下公共产品的提供贝叶斯均衡是一组战略组合(a1*(.),a2*(.))使得对于每一个i和每一个可能的,策略*(.)最大化参与人i的期望效用。令为均衡状态下参与人j提供的概率。最优化行为意味着，只有当参与人i预期参与人j不提供时，参与人i才会提供。应用举例2：不完全信息下公共产品的提供应用举例2：不完全信息下公共产品的提供因为参与人j不提供的概率是1,参与人i提供的预期收益是1.(1)，因此，只有当<1时，参与人i才会提供。因此可推出，存在一个分割点,当a<<时，参与人i才会提供。同理，存在一个,当a<<时，参与人j才会提供。因为(a<<)=P()，均衡分割点必须满足1-P()，应用举例2：不完全信息下公共产品的提供因为(a<<)=P()，均衡分割点必须满足1-P()比如，如果P(.)是定义在[0，2]上的均匀分布，那么2/3于是当二人成本落在区间[0，2/3]时，选择“提供”公共物品；若否，选择“不提供”。拍卖理论简介拍卖或招标()有两个基本功能，一是提供信息，二是减少代理成本。拍卖是博弈论重要的分支。著名博弈论专家维克里()，由于在拍卖及在拍卖基础上衍生的机制设计理论的一些原创性工作，获得了1996年诺贝尔经济学奖。拍卖理论简介当一件物品对买者的价值比卖者更为清楚时，或为了获得较高收益，常常采用拍卖方式。拍卖有助于减少买者和卖着之间的合谋。是最为广泛应用的拍卖形式。拍卖师介绍要拍卖的物品，然后请竞买者竞价，通常先报一个起拍价。竞买者一直向上报价，直至没有更高报价为止。报价最高者买走该物品，并以最高报价成交。

该种拍卖方式起源于荷兰的花市。拍卖师先报一个较高的价格，然后不断向下低报拍卖价格，直到有人愿意竞买为止。目前该种拍卖方式在实践中已较少采用。

该方式是工程合同报价的通常方式。每个潜在报价者提交一份密封的报价，在某个时刻，拍卖师打开所有报价文件，然后报价最高者获得拍卖物品，拍卖价格为报价最高价格。

该种拍卖方式由经济学家发明。在密封拍卖中采用，中标价格为第二最高价格。该种拍卖又被称为。

该方式激励竞买者说出真话（激励机制），否则会可能买不到该商品，但却以第二高的报价成交，又留给竞买者以正的消费者剩余。在此基础上，近来又出现一种新的拍卖形式，(K>2,K为整数)。

。考虑只有2个投标人情况，1,2。令≥0是投标人i的报价，为拍卖物品对投标人i的价值。假定只有i自己知道（是参与人i的类型）,但两个投标人都知道独立地服从于[0，1]上的均匀分布。一级密封价格拍卖投标人i的支付情况为：假定投标人i的出价()是其价值的严格递增可微函数。由于两个竞买者是对称的，因此，他们具有对称的报价策略。设最优报价策略为b*(v)。给定v和b，投标人i的期望支付为()(<b)一级密封价格拍卖一级密封价格拍卖根据对称性，*()，所以

