人教版九年级上册《第21章-一元二次方程》单元复习课件

《第二十一章

一元二次方程》

单元复习《第二十一章一元二次方程》

单元复习知识点一知识点二知识点三知识点四

知识点一一元二次方程的定义

等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.名师解读:由一元二次方程的定义可知,判断一个方程是否是一元二次方程必须同时满足三个条件:(1)是整式方程,即分母中不含未知数;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.21.1一元二次方程知识点一知识点二知识点三知识点四知识点一一元二次方程知识点一知识点二知识点三知识点四例1

下面关于x的方程:①ax2+bx+c=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x2++5=0;④x2-2+5x3-6=0;⑤3x2=3(x-2)2;⑥12x-10=0.其中是一元二次方程的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析:根据一元二次方程的定义对各方程进行逐一判断即可:①ax2+bx+c=0,当a=0时是一元一次方程,②3(x-9)2-(x+1)2=1是一元二次方程,③x2++5=0是分式方程,④x2-2+5x3-6=0.其中是一元三次方程,⑤3x2=3(x-2)2是一元一次方程,⑥12x-10=0是一元一次方程.答案:A知识点一知识点二知识点三知识点四例1下面关于x的方程:①a知识点一知识点二知识点三知识点四判断一个方程是否为一元二次方程,应根据一元二次方程的定义,需要的三个条件缺一不可.当一元二次方程比较复杂不易直接观察时,要先进行整理,要特别注意二次项系数是否有为零的可能.

知识点一知识点二知识点三知识点四判断一个方程是否为一元二次方知识点一知识点二知识点三知识点四知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.名师解读:确定一元二次方程的相关项和系数时,一元二次方程必须先化简整理成一般形式,才能确定其二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项.否则容易造成判断错误.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点二一元二次方程的一般形知识点一知识点二知识点三知识点四例2

把下列关于x的一元二次方程化为一般形式,并写出二次项系数,一次项系数和常数项.(1)3(x-5)=x(x-5);(2)x(x-2)=0;(3)x2-2x+1=2x(x-1).分析:根据去括号、移项、合并同类项,可得一元二次方程的一般形式,在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.知识点一知识点二知识点三知识点四例2把下列关于x的一元二次知识点一知识点二知识点三知识点四解:(1)去括号,得3x-15=x2-5x,移项、合并同类项,得x2-8x+15=0,1是二次项系数,-8是一次项系数,15是常数项;(2)去括号,得x2-2x=0,1是二次项系数,-2是一次项系数,0是常数项;(3)去括号,得x2-2x+1=2x2-2x,移项,得x2-1=0,1是二次项系数,0是一次项系数,-1是常数项.知识点一知识点二知识点三知识点四解:(1)去括号,得3x-1知识点一知识点二知识点三知识点四解答此类问题时,先把一元二次方程化成一般形式,再写出各项系数,整理过程中注意符号的变化,去括号时不要漏乘,移项时要注意符号的变化.

知识点一知识点二知识点三知识点四解答此类问题时,先把一元二次知识点一知识点二知识点三知识点四知识点三一元二次方程的根使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.名师解读:凡是只含一个未知数的方程,其解都可以叫做方程的根,但是含有多个未知数的方程的解不能叫做方程的根,只能叫做方程的解.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点三一元二次方程的根知识点一知识点二知识点三知识点四例3

下列哪些数是方程x2+2x-8=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.分析:方程的根即方程的解,也就是能使方程左右两边相等的未知数的值,将x的值分别代入已知方程进行验证即可作出正确的判断.解:将x=-4代入方程x2+2x-8=0,左边=(-4)2+(-4)×2-8=0,即左边=右边,故x=-4是方程x2+2x-8=0的根.把x=-3,-2,-1,0,1,3,4代入方程x2+2x-8=0,左边都不等于0,故它们都不是方程x2+2x-8=0的根,把x=2代入方程x2+2x-8=0,左边=右边,故x=2是方程x2+2x-8=0的根.所以-4,2是方程x2+2x-8=0的根.知识点一知识点二知识点三知识点四例3下列哪些数是方程x2+知识点一知识点二知识点三知识点四检验一个数是否为一元二次方程的根与检验一个数是否为一元一次方程的解的方法完全相同,故可以类比进行.

知识点一知识点二知识点三知识点四检验一个数是否为一元二次方程知识点一知识点二知识点三知识点四知识点四根据实际问题列一元二次方程运用一元二次方程解决实际问题,要认真读题,运用所学的知识点及生活经验找出题目中的等量关系,并将等量关系数学符号化,从而建立一元二次方程模型.名师解读:建立一元二次方程模型的一般步骤可以总结为:审题,设未知数,列方程.知识点一知识点二知识点三知识点四知识点四根据实际问题列一元二知识点一知识点二知识点三知识点四例4

如图所示,在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条同等宽度的金色纸边,制成一幅矩形挂图,如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,求x满足的方程.分析:挂图长可表示为(80+2x)cm,宽可表示为(50+2x)cm,根据其面积为5

400

cm2,即长×宽=5

400,列方程进行化简即可.知识点一知识点二知识点三知识点四例4如图所示,在一幅长80知识点一知识点二知识点三知识点四解:由题意,知挂图长为(80+2x)cm,宽为(50+2x)cm,所以(80+2x)(50+2x)=5

400,即4x2+160x+4

000+100x=5

400.所以4x2+260x-1

400=0,即x2+65x-350=0.知识点一知识点二知识点三知识点四解:由题意,知挂图长为(80知识点一知识点二知识点三知识点四列一元二次方程时,可类比列一元一次方程的方法,首先读懂题目所给的数量关系,找出符合全部题意的等量关系,根据等量关系列出方程,并整理即可.

知识点一知识点二知识点三知识点四列一元二次方程时,可类比列一拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一根据一元二次方程的定义求字母的值或取值范围例1

若(m-1)

-2x+5=0是关于x的一元二次方程,则m的值是(

)A.±1 B.1 C.-1 D.不能确定解析:由于题目给出的方程是关于x的一元二次方程,因此应该满足一元二次方程的定义所需要的条件,因为-2x和5都不是二次项,所以(m-1)是二次项,因此,未知数x的指数为2,系数不能为0,即

解得m=-1.答案:C拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点一根据一元二次方程的定拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,根据所给条件和一元二次方程的定义列出方程或方程组,通过解方程或方程组求得字母的值或取值范围.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题,根据所给条件和拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二根据一元二次方程的一般形式求字母的值例2

一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,试求a,b,c的值.分析:欲求a,b,c的值,可以先把方程的左端进行整理化简,变成一元二次方程的一般形式,然后根据对应项的系数相等可得关于a,b,c的方程组,通过解方程组可得答案.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点二根据一元二次方程的一拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式为ax2-(2a-b)x-(b-a-c)=0,由一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化为一般形式后为2x2-3x-1=0,拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:一元二次方程a(x-1)拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类与一元二次方程的一般形式相关的问题,首先要把方程整理成一般形式,然后根据“两个多项式相等,其对应项的系数相等”列方程组进行求解.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类与一元二次方程的一般拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三利用一元二次方程的解求字母的值例3

已知关于x的方程x2-kx+1=0的一个根是x=3,则实数k的值是(

)解析:把x=3代入方程x2-kx+1=0,得9-3k+1=0,解得k=.答案:D拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点三利用一元二次方程的解拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答此类问题的关键是把已知的根代入原方程,得到一个关于未知字母的方程,通过解方程求得未知字母的值.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答此类问题的关键是把已知的拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四与一元二次方程的定义有关的综合题例4

方程(m+1)

+(m-3)x-1=0,(1)m取何值时是关于x的一元二次方程?(2)m取何值时是关于x的一元一次方程?分析:(1)要使关于x的方程是一元二次方程,由于(m-3)x和-1不是关于x的方程的二次项,故(m+1)必须是二次项,则有m2+1=2且系数(m+1)≠0,求出m的值即可;(2)如果所给方程是关于x的一元一次方程,则方程中不能含有二次项,可以考虑有两种情况:一是(m+1)中x的指数为“2”,而系数为0,不含有这一项,此时一次项系数(m-3)不为零即可;二是(m+1)·中x的指数为“1”,此时与(m-3)x合并同类项后系数不为0即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点四与一元二次方程的定义拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:(1)若方程是一元二次方程,则m2+1=2,解得m=±1.显然m=-1时m+1=0,故m=1符合题意.所以m=1时原方程是关于x的一元二次方程.(2)当m+1=0时,解得m=-1,此时方程为-4x-1=0;当m2+1=1时,解得m=0,此时方程为-2x-1=0.所以当m=-1或m=0时,原方程为关于x的一元一次方程.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解:(1)若方程是一元二次方拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题时,要注意根据一元二次方程和一元一次方程的定义列出相应的方程或不等式求解,尤其注意要分类讨论解答,否则容易造成漏解.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四解答这类问题时,要注意根据一知识点一知识点二知识点一利用平方根的定义解一元二次方程

一般地,对于方程x2=p,(1)当p>0时,根据平方根的意义,方程x2=p有两个不相等的实数根,x1=,x2=-;(2)当p=0时,根据平方根的意义,方程x2=p有两个相等的实数根,x1=x2=0;(3)当p<0时,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以方程x2=p无实根.21.2.1配方法知识点一知识点二知识点一利用平方根的定义解一元二次方程21知识点一知识点二名师解读:利用平方根的定义解一元二次方程的方法也叫做直接开平方法,适合解一边是关于某个未知数的完全平方式,另一边是非负数的形式的一元二次方程.具体步骤如下:(1)将方程化为x2=a(a≥0)或(ax+b)2=c(c≥0)的形式;(2)两边开平方,得知识点一知识点二名师解读:利用平方根的定义解一元二次方程的方知识点一知识点二例1

用直接开平方法解下列方程:(1)x2-9=0;(2)4(x-2)2-3=0;(3)x2-6x+9=7;(4)(x-2)2=(2x+5)2.分析:(1)先变形得到x2=27,然后利用直接开平方法求解;(2)先变形得到(x-2)2=,然后利用直接开平方法求解;(3)先变形得到(x-3)2=7,然后利用直接开平方法求解;(4)先两边开方得到x-2=±(2x+5),然后解一元一次方程即可.知识点一知识点二例1用直接开平方法解下列方程:知识点一知识点二知识点一知识点二知识点一知识点二(1)用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同号且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同号且a≠0).法则:先把方程化为“左平方,右常数”,再开平方取正负,分开求得方程解.(2)运用整体思想,可把被开方数看成整体.知识点一知识点二(1)用直接开平方法求一元二次方程的解的类型知识点一知识点二知识点二用配方法解一元二次方程通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.名师解读:配方法就是通过配方,使一元二次方程转化为可以用直接开平方法求解的形式,最终实现了“降次”的目的,这种方法“原则”上适用于任何形式的一元二次方程求解.一般步骤如下:(1)将方程化成一般形式并把二次项系数化成1.(方程两边都除以二次项系数)(2)移项,使方程左边只含有二次项和一次项,右边为常数.(3)配方,方程两边都加上一次项系数一半的平方.知识点一知识点二知识点二用配方法解一元二次方程知识点一知识点二(4)原方程变为(x+n)2=p的形式:①当p>0时,方程有两个不相等的实数根②当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-n;③当p<0时,因为对任意实数x,都有(x+n)2≥0,所以方程无实根.知识点一知识点二(4)原方程变为(x+n)2=p的形式:知识点一知识点二知识点一知识点二知识点一知识点二对于二次项系数为“1”的一元二次方程的配方,只需要利用等式的基本性质,左右两边都加上一次项系数一半(与系数的符号无关)的平方即可.

知识点一知识点二对于二次项系数为“1”的一元二次方程的配方,知识点一知识点二例3

用配方法解方程:x2+x-20=0.分析:因为题目要求用配方法解一元二次方程,故按照配方法的一般步骤进行即可.解:∵x2+x-20=0,∴x2+x=20.知识点一知识点二例3用配方法解方程:x2+x-20=0.知识点一知识点二选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1.

知识点一知识点二选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二知识点一知识点二例4

用配方法解方程:2x2-4x=1.分析:题目要求利用配方法解一元二次方程,观察发现方程的二次项的系数不为1,因此先把二次项系数化成1,然后方程左右两边加上一次项系数一半的平方,把左边配成完全平方式,右边化为常数即可.知识点一知识点二例4用配方法解方程:2x2-4x=1.知识点一知识点二用配方法解一元二次方程,当二次项系数不为“1”时,先化成“1”,然后按照二次项系数为“1”的方法进行即可.

知识点一知识点二用配方法解一元二次方程,当二次项系数不为“1拓展点一拓展点二拓展点一特殊配方巧解一元二次方程例1

解方程4x2-4x-1=0.分析:方法一:按照常规的配方法去解;方法二:按照常规的配方法去解,但是不需要先把二次项系数化成1,观察等号的左边二次项的系数是一个完全平方数,只要在方程的左右两边同时加上2,左端即变成一个完全平方式,右端是一个非负数,就可以直接平开方求出方程的解.拓展点一拓展点二拓展点一特殊配方巧解一元二次方程拓展点一拓展点二拓展点一拓展点二拓展点一拓展点二此种解法告诉我们配方法可以灵活运用,当左边二次项系数为一个数的完全平方时,可以不必将二次项系数化成1,只要按照方法二的解法进行即可.

拓展点一拓展点二此种解法告诉我们配方法可以灵活运用,当左边二拓展点一拓展点二拓展点二利用配方法判定二次三项式的符号例2

用配方法证明:不论x为任何实数,代数式x2-6x+10的值恒大于0.分析:本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒大于0,说明一个二次三项式恒大于0的方法是通过配方将二次三项式化成“a2+正数”的形式,根据完全平方的非负性来证明.拓展点一拓展点二拓展点二利用配方法判定二次三项式的符号拓展点一拓展点二证明:x2-6x+10=x2-6x+9-9+10=(x-3)2+1,又∵(x-3)2≥0,∴(x-3)2+1>0,即x2-6x+10>0.∴不论x为任何实数,代数式x2-6x+10的值恒大于0.拓展点一拓展点二证明:x2-6x+10=x2-6x+9-9+拓展点一拓展点二要说明一个式子恒大于0,只要把这个式子表示成“a2+正数”的形式即可;若要说明一个式子恒小于0,只要把这个式子表示成“-a2-正数”即可.

拓展点一拓展点二要说明一个式子恒大于0,只要把这个式子表示成知识点一知识点二知识点一一元二次方程的判别式

一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.(1)当Δ>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;(2)当Δ=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;(3)当Δ<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.21.2.2公式法知识点一知识点二知识点一一元二次方程的判别式21.2.2知识点一知识点二拓展讲解:(1)判别式Δ=b2-4ac与一元二次方程根的情况的关系是相互的,即:①b2-4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根;②b2-4ac=0⇔方程有两个相等的实数根;③b2-4ac<0⇔方程无实数根.(2)特别地:①一元二次方程有实根指的是有两个不等实根和两个相等实根,即此时应有b2-4ac≥0;②一元二次方程没有实数根时,不能说成无解,因为方程无解,只是在实数范围内无解.知识点一知识点二拓展讲解:(1)判别式Δ=b2-4ac与一元知识点一知识点二例1

方程x2-2x+3=0的根的情况是(

)A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根C.没有实数根D.有两个不相等的实数根解析:把a=1,b=-2,c=3代入Δ=b2-4ac进行计算,然后根据计算结果判断方程根的情况.∵a=1,b=-2,c=3,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0.∴方程没有实数根.答案:C知识点一知识点二例1方程x2-2x+3=0的根的情况是(知识点一知识点二解答这类判断一元二次方程根的情况的问题,只要计算出判别式Δ=b2-4ac的值,根据判别式的符号即可确定.

知识点一知识点二解答这类判断一元二次方程根的情况的问题,只要知识点一知识点二知识点二公式法当Δ≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根可写为

的形式,这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表达了一般的用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的结果.解一个具体的一元二次方程时,把各项系数直接代入求根公式,可以避免配方过程而直接得出根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.知识点一知识点二知识点二公式法知识点一知识点二拓展讲解:用公式法解一元二次方程的步骤是:(1)把一元二次方程化为一般形式;(2)确定a,b,c的值;(3)求出b2-4ac的值;(4)如果b2-4ac≥0,则把a,b,c的值代入求根公式,求出x1和x2的值,如果b2-4ac<0,则方程无实数根;当b2-4ac=0时,必须把原方程的根写成

的形式,这样才能说明方程有两个相等的实数根,而不是只有一个根.知识点一知识点二拓展讲解:用公式法解一元二次方程的步骤是:知识点一知识点二例2

用公式法解下列方程.(1)x2-x=-2;(2)x2-2x=2x+1;(3)(3x-1)(x+2)=11x-4.分析:把各方程整理为一般形式,找出a,b,c的值,代入求根公式即可求出解.知识点一知识点二例2用公式法解下列方程.知识点一知识点二知识点一知识点二知识点一知识点二利用公式法可以解任何形式的一元二次方程,被称为“万能法”,但是使用时,一定要先把一元二次方程化成一般形式,同时注意各项系数的符号,而且要先计算b2-4ac的值,确定了根的情况后才能套用公式.

知识点一知识点二利用公式法可以解任何形式的一元二次方程,被称拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一灵活地选择方法解一元二次方程例1

选择适当的方法解方程:(1)(x-1)2=3;(2)x2-2x=4;(3)x2-3x+1=0.分析:(1)因为方程的左边是完全平方形式,右边是正整数,所以利用直接开平方法求解;(2)由于方程的左边二次项的系数为1,并且一次项系数是偶数,所以利用配方法求解较好;(3)虽然方程的左边二次项的系数为1,但是一次项系数是奇数,如果用配方法会出现分数,所以利用公式法解方程.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一灵活地选择方法解一元二次方程拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三在一元二次方程的解法中,公式法和配方法可以说是“通法”,即能解任何一个一元二次方程.但对某些特殊形式的一元二次方程,有的用直接开平方法简便.因此,在遇到一道题时,应根据题目自身的特点灵活地选择适当的方法去解一元二次方程.

拓展点一拓展点二拓展点三在一元二次方程的解法中,公式法和配方拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二根据根的判别式确定字母的值或取值范围例2

m为何值时,关于x的一元二次方程(m+1)x2-(2m-3)x=-m-1:(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?分析:回答各个问题,只要根据方程的根的情况,确定判别式Δ=b2-4ac的取值,列出相应的方程或不等式,解相应的方程或不等式即可确定字母m的值或取值范围.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二根据根的判别式确定字母的值或拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题的一般方法是根据方程根的情况列出关于未知字母的方程或不等式,通过解方程或不等式来求字母的值或确定字母的取值范围.

拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题的一般方法是根据方程根的拓展点一拓展点二拓展点三例3

已知关于x的方程(k-1)x2-6x+9=0.(1)若方程有实数根,求k的取值范围;(2)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(3)若方程有两个相等的实数根,求k的值,并求此方程的根.分析:由于题目中没有指出所给方程是一元二次方程,所以需要分类讨论解答:(1)若k=1,方程为一元一次方程,有解,满足题意;当k不等于1时,方程为一元二次方程,得到根的判别式大于等于0,且二次项系数不为0,列出不等式,求出不等式的解集即可得到k的范围;(2)方程有两个不相等的实数根,得到k-1不为0,且根的判别式大于0,即可得到k的范围;(3)方程有两个相等的实数根,得到k-1不为0,且根的判别式等于0,即可得到k的值.拓展点一拓展点二拓展点三例3已知关于x的方程(k-1)x2拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)若k=1,方程为一元一次方程,有解,满足题意;若k≠1,方程为一元二次方程,∵方程有实数根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k≥0,解得k≤2且k≠1.综上,k的范围为k≤2.(2)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k>0,且k-1≠0,解得k<2且k≠1.(3)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k=0,且k-1≠0,解得k=2.∴原方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)若k=1,方程为一元一次方拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题时,注意观察题目是否说明所给方程是一元二次方程,如果没有,要分类讨论解答.如果指出所给方程是一元二次方程,一般根据题目所给出的根的情况列出方程或不等式,通过解方程或解不等式求出结果.

拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题时,注意观察题目是否说明拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与判别式有关的综合题例4

已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k取何值,它总有实数根;(2)若等腰三角形一边a=3,另两边为方程的根,求k的值及三角形的周长.分析:(1)计算方程的根的判别式,若Δ=b2-4ac≥0,则方程有实数根;(2)已知a=3,则a可能是底,也可能是腰,分两种情况求得b,c的值后,再求出△ABC的周长.注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三与判别式有关的综合题拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)证明:∵Δ=[-(k+2)]2-4×2k=(k-2)2≥0,∴无论k取何值,它总有实数根.(2)当a=3是等腰三角形的底时,则Δ=0,即(k-2)2=0,解得k=2,则方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,此时等腰三角形的周长为2+2+3=7;当a=3是等腰三角形的腰时,则a=3是方程的一个根,将x=3代入x2-(k+2)x+2k=0,得k=3,此时方程变为x2-5x+6=0,解方程得x1=2,x2=3,所以等腰三角形的底为2,周长为3+3+2=8.拓展点一拓展点二拓展点三解:(1)证明:∵Δ=[-(k+2)拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,首先根据根的判别式确定字母的取值范围,同时注意结合等腰三角形的相关概念及三角形的三边关系分类讨论解答.

拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题,首先根据根的判别式确定知识点知识点因式分解法先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.名师解读:(1)用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:①将方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个关于未知数的一次因式的积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,得出它们的解,它们的解就是原一元二次方程的解.(2)因式分解法也适合于一元“高次”(次数大于2的)方程的求解.如:解方程x(x-1)(x-2)=0.21.2.3因式分解法知识点知识点因式分解法21.2.3因式分解法知识点例1

方程x2-5x+6=0的两个根是(

)A.-1,-6 B.2,3 C.-2,-3 D.1,6解析:观察方程的特点,可以用配方法和公式法求解,但是发现方程的右端为0,而左端能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab进行分解,表示成两个一次式的乘积,因此可以使用因式分解法求解.∵x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,∴x-2=0或x-3=0,∴x1=2,x2=3.答案:B知识点例1方程x2-5x+6=0的两个根是()知识点因式分解法解一元二次方程的理论根据是如果两个因式的积等于零,那么,这两个因式至少要有一个等于零.它是解一元二次方程最常用的方法.一般来说,能用因式分解法求解的一元二次方程应尽量用因式分解法,这种方法快速、方便,准确率高,当使用因式分解法比较困难时,再考虑运用公式法等.

知识点因式分解法解一元二次方程的理论根据是如果两个因式的积等知识点例2

解方程:(1)x(x+3)=7(x+3);(2)x2+5x-6=0.分析:(1)方程变形后,提取公因式可化为积的形式,然后利用“两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0”转化为两个一元一次方程来求解;(2)方程左边能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab进行因式分解.知识点例2解方程:知识点解:(1)方程变形得x(x+3)-7(x+3)=0,分解因式得(x+3)(x-7)=0,解得x1=-3;x2=7.(2)x2+5x-6=0,因式分解得(x-1)(x+6)=0,解得x1=1;x2=-6.知识点解:(1)方程变形得x(x+3)-7(x+3)=0,知识点利用因式分解法解一元二次方程时,先考虑提公因式法,再考虑公式法,只要能把方程的右边化为0,左边变成两个一次式的乘积即可.同时特别注意方程两边不能同除以含有未知数的式子(有可能为零).

知识点利用因式分解法解一元二次方程时,先考虑提公因式法,再考拓展点一拓展点二拓展点一灵活地选择方法解一元二次方程例1

解方程:3x(x-1)=1-x.分析:观察方程,方程右边的“1-x”如果移到方程左边,则变为“x-1”,此时有公因式“x-1”可提,因此,易采用因式分解法.解:移项,得3x(x-1)+(x-1)=0,因式分解,得(x-1)(3x+1)=0,∴x-1=0或3x+1=0,∴x1=1,拓展点一拓展点二拓展点一灵活地选择方法解一元二次方程拓展点一拓展点二当一元二次方程的一边为0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,或方程的各项中有含有未知数的一次式的公因式时,应选用因式分解法求解.由于因式分解法是把一个一元二次方程化为两个一元一次方程,它充分体现“降次”在解题中的作用.

拓展点一拓展点二当一元二次方程的一边为0,另一边易于分解成两拓展点一拓展点二例2

方程(x+3)2=25的根是(

)A.5,-5 B.2,-2 C.8,2 D.-8,2解析:观察原方程,方程的左边是(x+3)的完全平方式,右边是一个非零常数25,宜选用直接开平方法.两边开平方,得x+3=±5,∴x=±5-3,∴x1=-8,x2=2.答案:D拓展点一拓展点二例2方程(x+3)2=25的根是()拓展点一拓展点二形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程,一般适宜用直接开平方法求解.

拓展点一拓展点二形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程拓展点一拓展点二例3

解方程:x2-2x-11=0.分析:本题若用因式分解法或直接开平方法都有一定的困难,但仔细观察不难发现二次项系数是“1”,一次项系数是偶数,可选用配方法求解.解:移项,得x2-2x=11,方程两边都加上12(一次项系数一半的平方),得x2-2x+1=11+1,即(x-1)2=12,拓展点一拓展点二例3解方程:x2-2x-11=0.拓展点一拓展点二配方法适合于解任何一元二次方程,特别适合于一次项系数的绝对值是二次项系数的绝对值的2倍的方程.

