新北师大版九上第一章特殊的平行四边形教案

新北师大版九上第一章特殊的平行四边形教案

么？四、例4：P9，如图，ABCD为菱形，AB=6，AC=8，E为AC的中点，F为BC的中点，连接EF，求EF的长度。五、练习：P9-10六、作业：1、如图，在菱形ABCD中，E为AC的中点，F为BC的中点，连接EF，证明EF垂直于BD。2、已知菱形ABCD，AB=8，∠ABC=120°，点E在BD上，且AE=6，求DE的长度。第一章特殊平行四边形第1节菱形的性质与判定教学目标：1.理解菱形的概念，以及与平行四边形之间的关系。2.探索菱形的性质定理和判定，进一步发展合情推理能力。3.能够用综合法证明菱形的性质定理和判定定理，进一步发展演绎推理能力。4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。教学重点：菱形的性质及判定方法。教学难点：菱形性质和直角三角形知识的综合应用。教学过程：三个课时第一课时菱形的性质一、导入新课1.回顾上学期平行四边形的性质与判定。2.观察生活中的菱形物体。二、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.菱形的性质：阅读P2，思考如何证明。①菱形具有平行四边形所有的性质。②菱形的四条边相等。③菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。④菱形的面积等于两条对角线积的一半。⑤菱形既是轴对称图形也是中心对称图形。三、阅读P3，例1四、例题：已知菱形ABCD中，AB=20，∠ABC=60°，AC与BD交于点O，求对角线的长及菱形面积。五、练习：P4-5六、作业：1.若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为多少。2.在菱形ABCD中，点P为AC上一点，PE⊥CD，PF⊥AD，AB=4，∠DAB=60°，求PE+PF的值。EDCFPBA第二课时菱形的判定一、回顾菱形的性质二、菱形的判定1.一组邻边相等的平行四边形是菱形。（定义）2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（为什么？阅读P5）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形。3.四边相等的四边形是菱形。（P5，讨论为什么？）三、例题：P6四、例题：P6，如下图，ABCD的两条对角线AC、BD相交于O点，AB=5，AO=2，OB=1。(1)AC、BD有怎样的位置关系？(2)四边形ABCD是菱形吗？为什么？五、例题：六、练习：P7七、作业：1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F，交AC于E，若EG⊥BC于G，连结FG。求证：四边形AFGE是菱形。2.第三课时应用与练习一、回顾菱形的性质与判定二、阅读P8，例3三、例题：P8，两条等宽的纸条交叠在一起，则重叠的四边形ABCD是菱形吗？为什么？四、例题：P9，如图，ABCD为菱形，AB=6，AC=8，E为AC的中点，F为BC的中点，连接EF，求EF的长度。五、练习：P9-10六、作业：1.如图，在菱形ABCD中，E为AC的中点，F为BC的中点，连接EF，证明EF垂直于BD。2.已知菱形ABCD，AB=8，∠ABC=120°，点E在BD上，且AE=6，求DE的长度。二、矩形矩形是有一个角是直角的平行四边形。矩形具有平行四边形所有的性质，其四个角都是直角，对角线相等，既是轴对称图形，也是中心对称图形。三、直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，30°的角所对直角边等于斜边的一半。四、例题和阅读材料例题：已知菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，且CA：BD=1：3，AB=2，求菱形ABCD的面积。阅读材料：P13，例1。∠BAC=180°-∠DBA-∠EBC=60°，所以四边形ADEF是菱形。（2）当△ABC是等边三角形时，四边形ADEF是矩形。（3）当△ABC是直角三角形时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在。AB=BD，BE=BC，因此根据等角定理可知∠DBE=∠ABC，进而根据ASA准则可知△DBE≌△ABC，从而得到DE=AC。又因为△ACF是等边三角形，所以AC=AF，进而得到DE=AF。同理可证AD=EF，因此四边形ADEF是平行四边形。①四边形AEDF是菱形。②当AD=AC时，DE=AC=AF，因此四边形AEDF的四个边长相等，即为菱形。③当△ABC中的∠BAC=150°时，∠DAB+∠FAC+∠DAF+∠BAC=360°，因此∠DAF=90°，又因为∠DAB=∠FAC=60°，所以∠DAF=∠DAB+∠FAC，因此四边形ADEF是矩形。在矩形ABCD中，连接BP和CP，交对角线AC于点Q和R，连接EQ和FR。由于矩形的性质，可得AQ=CR=BD，EQ=FR，因此△QAE和△RCF是等腰三角形，进而得到AQ=AE，CR=CF。又因为BF=BD-AF=BD-AE=CQ-AE=CE，所以BF=CE，因此BF和DF是平行的。根据题意可知，∠1和∠2是同侧内角，因此根据平行线内角和定理可知∠CEG=∠AGE-∠1。又因为AE和CG是平行的，所以∠AGE=∠GCE，从而得到∠CEG=1/2∠AGE。3、对角线互相垂直的四边形是菱形；4、具有平行四边形一切性质的四边形是菱形。1、有一个角是直角的菱形是正方形；2、有一组邻边相等的矩形是正方形；3、对角线互相垂直的矩形是正方形；4、具有平行四边形一切性质的矩形是正方形。