华中科技大学数学建模课件

第四章数学规划模型

4.1奶制品的生产与销售4.2

自来水输送与货机装运4.3

汽车生产与原油采购4.4

接力队选拔和选课策略4.5

饮料厂的生产与检修4.6钢管和易拉罐下料y数学规划模型

实际问题中的优化模型x~决策变量f(x)~目标函数gi(x)0~约束条件多元函数条件极值决策变量个数n和约束条件个数m较大最优解在可行域的边界上取得数学规划线性规划非线性规划整数规划重点在模型的建立和结果的分析企业生产计划4.1奶制品的生产与销售

空间层次工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品生产计划；车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。时间层次若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则应制订多阶段生产计划。本节课题例1加工奶制品的生产计划1桶牛奶3公斤A1

12小时8小时4公斤A2

或获利24元/公斤获利16元/公斤50桶牛奶时间480小时至多加工100公斤A1

制订生产计划，使每天获利最大

35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶?可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?

A1的获利增加到30元/公斤，应否改变生产计划？每天：1桶牛奶3公斤A1

12小时8小时4公斤A2

或获利24元/公斤获利16元/公斤x1桶牛奶生产A1

x2桶牛奶生产A2

获利24×3x1

获利16×4x2

原料供应

劳动时间

加工能力

决策变量

目标函数

每天获利约束条件非负约束

线性规划模型(LP)时间480小时至多加工100公斤A1

50桶牛奶每天模型求解

图解法

x1x20ABCDl1l2l3l4l5约束条件目标函数

Z=0Z=2400Z=3600斜率为-72/64~等值线在B(20,30)点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数可行域为直线段围成的凸多边形目标函数的等值线为直线最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。模型求解

软件实现

LINGO9.0model:max=72*x1+64*x2;x1+x2<50;12*x1+8*x2<480;3*x1<100;endGlobaloptimalsolutionfoundatiteration:2Objectivevalue:3360.000VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.000000DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生产A1,30桶生产A2，利润3360元。结果解释

Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.000000原料无剩余时间无剩余加工能力剩余40model:max=72*x1+64*x2;x1+x2<50;12*x1+8*x2<480;3*x1<100;end三种资源“资源”剩余为零的约束为紧约束（有效约束）结果解释

Objectivevalue:3360.000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.000000最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量原料增加1单位,利润增长48时间增加1单位,利润增长2加工能力增长不影响利润影子价格

35元可买到1桶牛奶，要买吗？35<48,应该买！聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？2元！RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASE

X172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000最优解不变时目标函数系数允许变化范围DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?

Yesx1系数范围(64,96)

x2系数范围(48,72)

A1获利增加到30元/千克，应否改变生产计划x1系数由243=72增加为303=90，在允许范围内不变！(约束条件不变)结果解释

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000

RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围原料最多增加10时间最多增加53

35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？最多买10桶!(目标函数不变)4.2

自来水输送与货机装运生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；运输问题各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。其他费用:450元/千吨

应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？

若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？元/千吨甲乙丙丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费例1

自来水输送收入：900元/千吨

支出A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40水库供水量(千吨)小区基本用水量(千吨)小区额外用水量(千吨)（以天计）总供水量：160确定送水方案使利润最大问题分析A：50B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40<总需求量：120+180=300总收入900160=144,000(元)收入：900元/千吨

其他费用:450元/千吨

支出引水管理费其他支出450160=72,000(元)使引水管理费最小供应限制约束条件需求限制

线性规划模型(LP)目标函数

水库i向j区的日供水量为xij（x34=0）决策变量

模型建立确定3个水库向4个小区的供水量模型求解

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)24400.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000030.000000X1250.0000000.000000X130.00000050.000000X140.00000020.000000X210.00000010.000000

X22

50.0000000.000000X230.00000020.000000X24

10.0000000.000000X31

40.0000000.000000X320.00000010.000000X33

10.0000000.000000利润=总收入-其它费用-引水管理费=144000-72000-24400=47600（元）

A(50)B(60)C(50)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;40)5050401010引水管理费24400(元)目标函数

总供水量(320)>总需求量(300)每个水库最大供水量都提高一倍利润=收入(900)–其它费用(450)

