高中数学苏教版选修23教学案23　独立性

/16/16/第1课时条件概率三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取．问题1：三名同学抽到中奖奖券的概率相等吗？提示：相等．问题2：求第一名同学没有抽到中奖奖券的概率．提示：用A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”，则P(A)＝eq\f(2,3).问题3：求最后一名同学抽到中奖奖券的概率．提示：用B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则P(B)＝eq\f(1,3).问题4：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？提示：用C表示事件“在第一名同学没有中奖的前提下，最后一名同学抽到中奖奖券”．事件C可以理解为还有两张奖券，其中一张能中奖，则P(C)＝eq\f(1,2).1．条件概率的概念一般地，对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A|B)．2．条件概率的计算公式(1)一般地，若P(B)>0，则事件B已发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)．(2)利用条件概率，我们有P(AB)＝P(A|B)P(B)．1．由条件概率的定义可知，P(A|B)与P(B|A)是不同的；另外，在事件B发生的前提下，事件A发生的可能性大小不一定是P(A)，即P(A|B)与P(A)不一定相等．2．在条件概率的定义中，要强调P(B)>0.3．P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)可变形为P(AB)＝P(A|B)P(B)，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值．[例1]抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P(A)，P(B)，P(AB)；(2)当蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于8的概率为多少？[思路点拨]根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解．[精解详析](1)设x表示抛掷红色骰子所得到的点数，用y表示抛掷蓝色骰子所得到的点数，则试验的基本事件总数的全集Ω＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤6，1≤y≤6}，如图所示，由古典概型计算公式可知：P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)，P(AB)＝eq\f(5,36).(2)P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(5,36),\f(1,3))＝eq\f(5,12).[一点通]利用P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)求条件概率的一般步骤：(1)计算P(B)；(2)计算P(AB)(A，B同时发生的概率)；(3)利用公式P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)计算．其中(1)(2)可利用古典概型等有关计算概率的方法求解．1．袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是________．解析：记事件A为“第一次取到白球”，事件B为“第二次取到白球”，则事件AB为“两次都取到白球”，依题意知P(A)＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,4)＝eq\f(3,10)，所以在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是P(B|A)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一个是女孩，问另一个小孩是男孩的概率是多少？解：一个家庭的两个小孩只有4种可能：{两个都是男孩}，{第一个是男孩，第二个是女孩}，{第一个是女孩，第二个是男孩}，{两个都是女孩}．由题意知这4个事件是等可能的，A＝“其中一个女孩”，B＝“其中一个男孩”，则A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}．∴P(AB)＝eq\f(2,4)，P(A)＝eq\f(3,4).∴P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(2,4),\f(3,4))＝eq\f(2,3).3．现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为Aeq\o\al(2,6)＝30，根据分步计数原理第1次抽到舞蹈节目的事件数为Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq\f(20,30)＝eq\f(2,3).(2)因为第1次和第2次都抽到舞蹈节目的事件数为Aeq\o\al(2,4)＝12，于是P(AB)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5).(3)由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq\f(3,5).[例2]有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球，若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．[思路点拨]eq\x(\a\al(设出基本,事件))→eq\x(\a\al(求相应事,件概率))→eq\x(\a\al(求试验成,功的概率))[精解详析]设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是红球}，W＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P(A)＝eq\f(7,10)，P(B)＝eq\f(3,10)，P(R|A)＝eq\f(1,2)，P(W|A)＝eq\f(1,2)，P(R|B)＝eq\f(4,5)，P(W|B)＝eq\f(1,5).事件“试验成功”表示为RA＋RB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式，得P(RA＋RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝eq\f(1,2)×eq\f(7,10)＋eq\f(4,5)×eq\f(3,10)＝0.59.[一点通]为了求得比较复杂事件的概率．往往可以先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．4．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占eq\f(1,6)，而且三好学生中女生占一半．现在从该班同学中任选一名参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为________．解析：设事件A表示“任选一名同学是男生”；事件B为“任取一名同学为三好学生”，则所求概率为P(B|A)．依题意得P(A)＝eq\f(40,60)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(5,60)＝eq\f(1,12).故P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,12),\f(2,3))＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)5．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．解：设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题，而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A＋B＋C，E＝A＋B.