自相似的分形曲线

自相似的分形曲线第1页，课件共14页，创作于2023年2月自相似性的一点注记

部分与整体具有严格的自相似的分形又称作有规分形。如Koch曲线,它是按一定的数学法则(迭代)生成的，因此它的任一片段与整体严格自相似。但自然界的分形，其自相似性并不是严格的，如海岸线，天空的云团，树的枝干等只是一种统计意义下的自相似。对于Koch曲线也可以“随机生成”－可用掷硬币的方式来决定新的部分位于被去掉部分的哪一侧。这类分形又称作无规分形。第2页，课件共14页，创作于2023年2月分形相似维数(SimilarDimension)计算

分形几何学起初确实没有太多公式，但它揭示了众多现象的自相似性，Mandelbrot紧紧抓住了双对数关系(幂律关系)，在非线性中找到了一个重要不变量——分数维数。有了这些，对于一门学科的初创者来说，也就足够了。第3页，课件共14页，创作于2023年2月康托尔尘埃(Cantordust)生成方法：初始元为正方形，将初始元分成16个小正方形(如右图)，保留4个小正方形，形成生成元，无穷次操作形成一点集,显然它是一个严格的自相似形分形维数

:生成元由4个与初始元相似比为4的部分组

Ds=ln4/ln4=1第4页，课件共14页，创作于2023年2月谢尔宾斯基海绵(sierpinski’ssponge)如图所示，取一立方体,第一步将立方体等分成27个小立方体，舍去体心的一个小立方体和六个面上面心的小立方体,即舍去7个小立方体，保留27－7＝20个小立方体.第5页，课件共14页，创作于2023年2月(2)2.第二步再对每个小立方体进行同样的操作：此时保留下来的小立方体数目为20×20＝400个；3.如此反复操作直至无穷，极限情况下，小立方体的体积为零，而其表面面积之和趋于无穷大。所以实际得一个面集，是一个具有自相似性结构的规则分形系统.第6页，课件共14页，创作于2023年2月维数计算从一个小立方体出发，将小立方体的每边放大3倍，则此时体积放大27倍，共舍去体心和六个面面心上的7个小立方体，实际得的是N=20个小立方体；

边长放大倍数为k＝3.第7页，课件共14页，创作于2023年2月几种严格自相似分形的生成格式(1)Koch曲线基线为单位长度线段；主型中折线段数为4，即N=4

；折线段长度为1/3；第8页，课件共14页，创作于2023年2月Levy曲线分形Levy曲线主型：第9页，课件共14页，创作于2023年2月皇冠分形曲线第10页，课件共14页，创作于2023年2月桧树分形小枝：桧(gui)树(刺柏)分形小枝：主型由五条折线段组成，设其长度为r第11页，课件共14页，创作于2023年2月其它分形图花篮族羊凿树叶状分形第12页，课件共14页，创作于2023年2月分数维(Fractal

Dimension)的意义我们把维数看成是“复杂性指标”，看作是图形填充空间的程度。则在曲线的构成中，以Koch曲线为例，当转角由零度到九十度从小到大变化时，其分形维数也由1(直线段维数)从小到大，甚至接近并达到2(三角形面片)。第13页，课