–引水管理费利润(元/千吨)甲乙丙丁A290320230280B310320260300C260250220/供应限制B,C类似处理问题讨论

确定送水方案使利润最大需求约束可以不变求解OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)88700.00VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.00000020.000000X12100.0000000.000000X130.00000040.000000X140.00000020.000000

X21

30.0000000.000000X2240.0000000.000000

X230.00000010.000000X2450.0000000.000000

X31

50.0000000.000000X320.00000020.000000X33

30.0000000.000000这类问题一般称为“运输问题”(TransportationProblem)总利润88700（元）

A(100)B(120)C(100)甲(30;50)乙(70;70)丙(10;20)丁(10;40)4010050305030如何装运，使本次飞行获利最大？

三个货舱最大载重(吨),最大容积(米3)

例2货机装运

重量（吨）空间(米3/吨）利润（元/吨）货物1184803100货物2156503800货物3235803500货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例

前仓：10；6800中仓：16；8700后仓：8；5300飞机平衡决策变量

xij--第i种货物装入第j个货舱的重量(吨）i=1,2,3,4,

j=1,2,3(分别代表前、中、后仓)模型假设每种货物可以分割到任意小；货机装运每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙；模型建立货舱容积

目标函数(利润)约束条件货机装运模型建立货舱重量

10；680016；87008；5300xij--第i种货物装入第j个货舱的重量约束条件平衡要求

货物供应

货机装运模型建立10；680016；87008；5300xij--第i种货物装入第j个货舱的重量

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)121515.8VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX110.000000400.000000X120.00000057.894737X130.000000400.000000X2110.0000000.000000X220.000000239.473679X235.0000000.000000X310.0000000.000000

X32

12.9473690.000000X33

3.0000000.000000X410.000000650.000000

X423.0526320.000000X430.000000650.000000货物2：前仓10,后仓5；

货物3:中仓13,后仓3；货物4:中仓3。货机装运模型求解最大利润约121516元货物~供应点货舱~需求点平衡要求运输问题运输问题的扩展练习题（一）

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要够进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（3）所购证券的平均年限不超过5年；问题：(1)若该经理拥有1000万元资金，应如何投资？(2)如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？(3)在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？证券以及信用等级、到期年限、收益表

证卷名称证卷种类信用等级到期年限税前收益A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，那么最优的生产计划应作何改变？例1汽车厂生产计划汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。

小型中型大型

现有量钢材（吨）1.535600劳动时间（小时）28025040060000利润（万元）

234制订月生产计划，使工厂的利润最大。4.3

汽车生产与原油采购设每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1,x2,x3汽车厂生产计划模型建立

小型中型大型现有量钢材1.535600时间28025040060000利润

234线性规划模型(LP)模型求解

3）

模型中增加条件：x1,x2,x3

均为整数，重新求解。

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X164.5161290.000000

X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226结果为小数，怎么办？1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与LP最优值632.2581相差不大。2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z，通过比较可能得到更优的解。但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？IP可用LINDO直接求解整数规划(IntegerProgramming,简记IP)“gin3”表示“前3个变量为整数”，等价于：ginx1ginx2ginx3IP的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3<600280x1+250x2+400x3<60000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解

IP结果输出其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：方法1：分解为8个LP子模型汽车厂生产计划若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1,x2,,x3=0或80x1=80，x2=150，x3=0，最优值z=610LINDO中对0-1变量的限定：inty1inty2inty3方法2：引入0-1变量，化为整数规划

M为大的正数，可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X180.000000-2.000000

X2150.000000-3.000000

X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80最优解同前

NLP虽然可用现成的数学软件求解(如LINGO,MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。方法3：化为非线性规划

非线性规划（Non-LinearProgramming，简记NLP）

实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。

若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80应如何安排原油的采购和加工

？

例2原油采购与加工市场上可买到不超过1500吨的原油A：

购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。售价4800元/吨售价5600元/吨库存500吨库存1000吨汽油甲(A50%)原油A原油B汽油乙(A60%)决策变量

