9-3第三节三重积分-课件

第三节三重积分

第三节三重积分

三重积分可看作二重积分在空间形式的自然推广.因此,它在定义及性质上和二重积分是完全类似的.本讲中我们首先给出三重积分的定义,然后,在此基础上给出在直角坐标系下化三重积分为三次积分的方法.一.三重积分的概念

设有一物体,在直角坐标系中,占有第一象限的一个闭区域Ω,点(x,y,z)处的密度为ρ(x,y,z).这里的ρ(x,y,z)>0且在Ω上连续,现在要计算该物体的质量.由于ρ(x,y,z)在Ω上连续,把Ω任意分为n个小块,只要小块所占的闭区域△Vi的直径很小,这小块就可以看作是均匀体,在△Vi上任取一点(ξi,ηi,ζi),则ρ(ξi,ηi,ζi)△Vi(i=1,2,....n)可看作第i个小块的质量之近似值,通过求求和,取极限,便得到质量这里的λ是所有的小块直径的最大值.为了使这种和式的极限能得到广泛的应用,抛开其物理意义,抽象出数学形式,于是得到三重积分的一般定义.定义:设f(x,y,z)是空间闭区域Ω上的有界函数,把Ω任意分成n个小区域△V1,△V2,...△Vn其中△Vi表示第i个小区域,也表示它的体积。在每个小区域△Vi上任取一点(ξi,ηi,ζi),作乘积f(ξi,ηi,ζi)△Vi(i=1,2...n)并作和如果当各小区域直径中最大值λ趋向零时这和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分,记作其中dV叫做体积元素,在直角坐标系中,体积元素dV也记dxdydz称为直角坐标系中的体积元素,从而三重积分也记作（1）

当函数f(x,y,z)在Ω上连续时,(1)式右端的和式极限必定存在,也就是函数f(x,y,z)在区域Ω上的三重积分必定存在,以后我们总假设函数f(x,y,z)在Ω上是连续的,关于二重积分的一些概念都可相应地用于三重积分.三重积分的性质和二重积分的性质类似,这里不再重复..在直角坐标系中三重积分的计算方法

三重积分可化为三次积分来计算,其方法可分成两种,(1)先求一个定积分,然后求二重积分.(2)先求二重积分,再计算一个定积分.我们先介绍第一种方法即先求一个定积分,然后求二重积分:且假设平行于z轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭区域的边界曲面S相交不多于两点,即Ω为简单区域,把闭区域Ω投影到xoy平面上,得到一平面闭区域D,以D的边界为准线,作母线平行于z轴的柱面,

这柱面与曲面S的交线把S分成两部分,它们的方程分别为S1:z=z1(x,y),S2:z=z2(x,y)其中z1(x,y)和z2(x,y)都是D上的连续函数,且z1(x,y)≤z2(x,y)先把x,y看作定值,把f(x,y,z)看成z的函数,在区域[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分.积分的结果是x,y的函数,记作然后再计算F(x,y)在D上的二重积分

假如区域D又可用不等式y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b来表示,再把这个二重积分化为二次积分,就得到三重积分的计算公式（2）(3)

这就是把三重积分化为先对z,第二对y,最后对x的三次积分的公式.如果平行于x轴或y轴且穿过区域Ω内部的直线与Ω的边界曲面相交不多于两点,也可以把Ω投影到yoz(或xoz)面上,然后在这投影面进行二重积分.这样就把三重积分化为按其他顺序的三次积分.如果三重积分的积分区域不是简单区域也可以把它象二重积分那样,把积分区域分成几个简单的积分区域,使三重积分化为各部分简单区域上的三重积分的和.这种方法称为“投影法“或为”先一后二”方法例1设有一物体Ω=[0,1;0,1;0,1](即长方体)它在点p(x,y,z)处的密度为点p到原点距离的平方,求物体的质量M.当积分区域是长方体的时候,三重积分的积分限最容易安排即把一个三重积分化为三个定积分的积.例2计算三重积分其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域.解:作闭区域Ω,如图示.把Ω投影到xoy平面上,得到区域Dxy三角形闭区域oAB,直线OA,AB,OB的方程依次为y=0,x+2y=1x=0.所以oxyzC(0,0,1)B(0,1/2,0)A(1,0,0)在D内任意取一点(x,y),过此点作平行于z轴的直线,该直线先通过平面z=0,再通过平面z=1-x-2y.于是由公式(2)得到上面的计算方法我们称为“投影法”.

