数学建模离散模型课件

第八章离散模型8.1层次分析模型8.2循环比赛的名次y离散模型

离散模型：差分方程（第7章）、整数规划（第4章）、图论、对策论、网络流、…

…

分析社会经济系统的有力工具

只用到代数、集合及图论（少许）的知识8.1层次分析模型背景

日常工作、生活中的决策问题

涉及经济、社会等方面的因素

作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化Saaty于1970年代提出层次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)AHP——一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法目标层O(选择旅游地)P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途一.层次分析法的基本步骤例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳

将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。

通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。

将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。层次分析法的基本步骤一.计算成对比较阵和权向量

元素之间两两对比，对比采用相对尺度

设要比较各准则C1,C2,…,Cn对目标O的重要性A~成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,…,Cn对O的权向量选择旅游地成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如

A的秩为1，A的唯一非零特征根为n

A的任一列向量是对应于n的特征向量

A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质2468比较尺度aij

Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,,…1/9的重要性与上面相反

心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个

用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p

(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，1~9尺度较优。

便于定性到定量的转化：二.一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：n

阶正互反阵最大特征根

n,且

=n时为一致阵定义一致性指标:CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI——随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。定义一致性比率CR=CI/RI

当CR<0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标随机一致性指标RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通过一致性检验组合权向量记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵方案层对C2(费用)的成对比较阵…Cn…Bn最大特征根1

2

…

n

权向量w1(3)w2(3)…

wn(3)第3层对第2层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量RI=0.58(n=3),

CIk

均可通过一致性检验w(2)

0.2630.4750.0550.0900.110方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+…=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T组合权向量第1层O第2层C1,…Cn第3层P1,…Pm第2层对第1层的权向量第3层对第2层各元素的权向量构造矩阵则第3层对第1层的组合权向量第s层对第1层的组合权向量其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造成对比较阵用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。二.层次分析法的广泛应用

应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。

建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。

构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例1

国家实力分析例2

工作选择过河的效益

A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3

横渡江河、海峡方案的抉择过河的代价

A经济代价

B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3

横渡江河、海峡方案的抉择待评价的科技成果直接经济效益

C11间接经济效益

C12社会效益

C13学识水平

C21学术创新

C22技术水平

C23技术创新

C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4科技成果的综合评价三.层次分析法的若干问题

正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？

怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？

为什么用特征向量作为权向量？

当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？1.

正互反阵的最大特征根和特征向量的性质2.

正互反阵最大特征根和特征向量的简化计算根法——取列向量的几何平均幂法——迭代算法3.

特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应4.不完全层次结构中组合权向量的计算5.

残缺成对比较阵的处理6.

更复杂的层次结构

层次分析法的优点

系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；

实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；

简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。层次分析法的局限

囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案；

粗略——定性化为定量，结果粗糙；

主观——主观因素作用大，结果可能难以服人。8.2循环比赛的名次

n支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。

根据比赛结果排出各队名次方法1：寻找按箭头方向通过全部顶点的路径。123456312456146325方法2：计算得分：1队胜4场，2,3队各胜3场，4,5队各胜2场，6队胜1场。无法排名2,3队，4,5队无法排名6支球队比赛结果……32，45排名132456合理吗123(1)123(2)1234(1)1234(2)1234(3)1234(4)循环比赛的结果——竞赛图每对顶点间都有边相连的有向图3个顶点的竞赛图名次{1，2，3}{(1,2,3)}并列{1,2,3,4}{2,(1,3,4)}{(1,3,4),2}4个顶点的竞赛图名次{(1,2),(3,4)}{1,2,3,4}?123412341234(1)(2)(3)1234(4)竞赛图的3种形式

具有唯一的完全路径，如(1)；

双向连通图——任一对顶点存在两条有向路径相互连通，如(4)；

其他，如(2)，(3)。竞赛图的性质

必存在完全路径；

若存在唯一的完全路径，则由它确定的顶点顺序与按得分排列的顺序一致，如(1)。1234(4)双向连通竞赛图G=(V,E)的名次排序邻接矩阵得分向量

这样排名次是否合理？并列名次怎么处理？ 我们排名次的一个重要根据是每战胜一名选手得1分。事实上，这一根据并不十分合理，胜“强者”的得分比胜“弱者”的得分应该高。那么，谁是“强者”，谁是“弱者”呢？得