{<b}{b*()<b}令1()表示参与者j在选择投标价格时所持有的估价，即如果()，则1()一级密封价格拍卖于是{b*()<b}{<1(b)}=1(b)参与人i的利润函数为()1(b)于是参与人的一阶最优条件为（对b求偏导）一级密封价格拍卖-1(b)+()d[1(b)]0注意1(b)=v根据反函数求导原理，并化简上式，得一级密封价格拍卖根据边界条件b(0)=0可以求出b*(v)=2一级密封价格拍卖可以证明，在上述假设下，如果投标人数增加，均衡报价值亦将增加。有如下关系成立b*(v)=((1))v因此，让更多的人加入竞标，是卖者利益所在。维克里就维克里拍卖、英式拍卖、荷兰式拍卖、第一价格密封式拍卖四种基本类型，进行了理论分析。分析结果为：维克里拍卖和英式拍卖会产生出最高期望价格，而荷兰式拍卖和第一价格密封拍卖则不容易产生出最高价格。如果各个竞买者的报价彼此独立，且均匀分布在[0，1]闭区间，则四种拍卖机制是等价的。该结论后来被拓展为著名的收入等价定理。一个结论一个术语胜利者的诅咒(’s)：在拍卖过程中，由于竞买者出价过高，虽然“胜利地”得到竞拍物品，但由于出价超过了物品本身价值，因而带来了损失。这种现象被称为胜利的诅咒。拍卖实践1：美国财政部通过每周国库券的发行，获得数十亿美元资金流入。国库券拍卖与传统拍卖不一致处在于：多件物品()供出售，报价者不是提供一个针对单件物品的竞买要求，而是提供一个需求函数()。国库拍卖还有一个关键因素，在一个规律性的区间，竞买者基本不变的重复进行的拍卖。拍卖实践1：报价是一个多价格-数量对的组合/（p11）,(p22)…/，成交的规则是，由最高价开始，逐渐向下，直至所有供应量都结束为止（所有成功竞买者按其报价成交。另一种备选方式是，按照单一的市场出清价格成交(此时市场需求刚好等于或超过供给)有点类似新股开盘价的成交竞价），美国通常采用这种方案。频谱拍卖()是美国联邦通信委员会()为更为合理地将无限频谱资源配置于市场，委托一批由法律、经济学家、政府官员等组成的一个专门策划机构，设计并实施了这次被称为“有史以来最为成功的一次拍卖”。拍卖实践2：频谱拍卖——含义在此之前，主要采用政府批准和抽签制度，没有实现市场有效配置。在这次行为策划中，博弈论专家发挥了最为重要的作用。拍卖实践2：频谱拍卖——背景拍卖实践2：频谱拍卖——背景在拍卖过程中，雇用了作为技术顾问，他是著名的博弈论专家。与该拍卖利益相关的多数企业，也雇用了博弈论专家做决策顾问。拍卖实践2：频谱拍卖——背景频谱在20世纪多数时期是自由使用的，直到1981年以前，频谱许可还是通过所谓的“比较听证”()方式进行分配。1981年以后，通过抽签方法进行分配。这两种方法导致了很多寻租行为()，以及官僚复杂和低效率。拍卖实践2：频谱拍卖——背景随后几年，一些国家试行了一些频谱许可拍卖。在澳大利亚，卫星电视许可通过密封第一价格拍卖方式进行。在澳大利亚的拍卖中，为了“保护”竞买者的利益，使其免受“胜利者的诅咒”，拍卖规则规定：拍卖结束后，最高价格如果撤出，第二最高价赢得拍卖，若第二最高价格也撤出，则第三最高价格获得拍卖品，以此类推。由于上述规定，拍卖过程非常火爆，但是但在拍卖结束后，发现一些报价者不仅提交了最高报价，同时还提交了第二最高报价，第三最高报价…通过最高价的不断撤出，最后以比较低的价格获得拍卖。新西兰在1990年采用第二价格拍卖方式，对电视许可进行拍卖。获胜者报价为$100,000，成交价为：$6（买主为一个16岁的中学生）。拍卖实践2：频谱拍卖——背景正是由于前面一些失败的实践，促使要设计一个科学的拍卖机制。参加人员主要有：工作人员、法律顾问、博弈论专家、政府司法人员等。拍卖实践2：频谱拍卖——设计人员的构成从1994年到2001年，进行了33项拍卖，为美国财政带来40美元的收入，涉及数千个使用许可，涉及电信企业400余家，预期收益大大超出了产业和政府的事先估计。在这个过程中，记者统计，在企业办公楼的走廊间听到最多的词汇是博弈论词汇，如：“纳什均衡、贝叶斯均衡等”。由于美国的成功，电信频谱拍卖陆续被其他一些国家应用。拍卖实践2：频谱拍卖——一些数据一次拍卖涉及多个频谱许可，即一揽子()、同时进行()，直至没有更高价为止。最后按照各频谱的最高出价，卖给各位竞买者。拍卖实践2：频谱拍卖——机制设计要点一次拍卖涉及多个频谱许可，即一揽子()、同时进行()，直至没有更高价为止。最后按照各频谱的最高出价，卖给各位竞买者。为避免澳大利亚拍卖中出现的报价撤回策略，的撤回规则改为：较高报价者在撤出获胜报价之后，一定时期只能选择不同的待拍频谱。拍卖实践2：频谱拍卖——机制设计要点拍卖实践2：频谱拍卖——机制设计原因不同频谱件具有很好的互补性，这是采用一揽子拍卖法的最主要的原因。所谓互补性，就是若两个或两个以上许可同时被一个企业拥有，会带来更大的价值。因此，报价者可以建立有效率的多许可组合。如短波段相近波段系列。拍卖实践2：频谱拍卖——机制设计原因公开拍卖的效果它提供了许可价值的信息。因为无线数字服务是一项新技术，报价人不知道有关经济性数据。公开拍卖有助于竞拍人在一定程度上掌握许可的价值。同时上升性拍卖是完全透明的，一旦有问题，可以及时得到反馈。减少了“胜利者的诅咒”，还可以刺激竞争。拍卖实践2：频谱拍卖——机制设计原因拍卖产生了市场价格，类似的频段出现了类似的价格。拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析1(互补性),AB.1aA,bB,.(a,b,).拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析1（互补性）