目标函数问题分析利润：销售汽油的收入-购买原油A的支出难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂甲(A50%)AB乙(A60%)购买xx11x12x21x224.8千元/吨5.6千元/吨原油A的购买量,原油A,B生产汽油甲,乙的数量c(x)~购买原油A的支出利润(千元)c(x)如何表述？原油供应

约束条件

x

500吨单价为10千元/吨；

500吨x1000吨，超过500吨的8千元/吨；1000吨x1500吨，超过1000吨的6千元/吨。目标函数购买xABx11x12x21x22库存500吨库存1000吨目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解；想办法将模型化简，用现成的软件求解。

汽油含原油A的比例限制约束条件甲(A50%)AB乙(A60%)x11x12x21x22x1,x2,x3~以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数目标函数

只有当以10千元/吨的价格购买x1=500(吨)时，才能以8千元/吨的价格购买x2方法1

非线性规划模型，可以用LINGO求解模型求解x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

500吨

x1000吨，超过500吨的8千元/吨增加约束x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

方法1：LINGO求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12<x+500;x21+x22<1000;x11-x21>0;2*x12-3*x22>0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1<500;x2<500;x3<500;x>0;x11>0;x12>0;x21>0;x22>0;x1>0;x2>0;x3>0;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？

用库存的500吨原油A、500吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为4,800千元。

y1,y2,y3=1~以价格10,8,6(千元/吨)采购A增加约束方法2

0-1线性规划模型，可用LINDO求解y1,y2,y3=0或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000购买1000吨原油A，与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，生产汽油乙，利润为5,000千元。x1,x2,x3~以价格10,8,6(千元/吨)采购A的吨数y=0x=0x>0y=1优于方法1的结果b1b2

b3

b4方法3

b1

xb2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z20,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2

xb3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3

0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).b3

xb4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4

0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接处理处理分段线性函数c(x)IP模型，LINDO求解，得到的结果与方法2相同.处理分段线性函数，方法3更具一般性bkxbk+1yk=1,否则,yk=0方法3

bkxbk+1,x=

zkbk+z

k+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+10,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x1200090005000050010001500b1b2

b3

b4对于k=1,2,3分（指）派问题4.4

接力队选拔和选课策略若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。丁的蛙泳成绩退步到1’15”2；戊的自由泳成绩进步到57”5,组成接力队的方案是否应该调整？如何选拔队员组成4100米混合泳接力队?例1混合泳接力队的选拔

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”45名候选人的百米成绩穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。目标函数若选择队员i参加泳姿j的比赛，记xij=1,否则记xij=0

0-1规划模型

cij(秒)~队员i

第j种泳姿的百米成绩约束条件每人最多入选泳姿之一

ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4每种泳姿有且只有1人模型求解

最优解：x14=x21=x32=x43=1,其它变量为0;成绩为253.2(秒)=4’13”2model:MIN=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+……83.8*x53+62.4*x54;x11+x12+x13+x14<=1;……x41+x42+x43+x44<=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;……x14+x24+x34+x44+x54=1;@BIN(x11);……;@BIN(x54);end输入LINGO求解

甲乙丙丁戊蝶泳1’06”857”21’18”1’10”1’07”4仰泳1’15”61’06”1’07”81’14”21’11”蛙泳1’27”1’06”41’24”61’09”61’23”8自由泳58”653”59”457”21’02”4甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.丁蛙泳c43

=69.675.2，戊自由泳c54=62.4

57.5,方案是否调整？敏感性分析？乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳、戊~自由泳IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINGO输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。最优解：x21=x32=x43=x51=1,成绩为4’17”7c43,c54

的新数据重新输入模型，用LINGO求解指派(Assignment)问题：每项任务有且只有一人承担，每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大.讨论甲~自由泳、乙~蝶泳、丙~仰泳、丁~蛙泳.原方案为了选修课程门数最少，应学习哪些课程？

例2选课策略要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课课号课名学分所属类别先修课要求1微积分5数学

2线性代数4数学

3最优化方法4数学；运筹学微积分；线性代数4数据结构3数学；计算机计算机编程5应用统计4数学；运筹学微积分；线性代数6计算机模拟3计算机；运筹学计算机编程7计算机编程2计算机

8预测理论2运筹学应用统计9数学实验3运筹学；计算机微积分；线性代数选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程？

