常见随机变量及其分布

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MAV

2008常见随机变量及其分布及独立性检验徐德前北京宏志中学2021年7月27日—

常见随机变量的概率及其分布二项分布正态分布

超几何分布—二三二项分布二项分布定义:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ

是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n

次独立重复试验中这个事件恰好发生k

次的n

nk

k n-k概率是

P

(x

=

k

)

=

C

p

q

，（k＝0,1,2,…，n，

q=

1

-

p

）．于是得到随机变量ξ

的概率分布如下：ξ01…k…nPC

0

p0qnnC

1

p1qn-1n…Ck

pk

qn-kn…Cn

pn

q

0n记作ξ～B(n，p)，其中n，p

为参数．二项分布命令binomPdf（二项式Pdf）计算随机变量在某一点的概率（点概率）命令binomCdf（二项式Cdf）计算随机变量在某一区间的概率（累计概率）命令xxxPdf计算随机变量在某一点的概率（点概率）命令xxxCdf计算随机变量在某一区间的概率（累计概率）二项分布输入函数的三种方式：1.菜单→5概率→5分布→D二项分布PDF/E二项分布CDF二项分布输入函数的三种方式：2.目录键→2分布→二项分布PDF、二项分布CDF使用向导二项分布输入函数的三种方式：3.手工输入（熟练后）二项分布例

1．某射手每次射击击中目标的概率是

0

.

8.求这名射手在

10

次射击中，恰有

8

次击中目标的概率；至少有

8

次击中目标的概率．解：设X

为击中目标的次数，则X～B(10，0.8).问题：随机变量取何值时，二项分布的概率最大？一般化的结果呢？正态分布bam

,s如果对于任何实数a

<

b

，随机变量

X

满足

P(a

<

X

£

B)

=

j(x)dx

，(

x-m

)22s

2m

,s其中

j

(x)

=1,

x

˛

(-¥

,

+¥

)

，则称

X

的分布为正态分布（norma2pse-distribution)

．正态分布完全由参数m

和s

确定，记作N

(m,s

2

)．如果随机变量X

服从正态分布，则记为X～

N

(m,s

2

).命令normPdf计算随机变量在某一点的概率（点概率）命令normCdf计算随机变量在某一区间的概率（累计概率）正态分布正态分布正态分布正态分布注：计算器中输入的标准差s

，不是方差s

2

.计算器还提供泊松分布、t

分布、F

分布、几何分布等常见随机变量概率的运算及其逆运算，可参考说明书。正态分布在计算页面下正态分布例

3

某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分布

N

(70,102

)如果规定低于60

分为不及格，求：成绩不及格的人数占多少？成绩在80~90

内的学生占多少？超几何分布NCn一般地，在含有

M

件次品的

N

件产品中，任取

n

件，其中恰有

X

件次品数，Ck

Cn-k则事件

{X=k｝发生的概率为

P(

X

=

k

)=

M N

-M

,

k

=

0,1,

2,,

m

，其中m

=min{M

,n}，且n

£

N

,M

£

N

,n,M

,N

˛

N

*

．称分布列为超几何分布列．说明：TI图形计算器中并没有内置超几何分布的函数命令.超几何分布NnM下界上界输入函数名称超几何分布输入函数名称随机变量取值随机变量数组超几何分布概率数组输入函数公式超几何分布例

2．在含有

4

件次品的

12

件产品中，任取

3

件，试求：(1)取到的次品数

X

的分布列及其期望；（2）至少取到1

件次品的概率．超几何分布超几何分布超几何分布注：增加“数据与统计”页面，做出随机变量与对应概率的图象.超几何分布问题1：如何求超几何分布的方差？问题2：随机变量取何值时，超几何分布的概率最大？可利用cas功能或结合图象研究。问题3：如果赋值n1

=10,n

=4,m

=8

，发生了什么？如何解释你的结论？如何修改表格中某些函数？超几何分布问题在哪里？超几何分布怎样修改才对？下界超几何分布怎样修改才对？下界超几何分布超几何分布二 独立性检验（卡方检验）一.