拓展点一拓展点二配方法适合于解任何一元二次方程,特别适合于一拓展点一拓展点二例4

解方程:4x2-6x-3=0.分析:本题的各项系数没有什么明显的特点,利用上述三种方法解都比较麻烦,所以考虑使用公式法求解.解:∵a=4,b=-6,c=-3,b2-4ac=(-6)2-4×4×(-3)=84,拓展点一拓展点二例4解方程:4x2-6x-3=0.拓展点一拓展点二

当所求解的一元二次方程没有明显的简便解法时,就选择公式法,公式法适用于求解任何一元二次方程.

综上所述,因式分解法和直接开平方法虽然简便,但并非所有的方程都可使用;配方法适用于任何一个一元二次方程,但过程比较麻烦;而公式法是在配方法的基础上,利用其导出的求根公式直接求解,比配方法简单得多,但又不如直接开平方法和因式分解法快捷.所以解一元二次方程时,要注意方法的选择,可参考如下原则:

拓展点一拓展点二当所求解的一元二次方程没有明显的简便拓展点一拓展点二(1)当一元二次方程的左边为完全平方式,右边为非负数或者左右两边都是完全平方式时,可利用直接开平方法;

(2)当一个方程的二次项系数为“1”,一次项系数为偶数时,适合用配方法;

(3)当一元二次方程的两边有公因式或易于写成左边是两个因式的积,右边是0的形式时,易采用因式分解法来解;

(4)在上述三种方法都不易求解的情况下,可利用公式法求解.

拓展点一拓展点二(1)当一元二次方程的左边为完全平方式,右边拓展点一拓展点二拓展点二利用“换元法”解可化为一元二次方程的方程例5

解方程:(x2-3x)2-2(x2-3x)-8=0.解:设x2-3x=y,则原方程可化为y2-2y-8=0,解得y1=-2,y2=4.当y=-2时,x2-3x=-2,解得x1=2,x2=1;当y=4时,x2-3x=4,解得x3=4,x4=-1.故原方程的根是x1=2,x2=1,x3=4,x4=-1,根据以上材料,请解方程:(2x2-3x)2+5(2x2-3x)+4=0.分析:通过阅读可知,根据整体思想,利用“换元法”能解“可化为一元二次方程的一元高次方程”,此问题中,可以把“(2x2-3x)”看做一个整体,令(2x2-3x)=y,则原方程变为y2+5y+4=0,先求得y的值,再进一步可求得原方程的解.拓展点一拓展点二拓展点二利用“换元法”解可化为一元二次方程的拓展点一拓展点二解:设2x2-3x=y,原方程转化为y2+5y+4=0,解得y1=-4,y2=-1.当y1=-4时,2x2-3x+4=0,此方程无实数根.拓展点一拓展点二解:设2x2-3x=y,原方程转化为y2+5拓展点一拓展点二当所给出的方程比较“复杂”,或者不易直接求解时,可以利用“换元法”求解,利用换元法解方程的基本步骤为:

(1)先选取换元的“基本单元”,将方程换元成“新方程”,注意换元后,仅含有新设的未知数;

(2)解新方程,得出新未知数的值;

(3)将新未知数还原成“基本单元”,即还原成含原未知数的方程;

(4)解所还原后的几个方程,得到原方程的解.

拓展点一拓展点二当所给出的方程比较“复杂”,或者不易直接求解知识点一知识点二知识点一二次项系数为“1”的一元二次方程的根与系数的关系由于二次项系数为“1”的方程可以化简成x2+px+q=0的形式,所以当方程有两个根x1,x2时,一定有一次项系数p=-(x1+x2),常数项q=x1·x2.名师解读:由x1+x2=-p,x1·x2=q知,若已知x1,x2,p,q这四个量中的任何两个,都能确定另外两个,利用这种关系可以解答相关的问题.*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系知识点一知识点二知识点一二次项系数为“1”的一元二次方程的根知识点一知识点二例1

如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2,x2=-1,那么p,q的值分别是(

)A.1,-2 B.-1,-2 C.-1,2 D.1,2解析:观察可以发现,方程的二次项系数为“1”,所以有p=-[2+(-1)]=-1,q=2×(-1)=-2.答案:B知识点一知识点二例1如果关于x的一元二次方程x2+px+q知识点一知识点二解答这类问题,关键是正确掌握二次项系数为“1”的一元二次方程的根与系数的关系,当方程的二次项系数不为“1”时,不能使用.

知识点一知识点二解答这类问题,关键是正确掌握二次项系数为“1知识点一知识点二例2

已知x1,x2是方程x2-5x-2=0的两个实数根,则

的值为(

)A.31 B.29 C.25 D.17解析:此题若先解方程求得两个根,再代入求值,计算量会很大,但是根据一元二次方程的根与系数的关系,容易求得x1与x2的和与积,如果再把所求的代数式转变成用两根的和与积表示出来的式子,“整体代入”求值则比较方便.∵x1,x2是方程x2-5x-2=0的两个根,∴x1+x2=5,x1x2=-2.答案:A知识点一知识点二例2已知x1,x2是方程x2-5x-2=0知识点一知识点二解答这类求代数式的值的问题,先利用根与系数的关系分别求出“x1+x2”和“x1x2”的值,然后把所求值的代数式变形转化成含有“x1+x2”和“x1x2”的式子,利用“整体代入”的思想代入求值.

