理论力学第13章课件

理论力学

河南科技大学土木工程学院工程力学系

任课教师：张耀强第13章

达朗贝尔原理达朗贝尔生平

达朗贝尔（J.d'Alembert，1717－1783，法国）。达朗贝尔是法国著名的物理学家、数学家和天文学家，他一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有8卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、23卷的《文集》、《百科全书》的序言等等。他的很多研究成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因为教会的阻挠而没有举行任何形式的葬礼。

达朗贝尔原理为解决动力学问题提供了另一种求解的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题，因此这种方法也叫动静法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单，也易于掌握，因此动静法在工程中被广泛使用。引言设一质点质量为m,加速度为a,作用于质点的主动力为F,约束力为FN

。由牛顿第二定律，有将上式改写成令13.1.1质点的达朗贝尔原理FI具有力的量纲，且与质点的质量有关，称其为质点的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘积，方向与质点加速度方向相反。FImFFNa13.1达朗贝尔原理即：在质点运动的任一瞬时，作用在质点上的主动力、约束力和假想加在质点上的惯性力构成了形式上的平衡力系。这就是质点的达朗贝尔原理。则有应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。球磨机的滚筒以匀角速度w绕水平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的物料，钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料，如图。设滚筒内壁半径为r，试求钢球的脱离角θ。解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象,受力如图。惯性力的大小为OMrwqFsFNmgFI钢球未脱离筒壁前,作圆周运动，其加速度为例加上惯性力后，由达朗贝尔原理这就是钢球在任一位置q

时所受的法向反力，显然当钢球脱离筒壁时，FN＝0，由此可求出其脱离角θ为OMrwqFsFNmgFI该式表明:质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理(形式1)。设质点系由n个质点组成，对每一个质点i，有13.1.2质点系的达朗贝尔原理

这样的方程共有n个，代表n个平衡力系，相加后仍然为一平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即

由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，因此上式中不包含内力。由此可得：

作用在质点系中所有的主动力、约束力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理(形式2)。13.2刚体惯性力系的简化

对于刚体这种特殊的质点系，每个质点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成一个力系，如果先利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩，会给解题带来方便，这里分别讨论刚体平移、定轴转动和平面运动时惯性力系的简化。13.2.1刚体作平移故平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体质量与加速度的乘积，方向与加速度方向相反。刚体作平移时，质心的加速度aC如图，13.2.2刚体绕定轴转动wa工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面且该平面与转轴垂直。waO

当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴。这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度相反。aCOwaCFIRMIO三种特殊情况：1.当转轴通过质心C时,

aC＝0,FIR＝0,MIO＝－JC。此时惯性力系简化为一惯性力偶。waCMIO2.当刚体作匀速转动时,＝0，若转轴不过质心，惯性力系简化为一惯性力FIR，且FIR

＝－maC，同时力的作用线通过转轴O。aCOwCFIR3.当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时,FIR

＝0，MIO

＝0，惯性力系自成平衡力系。13.2.3刚体作平面运动工程中,作平面运动的刚体常常有质量对称平面,且平行于此平面运动。当刚体作平面运动时,其上各质点惯性力组成的空间力系,可简化为在质量对称平面内的平面力系。取质量对称平面内的平面图形如图所示,取质心C为基点，设质心的加速度为aC,绕质心转动的角速度为w,角加速度为a,此时惯性力系向质心C简化的结果为FIRMICCaCwa有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时,刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积，其方向与质心加速度的方向相反;

这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积，

转向与角加速度相反。DBA如图所示，均质杆AB的质量m＝40kg，长l＝4m，点A以铰链连接于小车上。不计摩擦，当小车以加速度a＝15m/s2向左运动时，求杆AB中点D处和铰链A处的约束力(此时杆AB与D处接触)。解：以杆为研究对象，受力如图，建立如图坐标。杆作平移,惯性力的大小为FIR＝ma。假想地加上惯性力FIRA30°DB1maaFDmgFAxFAyxy例由质点系的达朗贝尔原理代入数据,解之得：DBAFIRaFDmgFAxFAyxy于是得jOxyCBA质量为m,长为l的均质直杆AB的一端A焊接于半径为r的圆盘边缘上,如图。今圆盘以角加速度a绕其中心O转动。求圆盘刚开始转动时，杆AB上焊接点A处的约束力。解:以杆为研究对象,受力如图。将惯性力系向转轴O简化，惯性力的大小为aOrABlamgaCFIRMIOFAxFAyMA例圆盘刚开始转动时，ω=0aOrABljOxyCBAamgaCFIRMIOFAxFAyMA由质点系的达朗贝尔原理将已知数值代入以上三式，解之得jOxyCBAamgaCFIRMIOFAxFAyMABC均质杆AB长l，重W，B端与重G、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮上作用一矩为M的力偶，借助于细绳提升重为P的重物C。试求重物C的加速度及固定端A处的约束力。解：先以轮和重物为研究对象,受力如图。假想地加上惯性力由质点系的达朗贝尔原理aMGFBxFByMIBαPFI代入MIB和FI得例再以整体为研究对象，假想地加上全部惯性力BCAaMGFAxFAyMIBPFIαWMA代入MIB和FI解得由质点系的达朗贝尔原理在图示机构中，沿斜面向上作纯滚动的圆柱体和鼓轮O均为均质物体，各重为P1和P2，半径均为R，绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角q

，如在鼓轮上作用一常力偶矩M，试求：(1)鼓轮的角加速度？(2)绳子的拉力？(3)轴承O处的约束力？(4)圆柱体与斜面间