新教材人教A版3.2.2.2函数奇偶性的应用课件（31张）

第2课时函数奇偶性的应用关键能力探究探究点一利用奇偶性求参数【典例1】已知函数f(x)=ax3+bx+1,若f(m)=8,则f(-m)=________.

【思维导引】本题利用函数的奇偶性,得到函数解析式f(-x)与f(x)的关系,从而通过f(m)的值求出f(-m)的值.【解析】令F(x)=f(x)-1=ax3+bx,易知F(x)是奇函数,F(-x)=-F(x),即f(-x)-1=-[f(x)-1]=1-f(x),故f(-m)-1=1-f(m),而f(m)=8,所以f(-m)=-6.答案:-6【类题通法】利用奇偶性求参数的两种类型及解法(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.(2)解析式中含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,利用待定系数法求解.【定向训练】1.设函数f(x)=(x+1)(2x+3a)为偶函数,则a=________.

【解题指南】根据偶函数的定义,可得一次项系数为0,从而可得结论.【解析】函数f(x)=(x+1)(2x+3a)=2x2+(3a+2)x+3a.因为函数f(x)=(x+1)(2x+3a)为偶函数,所以2x2-(3a+2)x+3a=2x2+(3a+2)x+3a,所以3a+2=0,所以a=-.答案:-2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是 ()【解析】选B.f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.【补偿训练】已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为[a-1,2a],则a+b=________.

【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即a(-x)2+b(-x)+3a+b=ax2+bx+3a+b,解得b=0.因为f(x)为偶函数,所以其定义域一定关于原点对称,所以a-1+2a=0,解得a=,所以a+b=.答案:

探究点二用奇偶性求解析式【典例2】(1)函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求f(x)的解析式.(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式.【思维导引】【解析】(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)+1=x+1,又因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-x)=-f(x)=x+1,所以当x<0时,f(x)=-x-1.又x=0时,f(0)=0,所以f(x)=(2)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).由f(x)+g(x)=,①用-x代替x得f(-x)+g(-x)=,所以f(x)-g(x)=,②(①+②)÷2,得f(x)=;(①-②)÷2,得g(x)=.【类题通法】利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性构造-f(x)或f(-x),从而解出f(x).提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.【定向训练】1.已知函数g(x)是奇函数,函数f(x)=g(x)+1,若f(1)=2,则f(-1)= ()【解析】选C.因为函数f(x)=g(x)+1,f(1)=2,所以g(1)+1=2,所以g(1)=1,因为函数g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),所以g(-1)=-g(1)=-1,所以f(-1)=g(-1)+1=-1+1=0.2.已知f(x)是R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x(1+x),求f(x)的解析式.【解析】当x=0时,f(0)=0.当x<0时,-x>0,则f(-x)=x(1-x).又f(x)是R上的奇函数,所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-x(1-x).所以f(x)=探究点三函数的奇偶性与单调性的综合问题角度一比较大小问题【典例3】设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是 ()A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3)【思维导引】根据f(x)是R上的偶函数,将f(-3),f(-2)转化为f(3),f(2),由f(x)在[0,+∞)上单调递增来比较f(2),f(3),f(π)的大小.【解析】选A.因为函数f(x)为R上的偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又因为当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),故f(π)>f(-3)>f(-2).角度二解不等式【典例4】已知定义在(-1,1)上的函数f(x)=(1)试判断f(x)的奇偶性及其在(-1,1)上的单调性.(2)解不等式f(t-1)+f(2t)<0.【思维导引】(1)用判定奇偶性和单调性的方法步骤进行;(2)由(1)的结论,将不等式f(t-1)+f(2t)<0,化简为f(t-1)<f(-2t),从而得到不等式组解之即可.【解析】(1)任取x∈(-1,1),则-x∈(-1,1),且f(-x)==-f(x).故f(x)=为奇函数.任取x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,所以f(x2)-f(x1)=因为x2-x1>0,1-x1x2>0且分母+1>0,+1>0,所以f(x2)>f(x1),故f(x)=在(-1,1)上为增函数.(2)因为定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是增函数,由f(t-1)+f(2t)<0,得f(t-1)<-f(2t)=f(-2t).所以有解得0<t<.故不等式f(t-1)+f(2t)<0的解集为【类题通法】奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小①自变量在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;②自变量不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.(2)解不等式①利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式;②根据奇函数在对称区间上的单调性一致,偶函数在对称区间上的单调性相反,脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解.【定向训练】1.(2020·泰安高一检测)设F(x)=f(x)+f(-x),x∈R,若[－2，－1]是函数F(x)的单调递增区间,则一定是F(x)的单调递减区间的是()A.[-1,0] B.[1,2]C.[2,3] D.[3,4]【解析】选B.因为F(-x)=F(x),所以F(x)是偶函数,因而在[1，2]上F(x)一定单调递减.2.(2020·襄阳高一检测)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,则满足f(2x-1)>f的实数x的取值范围是 ()【解析】选A.因为偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且满足f(2x-1)>f,所以不等式等价为f(|2x-1|)>f,即|2x-1|<,所以-<2x-1<,计算得出<x<,故x的取值范围是【课堂小结】课堂素养达标1.已知函数y=f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3,则当x<0时,f(x)的解析式是 ()A.f(x)=-x2+2x-3 B.f(x)=-x2-2x-3C.f(x)=x2-2x+3 D.f(x)=-x2-2x+3【解析】选B.若x<0,则-x>0,因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3,所以f(-x)=x2+2x+3,因为函数f(x)是奇函数,所以f(-x)=x2+2x+3=-f(x),所以f(x)=-x2-2x-3,所以x<0时,f(x)=-x2-2x-3.2.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是 ()A.y=x3 B.y=|x|+1C.y=-x2+1 D.y=-【解析】选B.对于函数f(x)=|x|+1,f(-x)=|-x|+1=|x|+1=f(x),所以y=|x|+1是偶函数,当x>0时,y=x+1,所以在(0,+∞)上单调递增;A.函数y=x3不是偶函数;C.y=-x2+1在(0,+∞)上单调递减;D.y=-不是偶函数.3.如果奇函数f(x)在区间[1,5]上单调递减,且最小值为3,那么f(x)在区间[-5,-1]上 ()【解析】选D.当-5≤x≤-1时,1≤-x≤5,所以f(-x)≥3,即-f(x)≥3.从而f(x)≤-3,又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同,故f(x)在[-5,-1]上单调递减.4.偶函数f(x)在(0,+∞)内的最小值为2016,则f(x)在(-∞,0)上的最小值为________.

【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称,所以f(x)在对称区间内的最值相等.又当x∈(0,+∞)时,f(x)mi