一章数学建模概述教学课件

第一章数学建模概述1.1数学的应用与数学建模1.2数学建模的基本问题1.3数学建模示例1.4插值法与最小二乘法简介1.1数学的应用与数学建模数学广泛地应用于各个领域，如:传统的物理学、天文学、力学，及现代的工程技术、社会生活、信息技术等。计算机技术的发展为数学的广泛应用创造了条件，尤其是一些数学软件的开发使用，使得很多数学思想、方法得以实现。生物学航空宇宙滤波设计动力传输系统数学模型(MathematicalModel)

数学建模（MathematicalModeling)1.1数学的应用与数学建模对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具,得到的一个数学结构数学模型(MathematicalModel)

数学模型是实际对象的一种抽象模拟，它用数学符号、数学公式、图表、算法或程序描述现实对象中的数量关系。数学建模（MathematicalModeling)建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、验证等）数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践1.2数学建模的基本问题数学建模的方法数学建模的基本过程数学模型的分类怎样学好数学建模数学建模竞赛测试分析的方法：对客观事物的特性不能准确认识，只能通过对问题的观测数据的测量和分析，找到与数据吻合最好的模型。如：回归分析方法，方差分析方法等。数学建模的方法机理分析的方法：根据对客观事物特性的认识，分析其因果关系，通过推理分析得到的数学模型。如：微分方程方法，最优化方法等。数学建模的基本过程1.模型准备了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。2.模型假设在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,

通过对资料的分析计算,找出起主要作用的因素,经必要的精炼、简化,提出若干符合客观实际的假设。

3.模型建立在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学结构——即建立数学模型。

4.模型求解选择适当的方法（解析法、数值法、画图法等）求解数学模型。

5.模型的分析与检验对模型进行理论或计算分析，并用实际数据检验是否符合实际。

在难以得出解析解时，也应当借助计算机求出数值解。

实体信息(数据)假设建模求解验证应用数学模型的分类分类标准具体类别建模目的描述、优化、预报、决策…对某个实际问题了解的深入程度白箱模型、灰箱模型、黑箱模型模型中变量的特征连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等建模中所用的数学方法初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等研究课题的实际范畴人口模型、生态系统模型、交通流模型、经济模型、基因模型等怎样学好数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力

学习、分析、评价、改进别人做过的模型

亲自动手，认真做几个实际题目数学建模竞赛美国大学生数学建模竞赛：1985年至今，每年一次，时间在2月初的第一个周五至下周二，共96小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数学建模全过程为素材撰写的论文（英文）。全国大学生数学建模竞赛：1992年至今，每年一次，时间在9月下旬第一个周五至下周一，共72小时。三名学生组成一队参赛，要完成以包括数学建模全过程为素材撰写的论文。1.3

数学建模示例1.3.1

稳定的椅子1.3.2

商人安全过河1.3.4

人口增长预测1.3.3

传送系统效率1.3.1稳定的椅子问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地

四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;

地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;

地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。椅子能在不平的地面上放稳吗？问题模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来

椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置

四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性两个距离xBADCOD´C´B´A´f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：

f(),g()是连续函数;对任意，

f()•g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.

证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.地面为连续曲面

椅子在任意位置至少三只脚着地用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来模型构成模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.建模的关键:假设条件的本质与非本质考察四脚连线呈长方形的椅子和f(),g()的确定评注和思考:问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~

每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),

经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)1.3.2商人安全过河模型构成yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u

,v)u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,sk+1=sk

dk

+(-1)k~状态转移律求dkD(k=1,2,n),使skS,并按状态转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题xk~第k次渡河前此岸的商人数设模型求解xy3322110

穷举法~编程上机

图解法状态s=(x,y)~16个格点

~10个点允许决策~移动1或2格;

k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,，d11给出安全渡河方案规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一名随从的情况d1d11允许状态S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}评注和思考:传送带挂钩产品工作台背景1.3.3

传送系统的效率

在机械化生产车间里你可以看到这样的情景：排列整齐的工作台旁工人们紧张地生产同一种产品，工作台上方一条传送带在运转，带上设置着若干个钩子，工人们将产品挂在经过他上方的钩子上带走。1.3.3传送系统的效率问题

衡量这种传送系统的效率可以看它是否及时地把工人们生产的产品带走。显然在工人数目不变的情况下传送带速度越快,带上钩子越多,效率会越高。我们要构造一个衡量传送系统效率的指标,并且在一些简化假设下建立一个模型来描述这个指标与工人数目,钩子数量等参数的关系.传送带挂钩产品工作台问题分析系统稳态生产系统的周期性运转传送系统的效率一个周期的效率一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例作为衡量传送带效率的数量指标1.3.3