知识点一知识点二解答这类求代数式的值的问题,先利用根与系数的知识点一知识点二

知识点二二次项系数不是“1”的一元二次方程的根与系数的关系

任何一个一元二次方程的根与系数的关系为:两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比.用式子表示为

这个关系还叫做韦达定理.名师解读:利用这两个关系式可以解答“已知其中的三个量,求另外的两个量的问题”,还可以解答求代数式的值的问题.要特别注意等式中的a,b,c所表示的含义.知识点一知识点二知识点二二次项系数不是“1”的一元二知识点一知识点二知识点一知识点二知识点一知识点二解答这类问题,先求出方程的解再代入代数式求值,计算量会很大,一般先把求值的代数式进行变形,使其变成包含两根的和与两根的积的式子,再利用整体代入的方法求值.

知识点一知识点二解答这类问题,先求出方程的解再代入代数式求值拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一利用韦达定理由方程的根确定原方程例1

已知α,β满足α+β=5,且αβ=6,则以α,β为两根的二次项系数为“1”的一元二次方程是(

)A.x2+5x+6=0 B.x2-5x+6=0C.x2-5x-6=0 D.x2+5x-6=0解析:以α,β为两根的一元二次方程的两根是α,β,且α,β满足α+β=5,αβ=6.所以这个方程的系数应满足两根之和是

,两根之积是

,当二次项系数a=1时,一次项系数b=-5,常数项c=6,所以方程为x2-5x+6=0.答案:B拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一利用韦达定理由方程的根确定原拓展点一拓展点二拓展点三满足α+β=5,且αβ=6,则以α,β为两根的一元二次方程有无数多个,形式为a(x-α)(x-β)=0(a≠0),只要二次项系数a改变,方程就会随着改变.但是此题可以利用排除法解答,也可以通过解各个方程找到正确答案.

拓展点一拓展点二拓展点三满足α+β=5,且αβ=6,则以α,拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二已知方程的一根,利用根与系数的关系求另一根或字母的值例2

方程4x2-kx+6=0的一个根是2,那么k的值和方程的另一个根分别是(

)拓展点一拓展点二拓展点三拓展点二已知方程的一根,利用根与系数拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题时,两种方法都能解决问题,根据问题的实际情况灵活选取,只要计算简便即可.

拓展点一拓展点二拓展点三解答这类问题时,两种方法都能解决问题拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三根与系数的关系与判别式的综合运用例3

已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2-3=0的两实根,且(x1+1)·(x2+1)=8,求k的值.分析:根据一元二次方程的根与系数的关系知x1+x2=2(k+1),x1x2=k2-3,代入(x1+1)·(x2+1)=8,即x1x2+(x1+x2)+1=8即可得到关于k的方程,可求出k的值,再根据Δ与0的关系舍去不合理的k值.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点三根与系数的关系与判别式的综合拓展点一拓展点二拓展点三解:依题意可知,x1+x2=2(k+1)=2k+2,x1x2=k2-3,由(x1+1)(x2+1)=8得x1x2+x1+x2+1=8,得k2-3+2k+2+1=8,即k2+2k-8=0,解得k1=2,k2=-4.而Δ=[-2(k+1)]2-4(k2-3)≥0,所以k≥-2.所以k=2.拓展点一拓展点二拓展点三解:依题意可知,x1+x2=2(k+拓展点一拓展点二拓展点三一元二次方程只有有根的情况下,才能研究根的情况,所以解答此类问题时所求出的字母的值须使原方程有实根.如:本题中不要只根据(x1+1)(x2+1)=8,求出k的值,而忽略Δ与0的关系.

拓展点一拓展点二拓展点三一元二次方程只有有根的情况下,才能研知识点知识点列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题的一般步骤类似,可以归纳为:(1)审:审题,要明确已知量和未知量及问题中的等量关系;(2)设:设出未知数,有直接设法和间接设法两种;(3)列:找出能表达应用题全部含义的一个相等关系,列出一元二次方程;(4)解:求出所列方程的解;(5)验:检验方程的解是否正确,是否符合实际意义;(6)答:写出正确答案.21.3实际问题与一元二次方程知识点知识点列一元二次方程解应用题的一般步骤21.3实际问知识点名师解读:列一元二次方程解应用题就是建立一元二次方程模型解应用题,可以类比列一元一次方程解应用题的方法,注意体会其中的建模思想.列方程时,注意抓题目中的关键描述语,找到适合题目的数量关系和等量关系,这就需要熟练掌握常见的数量关系、面积公式、定理等.知识点名师解读:列一元二次方程解应用题就是建立一元二次方程模知识点例1

列方程解应用题:某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出相同数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?分析:由题意设主干长出的支干的数目是x,每个支干又长出x个小分支,则共有x2个小分支,则共有x2+x+1个分支,即可列方程求得x的值.解:设每个支干长出的小分支的数目是x个,根据题意列方程得x2+x+1=91,解得x=9或x=-10(不合题意,应舍去).所以x=9.答:每个支干长出9个小分支.知识点例1列方程解应用题:知识点解答这类问题,按照一般步骤进行:读懂题意,正确地写出主干、支干、小分支的数目,列出一元二次方程,注意所得方程的解要有实际意义才行.