由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(6,10),Ceq\o\al(6,20))＋eq\f(Ceq\o\al(5,10)Ceq\o\al(1,10),Ceq\o\al(6,20))＋eq\f(Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,10),Ceq\o\al(6,20))，P(AD)＝P(A)，P(BD)＝P(B)，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)．eq\f(P（A）,P（D）)＋eq\f(P（B）,P（D）)＝eq\f(\f(210,Ceq\o\al(6,20)),\f(12180,Ceq\o\al(6,20)))＋eq\f(\f(2520,Ceq\o\al(6,20)),\f(12180,Ceq\o\al(6,20)))＝eq\f(13,58).故所求的概率为eq\f(13,58).1．P(A|B)表示事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．2．若事件A，C互斥，则P[(A＋C)|B]＝P(A|B)＋P(C|B)．课下能力提升(十二)一、填空题1．已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(B)＝eq\f(3,5)，则P(A|B)＝________．解析：P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)2．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为________．解析：设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,100))，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(5×4,100×99),\f(5,100))＝eq\f(4,99).答案：eq\f(4,99)3．把一枚骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为________．解析：“第一次抛出偶数点”记为事件A，“第二次抛出偶数点”记为事件B，则P(A)＝eq\f(3×6,6×6)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f(1,4).所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)4．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“三个人去的景点不相同”，B＝“甲独自去一个景点”，则概率P(A|B)等于________．解析：由题意知，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·22,3×3×3)＝eq\f(4,9)，P(AB)＝eq\f(Aeq\o\al(3,3),3×3×3)＝eq\f(2,9).∴P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(2,9),\f(4,9))＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它能活到25岁的概率是________．解析：设动物活到20岁的事件为A，活到25岁的事件为B，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.4，由AB＝B，所以P(AB)＝P(B)．所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(P（B）,P（A）)＝eq\f(0.4,0.8)＝0.5.答案：0.5二、解答题6．某个班级有学生40人，其中有共青团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人，如果要在班里任选一人当学生代表，那么这个代表恰好在第一小组里的概率是多少？现在要在班级任选一个共青团员当团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率是多少？解：设A＝{在班里任选一个学生，该学生属于第一小组}，B＝{在班里任选一个学生，该学生是共青团员}，P(A)＝eq\f(10,40)＝eq\f(1,4)，即这个代表恰好在第一小组里的概率是eq\f(1,4).P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝eq\f(\f(4,40),\f(15,40))＝eq\f(4,15)，即这个团员代表恰好在第一小组的概率为eq\f(4,15).7．任意向x轴上(0，1)这一区间内投掷一个点，问(1)该点落在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))内的概率是多少；(2)在(1)的条件下，求该点落在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))内的概率．解：由题意可知，任意向(0，1)这一区间内投掷一点，该点落在(0，1)内哪个位置是等可能的．令A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0<x<\f(1,2)))，由几何概型的计算公式可知．(1)P(A)＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).(2)令B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<x<1))，则AB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))<x<\f(1,2)))，故在A的条件下B发生的概率为P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).8．某班从6名班干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加学校的义务劳动，在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．解：记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B.P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，P(BA)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(B|A)＝eq\f(P（BA）,P（A）)＝eq\f(2,5)，即在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为eq\f(2,5).第2课时事件的独立性有这样一项活动：甲箱里装有3个白球，2个黑球，乙箱里装有2个白球，2个黑球，从这两个箱子里分别摸出1个球，记事件A＝“从甲箱里摸出白球”，B＝“从乙箱里摸出白球”．问题1：事件A发生会影响事件B发生的概率吗？提示：不影响．问题2：试求P(A)，P(B)．提示：P(A)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(1,2).问题3：P(A|B)与P(A)相等吗？提示：相等．问题4：P(AB)为何值？提示：∵P(A|B)＝eq\f(P（AB）,P（B）)＝P(A)，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,10).事件的独立性概念一般地，若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A，B独立性质(1)若A，B独立，且P(A)>0，则B，A也独立，即A与B相互独立(2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)概率计算公式若事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率之积，即P(AB)＝P(A)P(B).