二次根式运算和化简(超级经典)

二次根式运算和化简(超级经典)

二次根式的运算二次根式是指被开方数为二次式的根式，即a≥0且a为二次式。二次根式具有以下性质：（1）(√a)²=a（a≥0）；（2）√(a²)=|a|（当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a）；（3）ab=√(a²b)（a≥0，b≥0）；（4）a/√a=√a（a≥0）。二次根式的运算法则如下：（1）ac±bc=(a±b)c（c≥0）；（2）(√a)ⁿ=aⁿ（a≥0）。当m不是完全平方数时，只有当a=c，b=d时，a+bm=c+dm。化简二次根式时，需要运用换元、拆项相消、分解相约等方法，还应注意运用乘法公式、分母有理化等技巧，最后的结果一定要化成最简二次根式的形式。最简二次根式是指被开方数的指数与根指数互质，被开方数的每一个因式的指数都小于根指数，被开方数不含分母的根式。几个根式化成最简根式后，如果被开方数都相同，根指数也都相同，那么这几个根式叫做同类根式。【例题精讲】例1：已知y=-2/5，则x²+y²=？解：由y=-2/5可得y²=4/25，代入x²+y²中得x²+4/25。因此，x²+y²=(5x-4)²/25。例2：当a<2b时，化简√(a-2b)·a。解：因为a<2b，所以a-2b<0，所以√(a-2b)·a=√(a²-4ab+4b²-b²)=-b+√(a-b)²。【巩固练习】巩固一：若x，y为有理数，且2x-1+1-2x+y=4，则xy的值为？巩固二：已知y=1-x+√(x-199)，则x+y=？拓展：若m适合关系3x+5y-2-m+2x+3y-m=0，求m的值。化简：(1)27+102=？(2)25-4√6+25=？(3)x+4x+1+5+1/√(x+2)+1/√(x+2+2√(x+1))=？【知识梳理】有条件的二次根式化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点。这类问题包含了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法。解题的关键是，有时需要把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需要把待求式化简或变形；有时需要把已知条件和待求式同时变形。【例题精讲】【例1】设$x=\sqrt{1996+1995+1994+1993\times1991+1+1+1+1}$，求$x$的值。解：将$x$中的乘法展开，得到：$$x=\sqrt{(1996+1995+1994+1993\times1991)+(1+1+1+1)}$$$$=\sqrt{7970+4}=\sqrt{7974}$$因为$89^2=7921<7974<8100=90^2$，所以$\sqrt{7974}$的整数部分为89，小数部分为$\sqrt{7974}-89$。【例2】已知$x+\frac{1}{x}=2$，求$\frac{x^2-3x+1}{x}$的值。解：将分式$\frac{x^2-3x+1}{x}$展开，得到：$$\frac{x^2-3x+1}{x}=x-3+\frac{1}{x}$$由已知条件$x+\frac{1}{x}=2$可得$\frac{1}{x}=2-x$，代入上式得：$$\frac{x^2-3x+1}{x}=x-3+2-x=-1$$【例3】已知$a$、$b$是实数，且$\frac{(c-a)^2}{c}+\frac{(a+b)^2}{a}+\frac{(b-c)^2}{b}=2$，求$\frac{(a-b)^2}{ab}$的值。解：将$\frac{(c-a)^2}{c}+\frac{(a+b)^2}{a}+\frac{(b-c)^2}{b}=2$中的分式化简，得到：$$\frac{(c-a)^2}{c}+\frac{(a+b)^2}{a}+\frac{(b-c)^2}{b}=\frac{(ac-a^2)+(a^2+2ab+b^2)+(bc-b^2)}{abc}=2$$化简得到：$$ab+bc+ca=2abc$$将$\frac{(a-b)^2}{ab}$展开，得到：$$\frac{(a-b)^2}{ab}=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{a^2+b^2}{ab}-2$$将$ab+bc+ca=2abc$代入上式得：$$\frac{(a-b)^2}{ab}=\frac{(ab+bc+ca)-2ab}{ab}=1-\frac{c}{a}-\frac{c}{b}$$【巩固】1、若$x=\frac{1}{a}-a$，则$4x+x^2$的值为（）。A.$a-1$B.$-a$C.$a+1$D.不能确定解：将$x$展开，得到：$$x=\frac{1}{a}-a=\frac{1-a^2}{a}$$将$x^2$展开，得到：$$x^2=\frac{(1-a^2)^2}{a^2}$$将$4x+x^2$展开，得到：$$4x+x^2=4\cdot\frac{1-a^2}{a}+\frac{(1-a^2)^2}{a^2}=\frac{4-4a^2+(1-a^2)^2}{a^2}$$化简得到：$$4x+x^2=\frac{(a-1)(a+1)^3}{a^2}$$因此，选项C.$a+1$是正确的。2、已知$x+\frac{1}{x}=5$，求$\frac{x^2-x+1}{x}$的值。解：将分式$\frac{x^2-x+1}{x}$展开，得到：$$\frac{x^2-x+1}{x}=x-1+\frac{1}{x}$$由已知条件$x+\frac{1}{x}=5$可得$\frac{1}{x}=5-x$，代入上式得：$$\frac{x^2-x+1}{x}=x-1+5-x=4$$3、已知$a$、$b$是实数，且$\frac{(a+1)^2}{b}+\frac{(b+1)^2}{a}=8$，求$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$的值。解：将$\frac{(a+1)^2}{b}+\frac{(b+1)^2}{a}=8$中的分式化简，得到：$$\frac{(a+1)^2}{b}+\frac{(b+1)^2}{a}=\frac{a^2+2a+1+b^2+2b+1}{ab}=8$$化简得到：$$a^2+b^2+2ab+2a+2b=6ab$$将$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$展开，得到：$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}$$将$a^2+b^2+2ab+2a+2b=6ab$代入上式得：$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}-2=\frac{(a+b)^2}{ab}-2$$4、已知$x+\frac{1}{x}=2$，求$x^2-3xy-4y^2-6x-6y+58$的值。解：将$x+\frac{1}{x}=2$平方展开，得到：$$x^2+2+\frac{1}{x^2}=4$$移项得：$$x^2+\frac{1}{x^2}=2$$将$x^2-3xy-4y^2-6x-6y+58$展开，得到：$$x^2-3xy-4y^2-6x-6y+58=(x^2+\frac{1}{x^2})-3xy-(2y