高考数学经典常考题型第12专题 复合函数零点问题

高考数学经典常考题型第12专题复合函数零点问题

第12专题训练：复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设$y=f(t),t=g(x)$，且函数$g(x)$的值域为$f(t)$的定义域的子集，那么$y$通过$t$的联系而得到自变量$x$的函数，称$y$是$x$的复合函数，记为$y=f(g(x))$。2、复合函数函数值计算的步骤：求$y=g(f(x))$函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。例如：已知$f(x)=2x,g(x)=x^2-x$，计算$g(f(2))$。解：$f(2)=2\times2=4$，$\thereforeg(f(2))=g(4)=12$3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求$x$的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出$x$的值。例如：已知$f(x)=2x,g(x)=x^2-2x$，若$g(f(x))=0$，求$x$。解：令$t=f(x)$，则$g(t)=0$，$\thereforet=0$或$t=2$。当$t=0$时，$f(x)=0$，$\thereforex\in\varnothing$；当$t=2$时，$f(x)=2$，$\thereforex=1$。综上所述，$x=1$。由上例可得，要想求出$g(f(x))=0$的根，则需要先将$f(x)$视为整体，先求出$f(x)$的值，再求对应$x$的解。这种思路也用来解决复合函数零点问题。先回顾零点的定义：4、函数的零点：设$f(x)$的定义域为$D$，若存在$x\inD$，使得$f(x)=0$，则称$x$是$f(x)$的一个零点。5、复合函数零点问题的特点：考虑关于$x$的方程$g(f(x))=0$的根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析。第一层是解关于$f(x)$的方程，观察有几个$f(x)$的值使得等式成立；第二层是结合着第一层$f(x)$的值求出每一个$f(x)$被几个$x$对应，将$x$的个数汇总后即为$g(f(x))=0$的根的个数。6、求解复合函数$y=g(f(x))$零点问题的技巧：(1)此类问题与函数图像结合较为紧密，在处理问题的开始要作出$f(x)$，$g(x)$的图像。(2)若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于$f(x)$的方程$g(f(x))$中$f(x)$解的个数，再根据个数与$f(x)$的图像特点，分配每个函数值$f_i(x)$被几个$x$所对应，从而确定$f_i(x)$的取值范围，进而决定参数的范围。二、典型例题：例1：设定义域为$R$的函数$f(x)=\begin{cases}1,&x\neq1\\x-1,&x=1\end{cases}$，若关于$x$的方程$f^2(x)+bf(x)+c=0$有两个不同的实根，则$b$，$c$的取值范围分别为（）。解：由题意可得，$f^2(x)+bf(x)+c=0$有两个不同的实根，即$f(x)$有两个不同的零点。当$x\neq1$时，$f(x)=1$，$x\inR$，故$f(x)$有无数个零点。当$x=1$时，$f(x)=0$，故$f(x)$有一个零点。综上所述，$f(x)$有两个不同的零点的条件为$x=1$，$b=-2$，$c=1$。故$b$，$c$的取值范围分别为$b=-2$，$c=1$。例1：已知方程$f(x)=\sqrt{2x^2-3x+2}=1$有三个不同实数解$x_1,x_2,x_3$，求$x_1+x_2+x_3$。解：首先作出函数$f(x)$的图像，观察可发现对于任意的$y$，满足$y=f(x)$的$x$的个数分别为$2$个（$y>0,y\neq1$）和$3$个（$y=1$）。由已知有$3$个解，从而可得$f(x)=1$必为$f(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$的根，而另一根为$1$或者是负数。所以$f(x_i)=1$，可解得$x_1=0,x_2=1,x_3=2$，因此$x_1+x_2+x_3=5$。例2：关于$x$的方程$x-1=\sqrt{2x-3}$的实数解数是（）。解：可将$x-1$视为一个整体，即$t(x)=x-1$，则方程变为$t(x)=\sqrt{2t(x)+1}$。解得$t(x)=\frac{1}{2}$或$t(x)=2$，则只需作出$t(x)=x-1$的图像，然后统计与$t(x)=\frac{1}{2}$和$t(x)=2$的交点总数即可，共有$5$个交点。