第一讲数学建模初步课件

第一讲数学模型初步主讲人：曾传华１．全国大学生数学建模竞赛概况全国大学生数学建模竞赛是教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。

1.1全国大学生数学建模竞赛的由来

1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型(1987年全称为MathematicalCompetitioninModeling,1988年改全称为MathematicalContestinModeling,其所写均为MCM)。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛(TheWilliamLowellPutnammathematicalCompetition,简称Putman(普特南)数学竞赛)，这是由美国数学协会(MAA--即MathematicalAssociationofAmerica的缩写)主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛(简称CMCM)，该项赛事每年9月进行。数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它来自实际问题或有明确的实际背景。它的宗旨是培养大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，整个赛事是完成一篇包括问题的阐述分析，模型的假设和建立，计算结果及讨论的论文。通过训练和比赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识和能力有很大提高，而且在团结合作发挥集体力量攻关，以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有益的锻炼。

1.2竞赛内容竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。

1.3竞赛形式和规则

(2)竞赛每年举办一次，一般在某个周末前后的三天内举行。今年应该是9月开学第一周的星期五上午8时至下一个星期一上午8时，估计2010年竞赛时间为9月10日（周五）8时至9月13日（周一）8时。

(1)全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行。

(3)参赛者以3名大学生组成一队，通过学校教务部门向重庆赛区组委会报名，再由赛区组委会向全国组委会报名。竞赛分为甲组和乙组进行。本科学生参加甲组竞赛，专科（高职高专）学生参加乙组竞赛（也可参加甲组竞赛）。无论参加哪组竞赛，均必须在报名时确定，报名截止后不能再更改报名组别。

重庆赛区的报名费与去年相同，即每队交纳260元。

(4)竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，但不得与队外任何人（包括在网上）讨论。重庆文理学院http:///重庆文理学院图书馆1/数字资源：中文电子图书、中文电子资源中文电子图书：超星数字图书馆(需安装阅览器)中文电子期刊：中文科技期刊数据库(维普远程试用)和中国期刊全文数据库(CNKI)

需安装阅览器(AdobeReader和CAJViewer)常见的搜索引擎：http:///

http:///

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认识搜索引擎.doc，基本搜索技巧.txt(5)竞赛开始后，赛题将公布在指定的网址供参赛队下载，参赛队在规定时间内完成答卷，并准时交卷。今年的赛题将于竞赛开始时在至少3个网站上公布。请新参赛的同学访问全国大学生数学建模竞赛网址(http://)。

2．数学模型的基础知识2.1从现实对象到数学模型2.2数学建模示例2.3数学建模的方法和步骤2.4数学模型的特点和分类2.5数学建模论文撰写玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型我们常见的模型2.1从现实对象到数学模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。你碰到过的数学模型——“航行问题”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；

用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；

求解得到数学解答（x=20,y=5）；

回答原问题（船速每小时20千米/小时）。数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模2.2

数学建模示例2.2.1

椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;

对任意，f()•g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定1.3.2

商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk

,yk)~过程的状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk

,vk)~决策D={(u

,v)u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk

+(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110穷举法~编程上机图解法状态s=(x,y)~16个格点

~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长1.3.3如何预报人口的增长指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r(x),xm

利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.01.4.1数学建模的基本方法1.4

数学建模的方法和步骤纵览18年的本科组36个题目(专科组17个)，从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。

CUMCM的历年赛题浏览1992年:(Ａ)作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝）

(B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）1993年:(Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁）

(Ｂ)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用）1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）

(Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等）1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等）

(Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）CUMCM的历年赛题浏览1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）

(B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源）

(B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等）1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）

(B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）

(B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）

(C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）CUMCM的历年赛题浏览2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志）

(B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）

(C)飞越北极问题（复旦：谭永基）

(D)空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）

(B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）

(C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等）

(B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）

(D)球队的赛程安排问题（清华大学：姜启源）CUMCM的历年赛题浏览2003年:(A)SARS的传播问题（集体）

(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）

(D)抢渡长江问题（华中农大：殷建肃）2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志)(B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生）

(C)酒后开车问题（清华大学：姜启源）

(D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）2005年:(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大:韩中庚）

(B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等）

(C)雨量预报方法的评价问题（复旦：谭永基）2006年:(A)出版社的资源管理问题（北工大:孟大志）

(B)艾滋病疗法的评价及预测问题（天大：边馥萍）

(C)易拉罐形状和尺寸的设计问题（北理工：叶其孝）

(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（信息工程大学：韩中庚）2007年:(A)中国人口增长预测问题（清华大学:唐云）

(B)“乘公交，看奥运”问题（吉大：方沛辰，国防科大：吴孟达）

(C)“手机套餐”优惠几何问题(信息工程大学:韩中庚)(D)体能测试时间的安排问题(首都师大:刘雨林)

CUMCM的历年赛题浏览2008年:

(A)数码相机定位问题（复旦大学:谭永基）

(B)高等教育学费标准探讨问题（北京理工：叶其孝）

(C)地面搜索问题（西北工业大学：肖华勇）

(D)NBA赛程的分析与评价问题（清华大学：姜启源）2009年:

(A)制动器试验台的控制方法问题（吉林大学:方沛辰）

(B)眼科病床的合理安排问题（国防科大:吴孟达）

(C)卫星和飞船的跟踪测控问题（西安交大：周易仓）

(D)会议筹备问题（福州大学：王宏健）CUMCM的历年赛题浏览2001年夏令营三个题:(A)三峡工程高坡开挖优化设计(三峡大学:李建林等）

(B)城市交通拥阻的分析与治理(北京理工大学:叶其孝）

(C)乳房癌的诊断问题（复旦大学:谭永基）2006年夏令营三个题:(A)教材出版业的市场调查、评估和预测方法问题（北工大:孟大志）

(B)铁路大提速下的京沪线列车调度问题（信息工程大学:韩中庚）

(C)旅游需求的预测预报问题（北京理工：叶其孝）CUMCM的历年赛题浏览从问题的实际意义分析

36个问题从实际意义分析大体上可分为：工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。

工业类：电子通信、机械加工与制造、机械设计与控制等行业,共有10个题，占27.8%。农业类：１个题，占2.8%。工程设计类:3个题，占8.3%。交通运输类：4个题，占11.1%经济管理类：６个题，占16.7%生物医学类：5个题，占13.9%社会事业类:７个题，占19.4%

涉及到的数学建模方法：几何理论、组合概率、统计（回归）分析、优化方法(规划)、图论与网络优化、层次分析、插值与拟合、差分计算、微分方程、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列、综合评价、机理分析等方法。从问题的解决方法上分析最多的是优化方法和概率统计的方法.

优化方法共24个题，占总数的66.7%，其中整数规划4个，线性规划6个，非线性规划15个,多目标规划7个。概率统计方法18个题，占50%，平均每年至少有一个题目用到概率统计的方法。插值与拟合方法有7个；图论与