0-1规划模型

决策变量

目标函数

xi=1~选修课号i的课程（xi=0~不选）

选修课程总数最少约束条件最少2门数学课，3门运筹学课，2门计算机课。

课号课名所属类别1微积分数学2线性代数数学3最优化方法数学；运筹学4数据结构数学；计算机5应用统计数学；运筹学6计算机模拟计算机；运筹学7计算机编程计算机8预测理论运筹学9数学实验运筹学；计算机先修课程要求最优解：

x1=x2=x3=x6=x7=x9=1,其它为0；6门课程，总学分210-1规划模型

约束条件x3=1必有x1=x2=1模型求解（LINGO）课号课名先修课要求1微积分

2线性代数

3最优化方法微积分；线性代数4数据结构计算机编程5应用统计微积分；线性代数6计算机模拟计算机编程7计算机编程

8预测理论应用统计9数学实验微积分；线性代数学分最多多目标优化的处理方法：化成单目标优化。两目标(多目标)规划

讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？课程最少以学分最多为目标，不管课程多少。以课程最少为目标，不管学分多少。最优解如上，6门课程，总学分21。最优解显然是选修所有9门课程。多目标规划

在课程最少的前提下以学分最多为目标。最优解：

x1=x2=x3=x5=x7=x9=1,其它为0；总学分由21增至22。注意：最优解不唯一！课号课名学分1微积分52线性代数43最优化方法44数据结构35应用统计46计算机模拟37计算机编程28预测理论29数学实验3LINGO无法告诉优化问题的解是否唯一。可将x9=1易为x6=1增加约束，以学分最多为目标求解。多目标规划

对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。最优解：

x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x9=1，其它为0；总学分28。课号课名学分1微积分52线性代数43最优化方法44数据结构35应用统计46计算机模拟37计算机编程28预测理论29数学实验3讨论与思考最优解与1=0，2=1的结果相同——学分最多多目标规划

最优解与1=1，2=0的结果相同——课程最少4.5

饮料厂的生产与检修单阶段生产计划多阶段生产计划生产批量问题企业生产计划考虑与产量无关的固定费用给优化模型求解带来新的困难外部需求和内部资源随时间变化安排生产计划,满足每周的需求,使4周总费用最小。存贮费:每周每千箱饮料0.2千元。例1

饮料厂的生产与检修计划在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周?

周次需求量(千箱)生产能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合计100135

某种饮料4周的需求量、生产能力和成本问题分析除第4周外每周的生产能力超过每周的需求；生产成本逐周上升；前几周应多生产一些。周次需求能力11530225403354542520合计100135成本5.05.15.45.5

饮料厂在第1周开始时没有库存；从费用最小考虑,第4周末不能有库存；周末有库存时需支出一周的存贮费；每周末的库存量等于下周初的库存量。模型假设

目标函数约束条件产量、库存与需求平衡决策变量

能力限制非负限制模型建立x1~x4：第1~4周的生产量y1~y3：第1~3周末库存量周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5存贮费:0.2(千元/周•千箱)模型求解

4周生产计划的总费用为528(千元)最优解：x1~x4：15，40，25，20；

y1~y3：

0，15，5.周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5产量15402520库存01550LINDO求解检修计划0-1变量wt

：wt=1~检修安排在第t周(t=1,2,3,4）在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每周增产5千箱，检修应排在哪一周?

检修安排在任一周均可周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5约束条件能力限制产量、库存与需求平衡条件不变增加约束条件：检修1次检修计划目标函数不变0-1变量wt

：wt=1~检修安排在第t周(t=1,2,3,4）LINDO求解总费用由528千元降为527千元检修所导致的生产能力提高的作用,需要更长的时间才能得到充分体现。最优解：w1=1,w2,w3,

w4=0;x1~x4：15,45,15,25；

y1~y3：0,20,0.例2饮料的生产批量问题安排生产计划,满足每周的需求,使4周总费用最小。存贮费:每周每千箱饮料0.2千元。饮料厂使用同一条生产线轮流生产多种饮料。若某周开工生产某种饮料,需支出生产准备费8千元。

某种饮料4周的需求量、生产能力和成本周次需求量(千箱)生产能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合计100135