知识点解答这类问题,按照一般步骤进行:读懂题意,正确地写出主拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点一列一元二次方程解增长率问题例1

某图书馆2017年年底有图书20万册,预计2019年年底图书增加到28.8万册.(1)求该图书馆这两年图书册数的年平均增长率.(2)如果该图书馆2020年仍保持相同的年平均增长率,请你预测2020年年底图书馆存图书多少万册.分析:(1)经过两次增长,求年平均增长率的问题,应该明确原来的基数,增长后的结果.设这两年的年平均增长率为x,则经过两次增长以后图书馆有书20(1+x)2万册,即可列方程求解;(2)利用求得的百分率,进一步求得2020年年底图书馆存图书数量即可.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点一列一元二次方拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)设年平均增长率为x,根据题意得20(1+x)2=28.8,即(1+x)2=1.44,解得x1=0.2,x2=-2.2(舍去).答:该图书馆这两年图书册数的年平均增长率为20%.(2)28.8(1+0.2)=34.56(万册).答:预测2020年年底图书馆存图书34.56万册.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)设年平均增拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答此类题目关键是认真分析题意,用代数式表示出题目中相关的数量,掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b(当增长时中间的“±”号选“+”,当下降时中间的“±”号选“-”).另外所求出的增长率(降低率)须有实际意义.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答此类题目关键是认拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点二列一元二次方程解数字问题例2

已知:三个连续奇数,它们的平方和为251,求这三个奇数.分析:设出这三个奇数,根据它们的平方和为251列方程解答即可.解:设这三个奇数依次为n-2,n,n+2,其中n为整数,则依题意列方程得,(n-2)2+n2+(n+2)2=251,3n2=243,n2=81,∴n=9或n=-9,当n=9时,n-2=7,n+2=11;当n=-9时,n-2=-11,n+2=-7.答:这三个连续奇数为7,9,11或-11,-9,-7.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点二列一元二次方拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答数字问题,一般采取间接设法,尤其是三个连续整数,通常设中间一个为n,其余两个用含n的代数式表示.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解答数字问题,一般采拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点三列一元二次方程解图形面积问题例3

如图,要设计一副宽20cm,长30cm的图案,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2∶3,如果要使彩条所占面积是图案面积的,应如何设计彩条的宽度?拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点三列一元二次方拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五分析:设横彩条的宽度是2x

cm,竖彩条的宽度是3x

cm,根据设计的图案宽20

cm,长30

cm,其中有两横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为2∶3,彩条所占面积是图案面积的

,列出方程求解即可.解:设横彩条的宽度是2x

cm,竖彩条的宽度是3x

cm,则(30-6x)(20-4x)=×20×30,解得x1=1,x2=9.∵4×9=36>20,∴x=9舍去,∴横彩条的宽度是2

cm,竖彩条的宽度是3

cm.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五分析:设横彩条的宽度拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五这类题目体现了数形结合的思想,需利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而即可列出方程,求出答案.另外还要注意解的合理性.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五这类题目体现了数形结拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点四列一元二次方程解商品销售问题例4

某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件;(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?分析:此题属于经营问题,若设每件衬衫应降价x元,则每件所得利润为(40-x)元,但每天多售出2x件,即售出件数为(20+2x)件,因此每天赢利为(40-x)(20+2x)元,进而可根据题意列出方程求解.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点四列一元二次方拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)设每件衬衫应降价x元,根据题意得(40-x)(20+2x)=1

200,整理得2x2-60x+400=0,解得x1=20,x2=10.因为要尽量减少库存,在获利相同的条件下,降价越多,销售越快,故每件衬衫应降价20元.答:每件衬衫应降价20元.(2)设商场平均每天盈利y元,则y=(20+2x)(40-x)=-2x2+60x+800=-2(x2-30x-400)=-2[(x-15)2-625]=-2(x-15)2+1

250.∴当x=15时,y取最大值,最大值为1

250.答:每件衬衫降价15元时,商场平均每天盈利最多,最大利润为1

250元.拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五解:(1)设每件衬衫拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五降低每件的售价,实际就是降低每件的利润,售价降低,销售量增加.减少库存,就是要增加销量,在保证盈利相同的情况下,降价越多,销售量增加地越多,就达到减少库存的目的.

拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五降低每件的售价,实际拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点五列一元二次方程解生活实际问题例5

某市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格进行两次下调后,决定以每平方米4860元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子,开发商给予以下两种优惠方案供其选择:①打9.8折销售;②不打折,送两年物业管理费.物业管理费每平方米每月1.5元,请问哪种方案更优惠?拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五拓展点五列一元二次方拓展点一拓展点二拓展点三拓展点四拓展点五分析:(1)设平均每次下调的百分率为x,根