推广：若事件A1，A2，…，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)…P(An)结论如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立.1．事件A与B相互独立就是事件A(或B)是否发生不影响事件B(或A)发生的概率．2．相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)，这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．[例1]容器中盛有5个白球和3个黄球．(1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？[思路点拨]从相互独立事件的定义入手判断．[精解详析](1)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为eq\f(5,8)，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为eq\f(4,7)；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为eq\f(5,7).可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(2)由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．[一点通]解决此类问题常用的两种方法：(1)定量计算法：利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立．(2)定性判断法：看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．1．同时掷两颗质地均匀的骰子，A＝{第一颗骰子出现奇数点}，B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A，B是否相互独立．解：同时掷两颗质地均匀的骰子，则A＝{第一颗骰子出现1，3，5点}，共有3种结果．B＝{第二颗骰子出现2，4，6点}，共有3种结果．AB＝{第一颗骰子出现奇数点，第二颗骰子出现偶数点}，共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,3)＝9种结果．由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,6))＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).∴P(AB)＝P(A)·P(B)，即事件A、事件B相互独立．2．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件“2枚结果相同”，问：A，B，C中哪两个相互独立？解：P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(BC)＝0.25，P(AC)＝0.25，可以验证：P(AB)＝P(A)P(B)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(AC)＝P(A)P(C)．∴事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．[例2]制造一种零件，甲机床的正品率为0.90，乙机床的正品率为0.80，分别从它们制造的产品中任意抽取一件．(1)两件都是正品的概率；(2)两件都是次品的概率；(3)恰有一件正品的概率．[思路点拨]两件都是正品(次品)的概率，就是正品(次品)的概率相乘；恰有一件正品的概率要用到互斥事件．[精解详析]记“从甲机床抽到正品”为事件A，“从乙机床抽到正品”为事件B，“抽取的两件产品中恰有一件正品”为事件C，由题意知A，B是相互独立事件．(1)P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.90×0.80＝0.72；(2)P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝0.10×0.20＝0.02；(3)P(C)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)＝P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)＝0.90×0.20＋0.10×0.80＝0.26.[一点通]解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义．若A，B相互独立，是A与B，A与B，A与B也是相互独立的．3．甲射击命中目标的概率为eq\f(3,4)，乙射击命中目标的概率为eq\f(2,3)，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为________．解析：P＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(11,12).答案：eq\f(11,12)4．在一次班委干部的选任中，甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为P(甲)＝0.8，P(乙)＝0.6，P(丙)＝0.5，且知三人在选举中互不影响，则三人都被选上的概率为________，三人中至少有一人被选上的概率为________．解析：三人都被选上的概率为P1＝P(甲)·P(乙)·P(丙)＝0.8×0.6×0.5＝0.24.三人中至少有一人被选中的概率为P2＝1－(1－P(甲))·(1－P(乙))·(1－P(丙))＝1－0.2×0.4×0.5＝1－0.04＝0.96.答案：0.240.965．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．解：记：“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))·eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)·eq\f(1,10)＝eq\f(3,100).故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是eq\f(3,100).(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))·eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)·eq\f(3,10)＝eq\f(9,50).故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是eq\f(9,50).[例3]某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次)．设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为eq\f(1,9)，eq\f(1,10)，eq\f(1,11)，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：(1)获赔的概率；(2)获赔金额X的概率分布．[思路点拨](1)利用对应条件去求获赔的概率；(2)分析X的所有取值，写出概率分布．[精解详析]设Ak表示第k辆车在一年内发生此种事故，k＝1，2，3，由题意知A1，A2，A3独立，且P(A1)＝eq\f(1,9)，P(A2)＝eq\f(1,10)，P(A3)＝eq\f(1,11).∴P(A1)＝eq\f(8,9)，P(eq\o(A,\s\up6(－))2)＝eq\f(9,10)，P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＝eq\f(10,11)，(1)该单位一年内获赔的概率为1－P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2eq\o(A,\s\up6(－))3)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＝1－eq\f(8,9)×eq\f(9,10)×eq\f(10,11)＝eq\f(3,11).