生产批量问题的一般提法ct~时段t生产费用(元/件)；ht~时段t(末)库存费(元/件)；st

~时段t生产准备费(元)；dt

~时段t市场需求(件)；Mt~时段t生产能力(件)。假设初始库存为0制订生产计划,满足需求,并使T个时段的总费用最小。决策变量

xt

~时段t生产量；yt

~时段t(末)库存量；wt=1~时段t开工生产(wt=0~不开工)。目标约束混合0-1规划模型

最优解：x1~x4：15，40，45，0；总费用：554.0(千元)生产批量问题的一般提法将所给参数代入模型，用LINDO求解生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小§6钢管和易拉罐下料（整数规划与非线性规划）原料下料问题按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大问题1.如何下料最节省?例1

钢管下料问题2.客户增加需求：原料钢管:每根19米4米50根6米20根8米15根客户需求节省的标准是什么？由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？5米10根按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。

切割模式余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸余料3米8米1根8米1根钢管下料为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式切割多少根原料钢管，最为节省？合理切割模式2.所用原料钢管总根数最少模式

4米钢管根数6米钢管根数8米钢管根数余料(米)14003231013201341203511116030170023钢管下料问题1两种标准1.原料钢管剩余总余量最小xi~按第i种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)约束满足需求决策变量

目标1（总余量）模式4米根数6米根数8米根数余料14003231013201341203511116030170023需求502015整数约束：xi为整数模型求解1.的整数线性规划模型（加上整数约束）输入LINGO如下：

model:min=3*x1+x2+3*x3+3*x4+x5+x6+3*x7;4*x1+3*x2+2*x3+x4+x5>=50;x2+2*x4+x5+3*x6>=20;x3+x5+2*x7>=15;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);end求解可以得到最优解如下：OBJECTIVEFUNCTIONVALUE:27.00000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX10.0000003.000000X212.0000001.000000X30.0000003.000000X40.0000003.000000X515.0000001.000000X60.0000001.000000X70.0000003.000000

最优解：x2=12,x5=15,其余为0；最优值：27。按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米

当余料没有用处时，通常以总根数最少为目标目标2（总根数）钢管下料问题1约束条件不变最优解：x2=15,x5=5,x7=5,其余为0；最优值：25。xi为整数按模式2切割15根，按模式5切割5根，按模式7切割5根，共25根，余料35米虽余料增加8米，但减少了2根与目标1的结果“共切割27根，余料27米”相比钢管下料问题2对大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式增加一种需求：5米10根；切割模式不超过3种。现有4种需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根，用枚举法确定合理切割模式，过于复杂。决策变量

xi~按第i种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)r1i,r2i,r3i,r4i~第i种切割模式下，每根原料钢管生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量满足需求模式合理：每根余料不超过3米整数非线性规划模型钢管下料问题2目标函数（总根数）约束条件整数约束：xi,r1i,r2i,r3i,r4i(i=1,2,3)为整数增加约束，缩小可行域，便于求解原料钢管总根数下界：

特殊生产计划：对每根原料钢管模式1：切割成4根4米钢管，需13根；模式2：切割成1根5米和2根6米钢管，需10根；模式3：切割成2根8米钢管，需8根。原料钢管总根数上界：13+10+8=31模式排列顺序可任定

钢管下料问题2需求：4米50根，5米10根，6米20根，8米15根每根原料钢管长19米将（37）~（46）构成的模型输入LINGO如下：model:Title钢管下料

-最小化钢管根数的LINGO模型;min=x1+x2+x3;x1*r11+x2*r12+x3*r13>=50;x1*r21+x2*r22+x3*r23>=10;x1*r31+x2*r32+x3*r33>=20;x1*r41+x2*r42+x3*r43>=15;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41<=19;4*r12+5*r22+6*r32+8*r42<=19;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43<=19;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41>=16;4*r12+5*r22+6*r32+8*r42>=16;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43>=16;x1+x2+x3>=26;x1+x2+x3<=31;x1>=x2;x2>=x3;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);end

LINGO求解整数非线性规划模型Localoptimalsolutionfoundatiteration:12211Objectivevalue:28.00000VariableValueReducedCostX110.000000.000000X210.00000