答案：C。例3：已知函数$f(x)=|x+1|-|x-\frac{1}{2}|$，关于$x$的方程$f^2(x)+af(x)+b=0$恰有$6$个不同实数解，求$a$的取值范围。解：所解方程可视为$f(x)+af(x)+b=0$，故考虑作出$f(x)$的图像。根据$f(x)=|x+1|-|x-\frac{1}{2}|$的定义，可得$f(x)$的图像如下：当$x>2$时，$f(x)=1$；当$0<x\leq2$时，$f(x)=2x-1$；当$-1\leqx<0$时，$f(x)=-2x$；当$x<-1$时，$f(x)=x$。由图像可知，若有$6$个不同实数解，则必有$f_1(x)=2$，$0<f_2(x)<2$，所以$-a=f_1(x)+f_2(x)\in(2,4)$。解得$-4<a<-2$。答案：$-4<a<-2$。例4：已知定义在$\mathbb{R}$上的奇函数$f(x)$，当$x>0$时，$f(x)=\begin{cases}1,&x\leq1\\f(x-2),&x>1\end{cases}$。求关于$x$的方程$6f^2(x)-f(x)-1=0$的实数根个数。解：已知方程$6f^2(x)-f(x)-1=0$可化为$6f(x)f(x)-f(x)-1=0$，即$f(x)=\frac{1}{6}$或$f(x)=1$。只需统计$y=\frac{1}{6}$和$y=f(x)$的交点个数即可。由奇函数的性质可先作出$x>0$的图像，$x>2$时$f(x)=1$，$0<x\leq2$时$f(x)=2x-1$，然后利用奇函数的性质作出$x<0$的图像，$-2<x\leq0$时$f(x)=1-2x$，$x\leq-2$时$f(x)=-x$。统计可得共有$8$个交点。答案：D。过数形结合可得共有7个交点。小专题训练有话说：在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间。例5：若函数$f(x)=x+ax+bx+c$有极值点$x_1,x_2$，且$f(x_1)=x_1$，则关于$x$的方程$3f(x)+2af(x)+b=0$的不同实根的个数是()。思路：$f'(x)=3x^2+2ax+b$，由极值点可得$x_1,x_2$为$3x+2ax+b=0$的两根。观察到方程$3f(x)+2af(x)+b$与$3x^2+2ax+b$的结构完全相同，所以可得$3f(x)+2af(x)+b=3f_1(x)+2af_1(x)+b=0$的两根为$f_1(x)=x_1$，$f_1(x)=x_2$，其中$x_1<x_2$，可判断出$x_1$是极大值点，$x_2$是极小值点。所以$y=f_1(x)$与$f(x)$有两个交点，而$y=f_2(x)$与$f(x)$有一个交点，共计3个；若$x_1>x_2$，可判断出$x_1$是极小值点，$x_2$是极大值点。且$f_2(x)=x_2<x_1=f(x)$，所以$y=f_1(x)$与$f(x)$有两个交点，而$y=f_2(x)$与$f(x)$有一个交点，共计3个。综上所述，共有3个交点。答案：A例6：已知函数$f(x)=x-4x^2+3$，若方程$\left[f(x)+bf(x)+c\right]^2$恰有七个不相同的实根，则实数$b$的取值范围是()。思路：考虑通过图像变换作出$f(x)$的图像（如图），因为$x+c$最多只能解出2个$f(x)$，若要出七个$\left[f(x)+bf(x)+c\right]^2$的根，则$f_1(x)=1$，$f_2(x)\in(0,1)$，所以$-b=f_1(x)+f_2(x)\in(1,2)$，解得$b\in(-2,-1)$。答案：B例7：已知函数$f(x)=\dfrac{x}{e^x}$，若关于$x$的方程$f^2(x)-mf(x)+m-1=0$恰有4个不相等的实数根，则实数$m$的取值范围是()。思路：$f(x)=\dfrac{x}{e^x}$，分析$f(x)$的图像，易知$f(x)>0$，$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$，$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$，$f'(x)=\dfrac{1-x}{e^x}$，可得$f(x)$在$x=1$处取得最大值$f(1)=\dfrac{1}{e}$。因为$f(x)>0$，所以$m-1>0$，即$m>1$。又因为$f(x)$的最大值只有一个，所以$f^2(x)-mf(x)+m-1=0$的实数根个数只有可能是0或2或4。若$f(x)$有两个极值点，则$f^2(x)-mf(x)+m-1=0$的实数根个数为2，不符合要求。所以$f(x)$只有一个极值点$x=1$，且$f(x)$在$x=1$处取得最大值$