(2)X的所有可能值为0，9000，18000，27000.P(X＝0)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2eq\o(A,\s\up6(－))3)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＝eq\f(8,9)×eq\f(9,10)×eq\f(10,11)＝eq\f(8,11)，P(X＝9000)＝P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1eq\o(A,\s\up6(－))2A3)＝P(A1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(A2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(A3)＝eq\f(1,9)×eq\f(9,10)×eq\f(10,11)＋eq\f(8,9)×eq\f(1,10)×eq\f(10,11)＋eq\f(8,9)×eq\f(9,10)×eq\f(1,11)＝eq\f(242,990)＝eq\f(11,45)，P(X＝18000)＝P(A1A2eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2A3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(A1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)P(A3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(A2)P(A3)＝eq\f(1,9)×eq\f(1,10)×eq\f(10,11)＋eq\f(1,9)×eq\f(9,10)×eq\f(1,11)＋eq\f(8,9)×eq\f(1,10)×eq\f(1,11)＝eq\f(27,990)＝eq\f(3,110).P(X＝27000)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝eq\f(1,9)×eq\f(1,10)×eq\f(1,11)＝eq\f(1,990).综上知，X的概率分布为X090001800027000Peq\f(8,11)eq\f(11,45)eq\f(3,110)eq\f(1,990)[一点通]解决此类问题要明确事件中关键词的意义，将事件合理分析：已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则A，B中至少有一个发生的事件为A＋B；A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为A－B－；A，B恰有一个发生的事件为AB－＋A－B；A，B中至多有一个发生的事件为AB－＋A－B＋A－B－.6．2014年3月30日，深圳迎来今年首场强降雨．天气预报提示在未来24小时，深圳A，B两地区有强降雨的概率分别为eq\f(5,6)，eq\f(2,5).则A，B两地在未来24小时至少有一处有强降雨的概率为________．(假设A，B两地距离较远，是否降雨相互独立)解析：转化为对立事件求解：P＝1－eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＝1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).答案：eq\f(9,10)7．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别是eq\f(2,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3).如果对这三名短跑运动员的100m跑成绩进行一次检测；(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？(2)出现恰有几人合格的概率最大？解：设“甲、乙、丙三人100m跑合格”分别为事件A，B，C，显然A，B，C相互独立，P(A)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(C)＝eq\f(1,3)，所以P(A)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，P(B)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)，P(C)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)．(1)三人都合格的概率为P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,10).三人都不合格的概率为P0＝P(A－B－C－)＝P(A－)P(B－)P(C－)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,10).所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是eq\f(1,10).(2)因为ABC－，AB－C，A－BC两两互斥，所以恰有两人合格的概率为P2＝P(ABC－＋AB－C＋A－BC)＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＝P(A)P(B)P(C－)＋P(A)P(B－)P(C)＋P(A－)P(B)P(C)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(23,60).恰有一人合格的概率为P1＝1－P0－P2－P3＝1－eq\f(1,10)－eq\f(23,60)－eq\f(1,10)＝eq\f(25,60)＝eq\f(5,12).由(1)(2)知P0，P1，P2，P3中P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．相互独立事件常与互斥事件、对立事件综合考查，解决此类问题的一般步骤：(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(互斥、对立、相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．课下能力提升(十三)一、填空题1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是________事件．解析：由题意知，A1是否发生，对A2发生的概率没有影响，所以A1和A2是相互独立事件．答案：相互独立2．有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事件的概率是________．解析：设“任取一书是文科书”的事件为A，“任取一书是精装书”的事件为B，则A，B是相互独立的事件，所求概率为P(AB)．据题意可知P(A)＝eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(70,100)＝eq\f(7,10)，故P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(2,5)×eq\f(7,10)＝eq\f(7,25).答案：eq\f(7,25)3．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________．解析：问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝eq\f(1,2)；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一个被录取的概率为________．解析：P＝0.6×0.3＋0.4×0.7＋0.6×0.7＝0.88.答案：0.885．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关，那么，连过前两关的概率是________．解析：设过第一关为事件A，当抛掷一次出现的点数为2，3，4，5，6点中之一时，通过第一关，所以P(A)＝eq\f(5,6).设过第二关为事件B，记两次骰子出现的点数为(x，y)，共有36种情况，第二关不能过有如下6种情况(1，1)，(1，2)