新湘教版高中数学选择性必修·第二册第2章 空间向量与立体几何 章末复习课 课件（共20张PPT）

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章末复习课

知识网络·形成体系

考点聚焦·分类突破

考点一空间向量的概念及运算

1．空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等．

2．通过对空间向量的概念及运算的考查，提升学生的数学运算素养．

例1(1)如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC的中点，则＝()

A．－a＋b＋c

B．a－b＋c

C．a＋b－c

D．a＋b－c

答案：A

解析：(1)＝＝＝－＝－，

∵＝a，＝b，＝c，∴＝－a＋b＋c.

(2)正四面体ABCD的棱长为2，点E，F分别为棱BC，AD的中点，则·的值为()

A．4B．－4

C．－2D．2

答案：C

解析：∵＝＝，

∴·＝()·＝＋·

＝×22cos60°－22＋×22×cos60°＝－2.

考点二利用空间向量证明线面位置关系

1．用空间向量判断空间中位置关系的类型有：线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直；判断证明的基本思想是转化为线线关系或者利用平面的法向量，利用向量的共线和垂直进行证明．

2．通过对用空间向量证明直线、平面的平行与垂直的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．

例2如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1.求证：

(1)AF∥平面BDE；

(2)CF⊥平面BDE.

证明：(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1，

所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG，因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF∥平面BDE.

(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，

所以CE⊥平面ABCD.

如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz，则C(0，0，0)，A(，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，F(，，1)．

所以＝(，1)，＝(0，－，1)，＝(－，0，1)．所以·＝0－1＋1＝0，·＝－1＋0＋1＝0.

所以CF⊥BE，CF⊥DE.

又BE＝E，所以CF⊥平面BDE.

考点三利用空间向量求空间角

1．空间角的计算公式

(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2，则l1，l2的夹角θ满足cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.

(2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为v，n，则直线l与平面α的夹角θ满足sinθ＝|cos〈v，n〉|.

(3)设n1，n2分别是两个平面α，β的法向量，则两平面α，β夹角θ满足cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.

2．通过对利用向量计算空间角的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．

例3如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，CD⊥PB，PD＝AD＝AB＝BC＝2.

(1)求证：PD⊥平面ABCD；

(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为30°，点E在线段AP上，且＝3，求平面PBD与平面BDE夹角的余弦值．

解析：(1)证明：取BC中点F，连接DF.

∵AD∥BF，且AD＝BF，∴四边形ABFD为平行四边形．

则DF＝AB＝BC，于是CD⊥BD.

又∵CD⊥PB，PB＝B，∴CD⊥平面PBD.

又∵PD平面PBD，∴CD⊥PD.

又∵平面PCD⊥平面ABCD且交线为CD，

∴PD⊥平面ABCD.

(2)∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD即为直线PC与平面ABCD所成的角，

∴∠PCD＝30°.又∵PD＝2，∴CD＝AF＝2，BD＝2.

以DB，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则D(0，0，0)，B(2，0，0)，A(1，－，0)，P(0，0，2)．

＝(1，－，－2)，＝(2，0，0)，＝(0，0，2)．

∵＝3，∴＝＝(0，0，2)＋(1，－，－2)＝(，－)．

设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，

由得取n＝(0，4，)．

由(1)可知，DC⊥平面PBD，

所以平面PBD的法向量＝(0，2，0)，

∴cos〈，n〉＝＝＝.

∴平面PBD与平面BDE夹角的余弦值为.

考点四利用空间向量计算距离

1．空间距离的计算公式

(1)直线l外一点P到直线l的距离：PQ＝＝(其中A是l上的定点，是在l上的投影向量，＝a，u是l的单位方向向量)．

(2)平面α外一点P到平面α的距离：PQ＝＝＝(其中A是平面α内的定点，n是平面α的法向量)．

2．通过对利用空间向量计算距离的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．

例4长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：

(1)M到直线PQ的距离；

(2)M到平面AB1P的距离．

解析：如图，建立空间直角坐标系B-xyz，

则A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，

Q(4，6，2)，B1(0，0，4)．

(1)∵＝(－2，－3，2)，

＝(－4，－2，－2)，

∴在上的射影的模为＝＝，

∴M到直