高数课件第二章第三节高阶导数

第三节高阶导数一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例三、小结

思考题存在,则称(f

¢(x))¢为函数f

(x)在点x处的二阶导数.Dxfi

0Dx一、高阶导数的定义【问题】变速直线运动的加速度.设s

=f

(t

),则瞬时速度为

v(t

)

=

f

(t

)

加速度a是速度v对时间t的变化率\

a(t

)

=

v

(t

)

=

[

f

(t

)]

.【定义】

如果函数f

(

x)的导数f

(

x)在点x处可导,即(

f

¢(

x))¢=

lim

f

¢(

x

+

Dx)

-

f

¢(

x)记作f

¢(

x),

y¢,2dx

dx

dxd

2

y

d

dy=

(

).一般地,函数f

(x)的n

-1阶导数的导数称为函数f

(x)的n阶导数,记作f

(

n

)

(

x),

y(

n

),dxn

dxnd

n

y

d

n

f

(

x)或

.二阶导数的导数称为三阶导数,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.相应地,

f

(

x)称为零阶导数;

f

(

x)称为一阶导数.d

3

yf

¢(

x),

y¢,

.dx

3.dx

4d

4

y(

4

)

(

4

)f

(

x),

y

,二、高阶导数求法举例【例1】

设

y

=

arctan

x,

求f

(0),

f

(0).【解】y¢=1

11

+

x

2

1

+

x

2)¢

=y¢=

((1

+

x

2

)2-

2

x¢=

(

2

)(1

+

x

2)-

2

xy¢2(3

x

2

-

1)=(1

+

x

2

)3x

=02

2(1

+

x

)-

2

x¢\

f

(0)=x

=0

=

-2.2(3

x

2

-

1)=

0;

f

¢(0)

=(1

+

x

2

)31.【直接法】由高阶导数的定义逐步求高阶导数.又称逐阶求导法【例2】

设

y

=

xa

(a

˛

R),

求y(

n)

.【解】

y

=

ax

a

-1y

=

(ax

a-1

)=

a(a

-

1)

x

a

-2=

a(a

-

1)(a

-

2)

x

a

-3y

=

(a(a

-

1)

x

a

-2

)y(

n)

=

a(a

-

1)(a

-

n

+

1)

x

a

-n若a

为自然数n,则(n

‡

1)=

(

xn

)(

n

)

=

n!,y(

n

)y(

n+1)

=

(n!)

=

0.2.【利用归纳法】【注意利】用归纳法求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)【例3】【解】设y

=ln(1

+x),求y(n).1

+

xy¢=1(1

+

x)21y¢=

-(1

+

x)32!y¢

=(1

+

x)4y(4)

=

-3!=

(-1)n-1(n

‡

1, 0!=

1)(1

+

x)n(n

-

1)!y(

n

)【例4】设y

=sin

x,求y(n).【解】2y

=

cos

x

=

sin(

x

+

p)2

2

22y¢=

cos(

x

+

p)

=

sin(

x

+

p

+

p)

=

sin(

x

+

2

p)22y¢

=

cos(

x

+

2

p)

=

sin(

x

+

3

p)2y(

n)

=

sin(

x

+

n

p)2同理可得

(cos

x)(

n)

=

cos(

x

+

n

p)【例5】设y

=eax

sin

bx

(a,b为常数),求y(n).【解】y

=

ae

ax

sin

bx

+

be

ax

cos

bx=

e

ax

(a

sin

bx

+

b

cos

bx)aba

2

+

b2

sin(bx

+

j) (j

=

arctan

)=

e

ax[ae

ax

sin(bx

+

j)

+

be

ax

cos(bx+

j)]y¢=

a

2

+

b2a

2

+

b2

sin(bx

+

2j)=

a

2

+

b2e

axe

ax

sin(bx

+

nj)ny(

n)

=

(a

2

+

b2

)

2ab(j

=

arctan

)利用【高阶导数的运算法则】设函数u和v具有n阶导数,则(u

–

v)(

n)

=

u(

n)

–

v

(

n)(Cu)(

n)

=

Cu(

n)(3)

(u

v)(

n

)2!=

u(

n

)

v

+

nu(

n-1)

v¢+

n(n

-

1)

u(

n-2

)

v¢+

n(n

-

1)(n

-

k

+

1)

u(

n-k

)

v

(

k

)

+

+

uv

(

n

)k!nk

=0nC

u

vk

(

n-k

) (

k

)=——莱布尼兹公式约定

u(

0)

(

x)

=

u(

x).(uv)

=

u

v

+

3u v

+

3u

v(uv)

=

u

v

+

uv(uv)

=

(u

v

+

uv

)

=

u v

+

2

u

v

+

uv+

uv用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立.【记忆方法】将二项式定理展开，把k次幂换成k阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的u+v换成uv即得.【例6】设y

=x2e2

x

,求y(20).【解】设u

=e2

x

,v

=x2

,则由莱布尼兹公式知(

x

2

)¢+

0+

20(20

-

1)

(e

2

x

)(18

)2!(

x

2

)y(

20

)

=

(e

2

x

)(

20

)

x

2

+

20(e

2

x

)(19

)2+

20 19

218

e

2

x2!x

2

+

20 219

e

2

x

2

x=

220

e

2

x=

220

e

2

x

(

x

2

+

20

x

+

95)4.【间接法】利用已知的高阶导数公式,通过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.常用高阶导数公式xn(5)

(ln

x)(

n)

=

(-1)n-1

(n

-

1)!2(2)

(sin

kx)(

n)

=

k

n

sin(kx

+

n

p)2(4)

(

x

a

)(

n)

=

a(a

-

1)(a

-

n

+

1)

x

a

-n(3)

(cos

kx)(

n)

=

k

n

cos(kx

+

n

p)(1)

(a

x

)(

n)

=

a

x

lnn

a

(a

>

0)(1

) (e

x

)(

n

)

=

e

x(

n)

nxn+11

n!(6)

(

)

=

(-1)x【例7】,求y(5).x2

-

111设y

=【解】1-

)1=

1

(x

2

-

1

2

x

-

1

x

+

1

y

=](

x

+

1)6-

5!-

5!=

1

[2 (

x

-

1)6\

y(

5

)-](

x

-

1)611=

60[(

x

+

1)6-一般地，若

y

=(ax

+

b)(cx

+

d

).则y可分解成1.

其中A,B可用待定系数法确定.A

By

=+ax

+

b cx

+

d从而可按例7的方法求y(n).【例8】设y

=sin6

x

+cos6

x,求y(n).【解】y

=

(sin2

x)3

+

(cos2

x)3=

(sin2

x

+

cos2

x)(sin4

x

-

sin2

x

cos2=

(sin2

x

+

cos2

x)2

-

3

sin2

x

cos2

x=

1

-

3

sin2

2

x=

1

-

3 1

-

cos

4

xx

+

cos4

x)4

245

38

8+

cos

4

x=2cos(4

x

+

n

p).8\

y(

n)

=

3

4n三、小结高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式);高阶导数的求法：逐阶求导法利用归纳法间接法

——

利用已知的高阶导数公式利用莱布尼兹公式注意区分符号

f

(

x0

)和(f

¢(

x0

)).【思考题】设

g(连x)续，且求

f

(a.)f

(

x)

=

(

x