问题情境有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手.这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515

个成年人，其中吸烟者220

人，不吸烟者295

人．调查结果是：吸烟的220

人中有37

人患呼吸道疾病（简称患病），183

人未患呼吸道疾病（简称未患病）；不吸烟的295

人中有21

人患病，274人未患病．问题：根据这些数据能否断定“患呼吸道疾病与吸烟有关”？二 独立性检验（卡方检验）患病未患病合计吸烟37183220不吸烟21274295合计58457515二．探索活动二 独立性检验（卡方检验）三．建构数学1．独立性检验：（1）假设H

0

：患病与吸烟没有关系．若将表中“观测值”用字母表示，则得下表：患病未患病合计吸烟aba

+

b不吸烟cdc

+

d合计a

+

cb

+

da

+

b

+

c

+

d（近似的判断方法：设n

=a

+b

+c

+d

，如果H

0

成立，则在吸烟的人中患病的比例与不吸烟的人中患病的比例应差不多，由此可得a

ca+

b c

+

d»

，即

a

(c

+d

)»c(a

+b)

ad

-bc

»0

，因此，|

ad

-bc

|

越小，患病与吸烟之间的关系越弱，否则，关系越强．）二 独立性检验（卡方检验）事件

A——某人吸烟，

事件

B——某人患病，事件A-——某人不吸烟，事件B-——某人不患病．假设H0：患病与吸烟没有关系，即H0：P(AB)

=

P(A)P(B)．“吸烟且患病”的估计人数为n

·

P(AB)»n

·

a

+

b

·

a

+

c

=(a

+

b)(a

+

c)

；n

n

n“吸烟但未患病”的估计人数为n

·

P(AB)»n

·

a

+

b

·

b

+d

=(a

+

b)(b

+d

)

；n

n

n“不吸烟但患病”的估计人数为n

·

P(AB)»n

·

c

+d

·

a

+

c

=(c

+d

)(a

+c)

；n

n

n“不吸烟且未患病”的估计人数为n

·

P(AB)»n

·

c

+d

·

b

+d

=(c

+d

)(b

+d

)

．n

n

n如果实际观测值与假设求得的估计值相差不大，就可以认为所给数据（观测值）不能否定假设H0

．否则，应认为假设H0

不能接受，即可作出与假设H0

相反的结论．二 独立性检验（卡方检验）（2）构造统计量如果实际观测值与由事件A、B

相互独立的假设的估计相差不大，那么，我们就可以认为这些差异是由随机误差造成的，假设不能被所给数据否定，否则应认为假设不能接受．怎样刻画实际观测值与估计值的差异呢？统计学中采用如下的量（称为c2统计量）来刻画这个差异.2卡方统计量（c

=(观测值-预期值)2预期值2）来进行估计．卡方统计量

χ

公式：nnnn(a

+b)(a

+c)

2(a

+b)(b

+d)

2a

-b

-χ2

=

+(a

+b)(a

+c)(a

+b)(b

+d)nnnn(c

+d)(a

+c)

2(c

+d)(b

+d)

2c

-d

-

+

+(c

+d)(a

+c)(c

+d)(b

+d)n

(ad

-

bc)2(a

+

b)(c

+

d

)(a

+

c)(b+

d

)=（其中n

=a

+b

+c

+d

）二 独立性检验（卡方检验）独立性检验的一般步骤：一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值：类A

和类B

（如吸烟与不吸烟），Ⅱ也有两类取值：类1和类2

（如患呼吸道疾病与不患呼吸道疾病），得到如下表所示：Ⅱ类1类2合计Ⅰ类Aaba

+

b类Bcdc

+

d合计a

+

cb

+

da

+

b

+

c

+

d推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”的步骤为：第一步，提出假设H0：两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系；第二步，根据2×2

列联表和公式计算χ2

统计量；第三步，查对课本中临界值表，作出判断．二 独立性检验（卡方检验）利用TI-NSPIRE

CAS

CX进行独立性检验（1）创建2×2

列联表矩阵（即观测矩阵）操作步骤：（菜单→7

矩阵与向量→创建→1矩阵）二 独立性检验（卡方检验）利用TI-NSPIRE

CAS

CX进行独立性检验操作步骤：（菜单→6

统计→7统计检验→8

χ2

双因素检验→填写观测矩阵名称二 独立性检验（卡方检验）利用TI-NSPIRE

CAS

CX进行独立性检验二 独立性检验（卡方检验）利用TI-NSPIRE

CAS

CX进行独立性检验二 独立性检验（卡方检验）利用TI-NSPIRE

CAS

CX进行独立性检验二 独立性检验（卡方检验）例题2生物学上对于人类眼睛的颜色是否与头发的颜色有关进行了调研，以下是一次调查结果。根据上述数据检验眼睛的颜色是否与头发的颜色有关？眼睛头发眼睛颜色头发颜色蓝色棕色绿色淡褐色黑色2068515金色9471610棕色841192954红