传送系统的效率问题分析每人做完一件产品后,要么恰有空钩经过他的工作台,使他可将产品挂上运走,要么没有空钩经过,迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。工人们生产周期虽然相同,但稳态下每生产完一件产品的时刻不会一致,可以认为是随机的,并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。系统稳态生产系统的周期性运转工人们的生产周期(生产一件产品的时间)相同1.3.3

传送系统的效率系统稳态生产系统的周期性运转工人们的生产周期(生产一件产品的时间)相同

生产完一件产品的时刻是随机的且在一个周期内任一时刻的可能性相同问题分析挂上产品的时刻也是随机的一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例作为衡量传送带效率的数量指标1.3.3

传送系统的效率模型假设1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩,若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走；若该钩非空,则这件产品被放下,退出运送系统。1.3.3

传送系统的效率模型建立为确定s,从工人考虑还是从挂钩考虑,哪个方便?传送带效率=一周期内运走的产品数s(待定)生产总数n（已知）=s/n=D

定义:从工人的角度考虑,

工人能将自己的产品挂上钩子的概率与工人所在位置有关在稳态下钩子没有次序，处于同等的地位从钩子的角度考虑1.3.3

传送系统的效率模型建立从钩子的角度考虑：若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则s=mp

设每只挂钩为空的概率为q，则

p=1-q

设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则q=rn

设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则

r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m[1-(1-1/m)n]/n一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方如何求概率P

1.3.3

传送系统的效率模型解释若(一周期运行的)挂钩数m远大于工作台数n,则

传送带效率(一周期内运走产品数与生产总数之比)定义E=1-D

(一周期内未运走产品数与生产总数之比)提高效率的途径：

增加m当n远大于1时,E

n/2m~

E与n成正比,与m成反比若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)1.3.3

传送系统的效率背景

年1625183019301960197419872019人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况

年19081933195319641982199020192000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长1.3.4人口增长预测目的指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式N(t)~时刻t的人口基本假设:

人口(相对)增长率r

是常数,今年人口N0,年增长率r=b-d，k年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性

与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合

适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代

可用于短期人口增长预测

不符合19世纪后多数地区人口增长规律

不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：1.资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用2.

阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率

(N很小时)Nm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是N的减函数0dN/dtNNmNm/2NmtN0N(t)~S形曲线,N增加先快后慢N0Nm/2阻滞增长模型(Logistic模型)

阻滞增长模型有一个稳定的平衡值Nm,这比指

数增长模型更符合实际。利用美国人口统计数据，检验上述两个模型

取r=0.03134,Nm=197273000,得到的计算结果

显示逻辑增长模型与实际误差更小。

这里的参数r和Nm是专家估计给出的，实际上，

它们包括N0都可以通过参数估计得到。阻滞增长模型(Logistic模型)估计中的参数r和N0对模型取对数，得

用线性最小二乘法（利用计算机计算）可求得

参数a和r，从而得到N0和r。

利用美国1790-1900年数据，算得N0=4.1184（百万),r=0.2743（每10年）阻滞增长模型(Logistic模型)估计中的参数Nm,r由

利用数值微分可算出右端值，再利用线性最小

二乘法，即可求得r和s。利用美国1860-1990年数据计算得Nm=392.0886,r=0.25571.4插值法与最小二乘法简介在实际中常常会遇到这样的问题：不知道函数y=f(x)的具体表达式，只能通过实验测量得到该函数在一些点的函数值，要求一个函数使其通过这组点，即这就是插值问题。函数称为的插值函数，称为插值节点。1.4.1插值方法已知函数在k+1个互异点的函数值，要求一个次数小于等于k的多项式使得

称为的插值多项式。多项式插值常见的多项式插值有：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值等。Lagrange插值多项式具有如下形式k=1时，Lagrange插值也称为线性插值其几何意义就是通过两点的直线.k=2时，Lagrange插值称为二次插值其几何意义为通过三点的抛物线。多项式插值的缺点：当插值节点较多时，高次插值会出现计算不稳定，如Runge现象等。1.4.2拟合法当是由实验和观测得到的，其函数通常是由表格给出，若要求曲线

逼近函数，通常由于观测有误差，插值条件不一定成立。最小二乘法的基本思想是：寻找最合适的模型参数，使得由模型给出的计算数据与已知数据的整体误差最小。假设已建立了数学模型其中，是模型参数。已有一组已知数据用最小二乘法确定参数c，即是求c

使最小。称为数据的最小二乘拟合函数。最合适的

c应满足必要条件1、线性最小二乘法当函数y=f(x,c)是参数c的线性函数时，即最小二乘法称为线性最小二乘法。其中是一组线性无关的函数，这组函数的选取直接影响拟合效果。例如，当选取时，模型函数由前面的必要条件，可得线性方程组求解上述方程组，即可得到参数c1,c2

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