高中数学单调性与最大（小）值 微课

1.3.1单调性与最大（小）值第一

章集合与函数概念

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》第二课时函数的最大（小）值

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

[思路点拨]（1）由图象直接观察；（2）先画出图象，再观察它的最高点和最低点．

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

[一点通]

从图象上看最大(小)值是整个函数图象的最高(低)点的纵坐标，需要注意的是：最值必须在函数值域内，即图象的最高(低)点为实心点，若为空心点则不是最值．

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

解析：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(1，3)，最低的点是(5，－4)，所以函数y＝f(x)当x＝1时取得最大值即

ymax＝3，当x＝5时取得最小值即ymin＝－4.

答案：3、－4

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》1．函数f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(

)A．f(－2)，0 B．0，2C．f(－2)，2 D．f(2)，2解析：由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值f(－2)；当x＝1时，有最大值2.答案：C

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》2．函数y＝ax＋1(a＜0)在区间[0，2]上的最大值与最小值分别为(

)A．1，2a＋1 B．2a＋1，1C．1＋a，1 D．1，1＋a

解析：因a＜0，故一次函数在区间[0，2]上是减函数，当x＝0时，函数取得最大值为1；当x＝2时，函数取得最小值为2a＋1.

答案：A3．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最小值为________．解析：因x∈N*，故y＝2x2＋1≥3.

答案：3

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

[思路点拨]（1）利用单调性的定义证明；（2）利用（1）的结论求最值．

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

[一点通]

如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，那么函数y＝f(x)一定有最大值和最小值．若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值

ymax＝

f(a)，最小值ymin＝f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值

ymax

＝

f(b)，最小值ymin

＝

f(a)．

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》[思路点拨]将f(x)>0恒成立，转化为一元二次不等式x2＋2x＋a>0恒成立，最后利用二次函数的图象和性质求解．

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》[一点通](1)不等式在某区间上的恒成立问题常转化为求某熟知函数在该区间上的最值问题．即a≥g(x)恒成立⇔a≥g(x)max(g(x)max表示g(x)的最大值)；a≤g(x)恒成立⇔a≤g(x)min(g(x)min表示g(x)的最小值)．

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》(2)求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在闭区间[a，b]上的最值，首先配方找对称轴，然后判断对称轴与区间的关系，最后求最值．若对称轴在区间内，则对称轴上取得最小值，最大值在区间端点上取得；若对称轴在区间外，则函数在该区间上是单调函数，利用单调性求最值．

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：令g(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，易知g(x)min＝g(0)＝g(2)＝0，∴a<0.答案：(－∞，0)

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值为－2，则f(x)的最大值为________．解析：f(x)＝－(x－2)2＋4＋a，易知f(x)在[0,1]上是单调增函数，所以f(x)min＝f(0)＝a＝－2.f(x)max＝f(1)＝3＋a＝1.答案：1

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》1．已知函数的单调性求函数在某个闭区间上的最值，有三种情况：①若为增函数，则最小值在左端点处取到；②若为减函数，则最小值在右端点处取到；③若先减后增，则最小值在最低点位置取到；若含有参数，有时需对参数进行讨论．

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》2．若二次函数的定义域为确定的区间，求其最值时应根据二次函数的对称轴与区间的关系求解，即根据二次函数的对称轴先确定二次函数在某区间上的单调性，从而确定其最值在何处取得，当二次函数的解析式含有参数或区间含有参数而不确定时，则应根据图象开口方向以及图象的对称轴是位于区间上，还是位于区间左边、右边进行分类讨论，从而确定在其区间上的单调性，进行求最值．

道虽迩，不行不至；事虽小，不做不成.荀子《修身》

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》123请选择4当堂测、查疑缺

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》请选择当堂测、查疑缺1234－1、2

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》请选择当堂测、查疑缺1234

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》请选择当堂测、查疑缺1234有最大值1，无最小值

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》请选择当堂测、查疑缺1234

不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海.

荀子《劝学》请选择当堂测、查疑缺12