在判定正方形时，可以在矩形上添加菱形特征，或在菱形上添加矩形特征。平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的关系如下图所示：（图片不可显示）四边形形平行四边形矩形菱形正方形性质对边平行且相等四个角都是直角对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角四条边都相等，对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角轴对称图形中心对称图形在例2中，四边形AEDF为梯形，而当AD=CF时，AE=DF，因此四边形AEDF为菱形。当且仅当AB=BC时，四边形AEDF为矩形，因为此时AE=DF，且AD=CF，所以四边形AEDF的对角线互相垂直。四边形AEDF可能成为正方形，当且仅当它是菱形且每条边长都等于矩形的边长。在作业中，（1）通过证明可知，当∠BAC=90°时，有EO=FO，因此四边形AECF是矩形；（2）当点O在AC中点时，四边形AECF是正方形，此时AE=EC=CF=FA，且AE∥CF，EC∥FA。在（3）中，四边形AECF为正方形时，需要添加以下条件：AE=EC=CF=FA，且AE∥CF，EC∥FA。在第三课时中，回顾了平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质和判定方法。同时，还介绍了它们之间的关系。在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13。将纸片折叠，使点A落在BC边上的A′处，并将折痕标记为PQ。当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也会随之移动。现在假设点P、Q分别在AB、AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离。答案：⑴25；⑵FG=45；⑶点A'在BC上可移动的最大距离为4。在直梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=85CM，AD=24CM，BC=26CM。点P从A开始沿AD方向以1CM/S的速度运动，点Q从C开始沿CB方向以3CM/S的速度运动。两个点同时出发，当其中一点到达端点时，两点都停止。设运动的时间为t秒。①当四边形PQCD为平行四边形时，t为何值？②当四边形PQBA为矩形时，t为何值？③四边形ABQPPDA可能为正方形吗？④四边形PQCD可能为菱形吗？在正方形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AB=1。AC、BD交于点O，直线AC绕点O顺时针旋转与AD、BC交于点E、F。①AE不等于CF，因为∠ABC=60°，∠BAC=90°，所以∠ACB=30°，∠AOC=60°，∠BOC=120°，∠EOF=∠EFO=60°，∠OEF=60°，∠OFE=120°，∠AEF=∠CEF=30°，∠FEC=∠AEO=60°，所以∠EAF=∠ECF=90°，所以AE=CF。②当AE=1时，四边形ABFE为平行四边形。③当AE=2/3时，四边形AFCE为菱形，此时EF旋转了120度。由ABFCDE不能构成其他菱形。④当AE=1/2时，四边形AFCE为矩形。⑤在EF旋转过程中，由ABFCDE不能构成正方形。复习与小结：1.如图，两个矩形靠在一起，用一根直线将其分成面积相等的两部分。2.如图，将边长为2CM的正方形ABCD的对角线BD绕点B旋转，使点D落在CB的延长线上的点E处，则AE=BC。3.一直角三角形的木板，三边的平方和为1800平方CM，则斜边长为30CM。4.如图，OA=OB，四边形AEBF为矩形。只用直尺作∠AOB的平分线。若四边形AEBF为平行四边形，则作∠AOB的垂线即可。5.如图，如何把一个四边形通过剪切拼成一个矩形？如何经过这个四边形的四个顶点作一个矩形，使这个矩形面积是这个四边形面积的两倍。6.如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE。证明：AE⊥EG。证明过程如下：将AC延长到M，使CM=CG，连结EM。因为四边形ABCD是正方形，所以AC平分∠BCD，所以∠ECM=∠ECG，所以ME=EG。又因为AE=EG，所以AE=ME，所以AE⊥EM，即AE⊥EG。在三角形ECM中，已知CG平分∠DCF，因此∠GCF=45°。又∵∠ECM=135°，∴∠ECG=135°。根据等腰三角形的性质，EC=EC，CG=CM，因此△ECM≌△ECG。根据等角三角形的性质，∠M=∠G，EM=EG。又因为EA=EG，所以EA=EM，因此∠1=∠M=∠G，∠2=∠3。在正方形ABCD中，点P是CD上的动点，连接PA并分别作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足为E、F。根据勾股定理，BE²=BP²-EP²，DF²=DP²-FP²。又因为PA=PD，EP=FP，因此BE²=DF²，即BE=DF。又因为EF=EP+FP=2EP，因此EF=2BE=2DF。当点P在DC延长线上时，BE=DF=BP。因为EF=2BE=2DF，所以EF=2BP。当点P在CD延长线上时，BE=BP，DF=DP。因为EF=EP+FP=BP+DP=BE+DF，所以EF=2BE。在三角形ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M。（1）当AB=AC时，由于∠A=60°，所以三角形ABC是等边三角形，因此DE=EF=FD，即△DEF是等边三角形。（