2022-2023学年湖南省邵阳市武冈秦桥乡中学高三数学理下学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省邵阳市武冈秦桥乡中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知都是单位向量，则下列结论正确的是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知点和圆，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是（

）A．R

B．

C．

D．参考答案：C由题意得点在圆外，选C.

3.已知抛物线，圆.过点的直线交圆于两点，交抛物线于两点，且满足的直线恰有三条，则的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.若为不等式组表示的平面区域,则当从－2连续变化到1时,动直线扫过中的那部分区域的面积为（）A.

B.

C．1

D.5参考答案：B5.已知,若向区域上随机投1个点P,则点P落入区域的概率为

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为:“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（

）A．142π平方尺

B．140π平方尺

C．138π平方尺

D．128π平方尺参考答案：C7.已知复数，则复数z=（

）A.2+i B.2－i C.i D.－i参考答案：C【分析】根据复数的除法运算法则，即可求解，得到答案.【详解】由题意，复数，则，故选C.【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.8.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（

）A．1 B． C． D．参考答案：C9.已知点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为（）A． B．2 C．4 D．8参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF.=，=，由于=（3，1），=（1，3），=6．可得==.=．由于S平行四边形DEQF==8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为λμ=λ+μ，利用基本不等式的性质可得λ+μ≥4．由（1＜λ≤a，1＜μ≤b），可得，于是x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．即可得出．【解答】解：如图所示，以AB，AC为邻边作平行四边形ABCD．分别作=，=，则由所有满足（1＜λ≤a，1＜μ≤b）表示的平面区域D为平行四边形DEQF．=，=，=（3，1），=（1，3），=6．∴=，∴==．∴==．∴S平行四边形DEQF==（λ﹣1）（μ﹣1）×=8（λ﹣1）（μ﹣1）=8，化为（λ﹣1）（μ﹣1）=1，∴λμ=λ+μ≥，可得λμ≥4，∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ=2时取等号．∵（1＜λ≤a，1＜μ≤b），∴==（1，﹣1）+λ（3，1）+μ（1，3），∴，∵1＜λ≤a，1＜μ≤b，∴x+y=4（λ+μ）≤4（a+b）．∴a+b≥λ+μ≥4，∴a+b的最小值为4．故选：C．10.设，，，则（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D因为，，又，所以最大。又，所以，即，所以，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，，其中.若，则=

．参考答案：12.若变量满足约束条件则的最大值为

。参考答案：略13.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：性别

专业非统计专业统计专业男1310女720为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到因为，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为

____;参考答案：5%14.某学校要安排2位数学老师、2位英语老师和1位化学老师分别担任高三年级中5个不同班级的班主任，每个班级安排1个班主任．由于某种原因，数学老师不担任A班的班主任，英语老师不担任B班的班主任，化学老师不担C班和D班的班主任，则共有

种不同的安排方法．（用数字作答）．参考答案：3215.观察下列等式:照此规律,第n个等式可为________.参考答案：16.（5分）（2012?广州一模）已知，则实数k的取值范围为．参考答案：考点：微积分基本定理；一元二次不等式的应用．专题：计算题；导数的综合应用．分析：由定积分计算公式，算出的表达式，再解关于k的一次不等式，即可得到本题答案．解答：解：∵=（）=（）﹣（）=+1∴即2≤+1≤4，解之得≤k≤2故答案为：点评：本题给出含有积分式子的范围，求参数k的取值范围，着重考查了定积分计算公式和不等式解法等知识，属于基础题．17.已知集合，，，则=

．参考答案：{3,5}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，，，点为直线上一动点.（Ⅰ）求；（Ⅱ）当取最小值时，求的坐标.参考答案：已知向量，，，点为直线上一动点.（Ⅰ）求；（Ⅱ）当取最小值时，求的坐标.19.已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，若函数有两个极值点，不等式恒成立，求实数取值范围．参考答案：（1）当时，；，则，所以切线方程为，即为．…4分（2）令，则当时，，函数在上单调递增，无极值点；当且，即时，由，得当变化时，与的变化情况如下表：00单调递增极大值单调递减极小值单调递增当时，函数有两个极值点，则，．由可得．．令．因为，所以，，即在递减，即有，所以实数的取值范围为．20.已知数列的前项和为，函数（其中，为常数且）（Ⅰ）若当时，函数取得极大值，求的值；（Ⅱ）若当时，函数取得极小值，点，都在函数的图像上，（是的导函数），求数列的通项公式.参考答案：解：（I）由得

，∵

∴随x变化而变化如下表x(,1)1+0—0+↗极大植↘极小值↗

∴当取得极大值时

…………6分（II）由上表得时取得极小值.点在其函数图象xn=1时

点(1,2)在函数图象上时

（1）

（2）

（1）—（2）得

当n=1时也符合上式∴

…………12分

21.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a≠b，c=，且bsinB﹣asinA=acosA﹣bcosB．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求a与b的值．参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理和三角恒等变换，化简等式得出A+B的值，从而求出C的值；（Ⅱ）根据三角形的面积公式和余弦定理，列出关于a、b的方程组，求出a、b的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵bsinB﹣asinA=acosA﹣bcosB，∴sinB?sinB﹣sinA?sinA=sinAcosA﹣sinBcosB，∴﹣=sin2A﹣sin2B，整理得sin2A﹣cos2A=sin2B﹣cos2B，即2sin（2A﹣）=2sin（2B﹣）；又a≠b，∴（2A﹣）+（2B﹣）=π，解得A+B=，∴C=π﹣（A+B）=；（Ⅱ）△ABC的面积为：absinC=absin=ab=，解得ab=6①；由余弦定理，得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣2×6cos=a2+b2﹣6=7，∴a2+b2=13②；由①②联立，解方程组得：a=2，b=3或