（复合价值）,c>0,c.拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析1（互补性）Aa,.拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析1（互补性）,A,B,,,2<d<c.1’s(a,b,)拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析1（互补性）,.,a,’s.拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析1（互补性）,AB,’s.,.拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析2（勾结）在拍卖进行过程中，出现了勾结现象。其中最主要的方法是：利用报价的最后三位数字传递信息。拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析2（勾结）.23100,000,000,123,000,000.aa(100,000,023).拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析2（勾结）,$123a,aa.100,000,023,()a.在拍卖中勾结的另一种方式是不恰当利用报价撤回战术。报价撤回战术在拍卖中最为明显，总共被撤回了789份。其中大部分是被用来作为一个策略工具：作为竞价者通过放弃一个许可用以交换另一个意愿的信号，或使竞价不至于过于严厉的一个合法停止策略。拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析2（勾结）拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析2（勾结）A(AB),XY.拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析2（勾结）BY$100$5.AaXaY$105Y.(,AYX’s,$105.)BA,“IXY.”拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析2（勾结）,Y$100,BY.—a.拍卖实践2：频谱拍卖——实例分析2（勾结）为了消除Aaa.a.”目前电信仍在坚持产业垄断；政府采用博弈论进行市场设计将是必然趋势；企业应用博弈论也是未来必然的事情。拍卖实践2：频谱拍卖——对我国的启示拍卖实践3：二氧化碳许可证拍卖——背景“'s,.,.”,22,19971997,a,,5%19902008–2012.a7%()..2.拍卖实践3：二氧化碳许可证拍卖——背景,.“.”拍卖实践3：二氧化碳许可证拍卖——背景拍卖实践3：二氧化碳许可证拍卖——背景(),,,,...,.拍卖实践3：二氧化碳许可证拍卖——背景2a,..,a..拍卖实践3：二氧化碳许可证拍卖——背景,,,,.拍卖实践3：二氧化碳许可证拍卖——背景,..拍卖实践3：二氧化碳许可证拍卖——背景,,?’s.A.拍卖实践3：二氧化碳许可证拍卖——目标拍卖实践3：二氧化碳许可证拍卖——目标,,,,.“”