2021年安徽省池州市六都中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2021年安徽省池州市六都中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合,.若,则实数的值是（☆）

A.

B.或C.

D.或或参考答案：B2.已知集合,则=（）A． B． C． D．

参考答案：D略3.若，则

A.

B.

C.

D.参考答案：B由得，即，所以，选B.4.若双曲线C:（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为A．2

B.

C.

D.参考答案：A5.直线l：y=k（x+）与曲线C：x2﹣y2=1（x＜0）相交于P，Q两点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（，）∪（，） B．（，） C．（0，）∪（，π） D．[0，π）参考答案：A【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】首先根据题意直线l：y=k（x+）与曲线x2﹣y2=1（x＜0）相交于A、B两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【解答】解：曲线x2﹣y2=1（x＜0）的渐近线方程为：y=±x直线l：y=k（x+）与相交于A、B两点所以：直线的斜率k＞1或k＜﹣1α∈（，）由于直线的斜率存在：倾斜角a≠，故直线l的倾斜角的取值范围是（，）∪（，）故选：A．【点评】本题考查的知识要点：直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系．6.设集合，集合，则等于(

)（A）(1,2)

（B）(1,2] （C）参考答案：B集合=，集合=，所以=(1,2]，故选B．7.已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣3 B． C．5 D．6参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（2，﹣1）=5故选：C【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x﹣y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．8.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为(

) A.（，1） B.（，+） C.（，） D.（，+）参考答案：B9.设复数满足，则（）A．

B．

C．

D．2参考答案：A10.函数的零点个数为（

）（A）0

（B）1

（C）2

（D）3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是

.（将你认为正确的都填上）参考答案：略12.若函数，则函数的值域是

.参考答案：

13.f（x）=x2+2（m﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上单调递减，则m的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣3]【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数的性质可求f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1﹣m]，由f（x）在区间（﹣∞，4]上单调递减，结合二次函数的性质可求m的范围．【解答】解：f（x）=x2+2（m﹣1）x+2的对称轴为x=1﹣m故函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，1﹣m]又∵f（x）在区间（﹣∞，4]上单调递减，∴（﹣∞，4]为（﹣∞，1﹣m]子区间∴1﹣m≥4∴m≤﹣3故答案为：（﹣∞，﹣3]14.如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的取值范围是

.

参考答案：略15.设是虚数单位，则__________．参考答案：复数．16.已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的公共点，若，则此椭圆的离心率为______________．参考答案：略17.已知函数，其中，则=

.参考答案：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域.参考答案：解析:（1）由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，由点在图像上的故

又（2）当=，即时，取得最大值2；当即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2]19.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且Sn＝nan＋1－n2－n．（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足，求{bn}的前n项和Tn．参考答案：（1）由条件知Sn＝nan＋1－n2－n，①当n＝1时，a2－a1＝2；当n≥2时，Sn－1＝（n－1）an－（n－1）2－（n－1），②①－②得an＝nan＋1－（n－1）an－2n，整理得an＋1－an＝2．综上可知，数列{an}是首项为3、公差为2的等差数列，从而得an＝2n＋1．（2）由（1）得，所以．20.（本小题共13分）已知函数（）.（Ⅰ）求函数的单调区间;(Ⅱ）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求的取值范围。参考答案：解：（I）

……2分当

即

f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（,

………4分当

，

即

f(x)的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，）……6分（II）得

……8分+3

……9分

………10分

……11分……12分

即：

……13分21.（13分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M．证明：AB⊥MF；（3）椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），使得直线A′B′过点F？若存在，求出抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．

参考答案：考点:圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．专题:综合题；压轴题．分析:（1）由点抛物线焦点F是椭圆的一个顶点可得b=1，由椭圆离心率e=得=，椭圆方程可求．（2）要证明AB⊥MF，只需证=0即可．设直线l的方程为y=kx+，1与双曲线方程联立，消去y，得到关于A，B点横坐标的一元二次方程，求两根的和与积，再用导数求过A，B点的切线方程，求出切点坐标，计算即可．（3）先假设椭圆E上存在点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B（A′、B′为切点），直线A′B′过点F．再根据假设与已知条件去求M′坐标，如果存在，用所求结果求抛物线C与切线M′A′、M′B所围成图形的面积．解：（1）设椭圆E的方程为，半焦距为c．由已知条件，F（0，1），∴b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=1．所以椭E的方程为．（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）（x1≠x2）与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x2﹣4kx﹣4=0∴x1x2=﹣4．∵抛物线的方程为y=x2，求导得y′=x，∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是y﹣y1=x1（x﹣x1），y﹣y2=x2（x﹣x2）即y=x1x﹣，y=x2x﹣x22解得两条切线的交点M的坐标为（，﹣1）∴?=0∴AB⊥MF．（3）假设存在点M′满足题意，由（2）知点M′必在直线y=﹣1上，又直线y=﹣1与椭圆有唯一交点，故M′的坐标为（0．﹣1），设过点M′且与抛物线C相切的切线方程为y﹣y0=x0（x﹣x0）：，其中点（x0，y0）为切点．令x=0，y=﹣1得，﹣1﹣x02=x0（0﹣x0），解得x0=2或x0=﹣2，故不妨取A′（﹣2，1）B′（2，1），即直线A′B′过点F．综上所述，椭圆E上存在一点M′（0，﹣1），经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′（A′、B′为切点），能使直线A′B′过点F．此时，两切线的方程分别为y=﹣x﹣1和y=x﹣