“投影法”计算和后面的曲面积分的计算密切相关,所以我们要研究“投影法”.这种方法的关键是把空间区域Ω向坐标平面投影,如何求空间区域向坐标面的投影区域?由于空间作图比较困难,再利用区域Ω的图形去观察就容易出错.例如求空间区域Ω:0≤x≤1,0≤y≤1-x,0≤z≤x+y在xoz平面上的投影区域,其图形为如下:从观察得到.这里的Dx是用平面X=x去截Ω的截面Dx:0≤y≤x,0≤z≤xy把x看作(0,1)中的常数,在yoz平面上我们作Dx的图形.现在我们把Dx表示为0≤z≤x2,z/x≤y≤xyzxx2z=xy0(2)要把积分次序更换成先x后z再y.可按下列方案进行,第一步把x和y交换,第二步再x和z交换但这是错误的.一般说空间闭区域是由几个曲面围成的,这些曲面的交线向同一坐标轴的投影,这些投影曲线围成的区域就是空间闭区域向该坐标面的投影.F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0为曲面的交线从两个方程中消去y,得到H(x,z)=0即是:0≤x≤1,0≤y≤1-x,0≤z≤x+yy=0y=0y=1-xy=1-xz=x+yz=x+y从上面的例子我们可以看到,利用“投影法”来计算三重积分需要作图,对于简单的图形还比较方便,但复杂一些的问题容易出错.下面我们介绍的“截面法”是比较简单的方法,有时可以不作空间图形.2.先求二重积分,再求定积分.称为“截面法”若积分区域Ω在z轴上的投影区域为[C1,C2]对于这区域内任意一点z,过z作平面平行于xoy面,该平面与区域Ω相交为一平面区域记作D(z),这时三重积分可化为先对区域D(z)求二重积分,再对z在[C1,C2]上求定积分如果区域D(z)可用不等式y1(z)≤y≤y2(z),x1(y,z)≤x≤x2(y,z)表示,那么三重积分又可以化为如下的三次积分于是积分区域可表示为:(4)例3计算三重积分xyzD(z)abc分析:区域Ω在z轴上的投影区域是[-c,c],对于区间内的一点z,相应地有一平面区域D(z)这是一椭圆,其面积为被积函数是奇函数,而积分区域是对称的.为0.2.关于“截面法”.我们在二重积分计算曲顶柱体体积时主要采用的投影法,投影法需要作图.一般大家习惯这种方法,其实利用截面法基本上可不用作图.通常我们用平行于xoy的平面去截Ω,先求出z的最大值和最小值为积分区域[c,d]再在这积分区域内固定一个z(把z看成常数)这些方程就成为x,y的方程,在xoy平面内,这些方程表示的曲线即是我们所求的截面.xyzD(z)abc例4设Ω由曲面x2=z2+y2,x=2,x=4所围成计算解:考虑被积函数和y,z无关,先对y,z积分时把x看成常数.积分区域就变成圆(y2+z2=a2→x2)dydz为圆面积.例5把三重积分解:这个三重积分按它的形式很难确定上下限,但如果先对z积分,化为二次积分就比较简便然后再交换顺序,这样我们就不必画立体图.z1=1-x-y,z2=1化为先对y,再对x,最后对z的三次积分.其中Ω是由x+y+z=1,x+y=1,x=0,y=0和z=1所围成的闭区域f(x,y,z)在Ω上连续由此可见,一个三重积分可化为二重积分及一个定积分来计算时,可有三种类型,而每一种二重积分又可化为两种不同次序的二次积分所以一个三重积分可化为三次积分进行计算时,可有6种不同的积分次序.因此当一种三次积分导致计算烦琐或困难时,就应该考虑换另一种积分次序的三次积分来计算.下面我们举例说明:.例如改变三次积分的积分次序(1)先y后z再x.(2)先x后z再y分析:(1)只需要交换y和z的积分次序,因而采用“先二后一”法这里的Dx是用平面X=x去截Ω的截面Dx:0≤y≤x,0≤z≤xy把x看作(0,1)中的常数,在yoz平面上我们作Dx的图形.现在我们把Dx表示为0≤z≤x2,z/x≤y≤xyzxx2z=xy0(2)要把积分次序更换成先x后z再y.可按下列方案进行,第一步把x和y交换,第二步再x和z交换(2)要把积分次序更换成先x后z再y.可按下列方案进行,第一步把x和y交换,第二步再x和z交换y1xx=y10利用“先二后一”法(x采用xy对换的结果)把y看作(0,1)中的常数,可在坐标面xoz上描出Dy的草图xzz=xy1yy2yDy表示成这样的区域,需要分成两块注意:(1)化三重积分为三次积分,不要一步到位,而应该采用“先一后二“或”先二后一“作为过渡,这样不仅层次清楚,而且把非常困难的三次积分更换次序转化为二次积分的唤序,使问题的难度降低(2)如果三次积分更换次序正确的话,令f(x,y,z)=1,则两种次序的三次积分应该表示同一立体的体积.这是一种很简便的检验方法.这样我们可以知道更换的结果是正确的三重积分和二重积分一样,其计算的烦简,往往与使用的坐标系有关.在三重积分的计算中所用的坐标,除了直角坐标有柱面坐标和球面坐标一、利用柱面坐标计算三重积分如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平面．

柱面坐标与直角坐标的关系为

如图，柱面坐标系中的体积元素为例1设有一个质量均匀分别的截头直圆柱体,其下底面在xoy平面上,上顶面在平面x+y+z=3上,侧面为圆柱面x2+y2=1.求其质量m.解:设密度函数ρ(x,y,z)=μ,由于积分区域为截头圆柱体,我们采用柱面坐标来计算,Ω在xoy平面的投影为圆x2+y2≤1x+y+z=3x2+y2=1333zxy例2计算Dz=rz=hxyz解：把x2+y2=z2和平面（先一后二,投影法）z=h变为柱面坐得到其中Ω是由圆锥面x2+y2=z2和平面z=h所围成的空间区域.二、利用球面坐标计算三重积分球面坐标与直角坐标的关系为规定：如图，三坐标面分别为球面；圆锥面；半平面．球面坐标系中的体积元素为如图，例3计算三重积分rθφxzydV=r2sinφdrdφdθ其中Ω是球形闭区域:x2+y2+z2≤2z.例4计算三重积分x2+y2+z2=R2xyz圆锥面的方程变成球面方程变为r=R其中Ω是由球面x2+y2+z2=R2所围成的区域与圆锥面分析例5求由曲面z=4-x2-y2/4和z=3x2+y2/4所围成的立体体积.分析:所给的立体是由开口向上和开口向下的两个椭圆抛物面所围成.由于图形对称于x轴和y轴的,可计算立体在第一象限内的体积xyzΩ1Ω1x2+y2/8=1z=3x2+y2/4z=4-x2-y2/4把Ω1投影到xoy平