计算机控制系统的课件

第三章计算机控制系统的数学描述13.2Z变换3.2.1定义对上式拉氏变换引入复变量，并令

Tf(t)连续信号f*(t)离散信号2Z变换的特点：1.得到的F（z）是z的幂多项式（有理分式），便于研究2.z-1对应于（t-T），z-k对应于（t-kT），

z-1时间上延迟一个周期，z-k延迟k步，便于差分方程描述F（z）的表现形式：

第三种形式在L变换中没有，用z-1描述33.2.2求Z变换方法

1）级数求和法求指数函数的z变换例3-4，3-542）部分分式展开法——查表法线性常系数微分方程，可以写成传递函数f（s）：特征值为实数（一阶系统）或者一对共轭复根（二阶系统）f（s）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），分别查表，得到z变换式，再求和。例3-6注意：一般不能用5Matlab符号语言程序求解(P58)

[R,P,K]=RESIDUE(B,A)

B(s)R(1)R(2)R(n)----=--------+--------+...+--------+K(s)A(s)s-P(1)s-P(2)s-P(n)F=sym(′(s+2)/(s*(s+1)^2*(s+3))′)；%传递函数F(s)[numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；%将分子转化为一般多项式[R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开63.2.4Z反变换只能得到采样点上的值f（kT）！不能得到f（t）7Z反变换求法1）长除法(幂级数展开法，按照z-1升幂排列)得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析p60，例3-1082.查表法(部分分式展开法)(F(z)无重根)F(z)分母上往往有z,对应查表方便

例：求的Z反变换解：对应的连续函数：9如果不能分解为分母上带z的形式，利用或F（z）=F1（z）z-1，求F1（z）的Z反变换f1（k）得到的f（k）=f1（k-1）例：表中没有令：查表得：

10Matlab符号语言程序求解(P59,例3-9)

[R,P,K]=RESIDUE(B,A)

B(s)R(1)R(2)R(n)----=--------+--------+...+--------+K(s)A(s)s-P(1)s-P(2)s-P(n)Fz=sym(′(-3*z^2+z)/(z^2-2*z+1)′)；%进行符号定义F=Fz/′z′；[numF,denF]=numden(F)；%提取分子分母pnumF=sym2poly(numF)；%将分母转化为一般多项式pdenF=sym2poly(denF)；[R,P,K]=residue(pnumF,pdenF)%部分分式展开

查表得11Z变换的性质123.2.3Z变换基本定理

一，线性特性二、时域位移定理三、初值定理四、终值定理13二、实位移定理1.右位移(延迟)定理2.左位移(超前)定理补充应用例题14三、初值定理证明：当z趋于无穷时，两边取极限，z

，z-10上式成立15四、终值定理终值定理成立的条件:在单位圆上和圆外没有极点，f（k）收敛例：发散，不能使用终值定理若用：稳定，结论错误原因：单位圆外有极点

163.1差分方程(differenceequation)一阶向前差分：一阶向后差分：二阶向前差分：

n阶向前差分：n阶向后差分：二阶向后差分：

17二阶、常系数、线性差分方程用差分近似代替微分：二阶微分方程：18线性齐次差分方程：差分方程解的形式特征方程：若i为各异实根，通解：差分方程解收敛的条件：i,i=1,…n－解的模态动态系统的模态：由系统特征值决定，模态的特性决定了系统的稳定性和动态特性差分方程的解分为通解与特解通解与方程初始状态有关，特解与外部输入有关。19

差分方程求解1（递推法，P49，例3－1）依此类推，迭代下去就可以求得任意时刻输出c(k)算法简单，无闭合形式，便于编程求解。20Matlab

仿真n=10;%定义计算的点数c(1:n)=0;r(1:n)=1;k(1)=0；%定义输入、输出和点数的初值fori=2:nc(i)=r(i)+0.5*c(i-1);k(i)=k(i-1)+1;endplot(k，c，'k:o′)%绘输出响应图，每一点上用o表示21差分方程的解法2－Z变换法例：求：解：由kz：得：由zk:查表，令t=kT需要检验初始条件：k=0,1时是否满足给定的初始条件可以得出解析解，解法与连续微分方程对应（L与L-1变换）223.3脉冲传递函数3.3.1定义(零初始条件)或23如何由G(s)求G(z):（1）对G(s)做拉普拉斯反变换，求得脉冲响应（2）对h(t)采样，求得离散系统脉冲的响应（2）对h*(t)作z变换，得离散系统脉冲的响应G(z)几种记法：24G(z)的特点

从采样开关到采样开关h(t),G(s),G(j)与h*(t),G(z),G(ejT)的关系25G(z)的物理可实现条件nm，可实现条件例：若r(t)=(t),R(z)=1,则Y(z)＝z,y(t)=(t+T)

输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上不存在263.3.2差分方程与脉冲传递函数为该系统的特征多项式

差分方程脉冲传递函数Z变换Z反变换零初始条件下：273.3.3开环脉冲传递函数（从采样开关到采样开关）一、采样系统中连续部分的结构形式图（a）—连续输入,连续输出

图（b）—连续输入,采样输出图（c）—采样输入,采样输出

即图（d）—采样输入,连续输出

28注意：例：两者结果不同，但它们的极点相同，仅零点不同仅当其中一个环节是常值或纯延迟环节（延迟时间为T的整数倍）时，等式成立29

注意：并不是所有结构都能写出环节的离散脉冲传递函数，如图（b），只能写出输出的表达式只有当输入及输出均有采样开关，或者说，均为离散信号时，才能写出它们之间的脉冲传递函数。30二、串连环节的脉冲传递函数

(a)

(b)31三、并联环节脉冲传递函数依据Z变换的线性叠加原理32四、有零阶保持器时的开环脉冲传递函数33

3.3.4闭环系统脉冲传递函数1.独立环节：在计算机控制系统里，两个相邻采样开关之间的环节（不管其中有几个连续环节串联或并联）只称为1个独立环节。2.若闭环系统输入信号未被采样，则整个闭环系统的脉冲传递函数将写不出来，只能写出输出信号z变换表达式。3.若误差信号被采样，则认为输入、输出信号都有采样信号，即

34反馈通道有采样开关

闭环：输出:35误差信号被采样相当于输入信号有采样反馈通道无采样：需要加虚拟开关36

一般规律：（1）输入作为一个连续环节看待。（2）若存在，则可写出闭环系统的脉冲传递函数，否则写不出来，只能写出输出信号z变换表达式。3738

3.3.5有干扰作用时闭环系统输出

(2)干扰单独作用时的系统输出(R(s)=0)

(1)R(s)单独作用时的系统输出(N(s)=0)

(3)共同作用时的系统输出39

P90，例：计算天线计算机控制系统的闭环传递函数

1.直流电动机加天线负载的传递函数

402.速度闭环回路传递函数

3.天线角速度与转角的传递函数i为角速度与角度反馈之间的减速比

4.设计数字控制器采用比例控制器：D(z)=kd

5.阵风干扰建模阵风阻力形成干扰力矩直接作用于电机上，将其等效变换到速度回路输入端，等效为常值干扰电压

un(t)

=14142阵风干扰()引起的天线转角：un(t)没有被采样，设：z反变换各初值为零43迭代法求解：tt=0.01;%samplingtimet(1)=0;t(2)=t(1)+tt;thetar(1)=0;thetar(2:200)=1;%inputtheta(1)=0;theat(2)=0;