新教材人教A版1.4.2充要条件课件（26张）

1.4.2充要条件【情境探究】问题1.已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请判断:p是q的充分条件吗?p是q的必要条件吗?提示:p⇒q,故p是q的充分条件,又q⇒p,故p是q的必要条件.问题2.通过判断,你发现了什么?这种关系是否对任意一个“若p,则q”的命题只要具备上述命题的条件都成立?你能用数学语言概括出来吗?提示:可以发现p既是q的充分条件,又是q的必要条件,且这种关系对“若p,则q”的命题只要具备p⇒q,q⇒p都成立,即p⇔q.必备知识生成【知识生成】充要条件(1)定义:若p⇒q且q⇒p,则记作_____,此时p是q的充分必要条件,简称_________.(2)条件与结论的等价性:如果p是q的_________,那么q也是p的_________.(3)概括:如果_____,那么p与q互为充要条件.p⇔q充要条件充要条件充要条件p⇔q关键能力探究探究点一充分条件、必要条件、充要条件的判断【典例1】判断下列各题中p是q的什么条件.(1)在△ABC中,p:A>B,q:a>b.(2)p:x>1,q:x2>1.(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.【思维导引】分两个步骤进行判断:①判断充分性p⇒q;②判断必要性q⇒p.【解析】(1)由三角形中大角对大边可知,若A>B,则a>b,即p⇒q,反之,若a>b,则A>B即q⇒p.因此,p是q的充要条件.(2)由x>1可以推出x2>1即p⇒q;由x2>1,得x<-1或x>1,不一定有x>1即qp.因此,p是q的充分不必要条件.(3)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3即pq;由a=3可以得出(a-2)(a-3)=0即q⇒p.因此,p是q的必要不充分条件.【类题通法】判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法:直接判断“若p,则q”以及“若q,则p”的真假.(2)集合法:即利用集合的包含关系判断.(3)等价法:即利用p⇔q与q⇔p的等价关系,一般地,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法.(4)传递法:充分条件和必要条件具有传递性,即由p1⇒p2⇒…⇒pn,可得p1⇒pn;充要条件也有传递性.【定向训练】设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的 (

)【解析】选C.因为A、B是两个集合,则由“A∩B=A”可得“A⊆B”,由“A⊆B”可得“A∩B=A”,所以“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.探究点二充分条件、必要条件、充要条件的应用【典例2】已知条件p:A={x|x2-(a+1)x+a≤0},条件q:B={x|x2-3x+2≤0},当a为何值时,(1)p是q的充分不必要条件.(2)p是q的必要不充分条件.(3)p是q的充要条件.【思维导引】先化简p,q对应的集合,再结合p,q的关系转化为集合A,B间的关系,构建方程或不等式(组)可解.【解析】因为A={x|x2-(a+1)x+a≤0}={x|(x-1)(x-a)≤0}.B={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},(1)因为p是q的充分不必要条件,所以A

B,而当a=1时,A={1},显然成立,当a>1时,A={x|1≤x≤a},需1<a<2,综上可知1≤a<2时,p是q的充分不必要条件.(2)因为p是q的必要不充分条件,所以BA,故A={x|1≤x≤a},且a>2,所以有a>2时,p是q的必要不充分条件.(3)因为p是q的充要条件,所以A=B,故a=2.【类题通法】集合法求参数的取值范围利用充分、必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,即先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p与q的关系(充分、必要、充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关方程或不等式(组)(也可借助数轴),求出参数的取值范围.【定向训练】设n∈N*,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________.

【解析】因为方程有实数根,所以Δ=16-4n≥0,所以n≤4.原方程的根x=为整数,则为整数.又因为n∈N*,所以n=3或4.反过来,当n=3时,方程x2-4x+3=0的两根分别为1,3,是整数;当n=4时,方程x2-4x+4=0的两根相等且为2,是整数.答案:3或4探究点三充要条件的证明【典例3】求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.【思维导引】要分别证明充分性和必要性.【证明】充分性:(由ac<0推证方程有一正根和一负根)因为ac<0,所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,所以方程一定有两个不等实根.设两根为x1,x2,则x1x2=<0,所以方程的两根异号.即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.必要性:(由方程有一正根和一负根推证ac<0)因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0.综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.【类题通法】充要条件的证明思路般地,证明“p成立的充要条件为q”;①充分性:把q当作已知条件,结合命题的前提条件,推出p;②必要性:把p当作已知条件,结合命题的前提条件,推出q.解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求.(2)在证明过程中,若能保证每一步推理都有等价性(⇔),也可以直接证明充要性.【定向训练】已知a,b是正实数,求证:的充要条件是a+b=1.【证明】必要性:若则即a2+a+b2+b+2ab=2,即(a+b)2+(a+b)-2=0,即(a+b-1)(a+b+2)=0,因为a,b是正实数,所以a+b+2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.充分性:若a+b=1,则故的充要条件是a+b=1.充分条件与必要条件核心知识方法总结易错提醒核心素养

（2）集合法:A⊆B,A是B的充分条件，B⊆A,A是B的必要条件.（1）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向（2）证明充要条件时，要分清哪个是条件，哪个是结论逻辑推理：通过充分条件、必要条件的判断与证明，培养逻辑推理的核心素养充分条件必要条件充要条件判断与证明应用课堂素养达标1.已知A,B是非空集合,命题p:A∪B=B,命题q:A

B,则p是q的 (

)【解析】选D.由A∪B=B,得A

B或A=B;反之,由A

B,得A∪B=B,所以p是q的必要不充分条件.2.设命题甲:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R,命题乙:0<a<1,则命题甲是命题乙成立的 (

)【解析】2+2ax+1>0的解集为R,则a=0或即a=0或所以0≤a<1.因此乙⇒甲,但甲乙,命题甲是命题乙成立的必要不充分条件.3.“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的 (

)【解析】2+(y-2)2=0,即x=0且y=2,所以x(y-2)=0.反之,x(y-2)=0,即x=0或y=2,x2+(y-2)2=0不一定成立.故“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的充分不必要条件.4.p:x=1或x=2,q:x-1=,则p是q的________条件.

【解析】当x=1或x=2时,可得x-1=成立.反过来,当x-1=时,可推出x=1或x=2.所以p是q的充要条件.答案: