全等三角形得相关模型地地总结汇总情况情况

全等的相关模型总结一、角平分线模型应用1.角平分性质模型：如图1,在AABC中,ZC，900'AD平分"AB,BC，6cm,BD，4cm,那么点D到直线AB的距离是 cm.如图2已知，Z1=Z2，Z3=Z4.求证：AP平分ZBAC.（提示：作丄AB交AB于点E）€Z1=Z2，„PM，PN，€Z3=Z4，„PN，PQ，„PM，PQ,„PA平分ZBAC（2）•模型巩固:练习一：如图3,在四边形ABCD中，BC>AB,AD=CD,BD平分ZBAC.

•求证：，A+，C二180€A图3练习二：已知如图4,四边形ABCD中，,B+,D=1800,BC二CD.求证：AC平分,BAD•练习三：如图5,RtAABC中,，ACB二900，CD丄AB，垂足为D，AF平分,CAB，交cd于点E,交CB于点F.⑴求证：CE=CF.⑵将图5中的△ADE沿AB向右平移到AA，D，E，的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.图5 图6练习四：如图，ZA=90。，AD〃BC，是A的中点， 呼分ZADC.

求证：C平分ZDCB.练习五：如图，B>CZ的平分线与BC的垂直平分线相交于D,自D作D丄BD丄C垂足分别为，.求证：BC图8练习六：如图9所示，在AABC中，BC边的垂直平分线DF交ABAC的外角平分线AD于点D,F为垂足，DE丄AB于E,并且AB>AC。求证：BE—AC=AE。练习七：如图10,D、E、F分别是AABC的三边上的点，CE=BF,且ADCE的面积与厶DBF的面积相等，求证：AD平分ZBACo2•角平分线+垂线，等腰三角形比呈现

辅助线：延长ED交射线OB于F①.如图1所示，在厶ABC中，ZABC=3ZC,①.如图1所示，在厶ABC中，ZABC=3ZC,AD是ZBAC的平分线，BE丄AD于F。求证：BE€2（AC-AB）证明：延长BE交AC于点F。②.已知：如图，在MBC中，ZBAC的角平分线AD交BC于D,且AB=AD,作CM丄AD交AD的延长线于M.求证：AM=2(AB„AC)图2分析：此题很多同学可能想到延长线段CM,但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD，由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点C作CE〃AB交AM的延长线于点E.例题变形:如图,€1=€2B为AC的中点CM丄FB于M,AN丄FB于N.例题变形:如图,求证：①EF=2BM；FB=^(FM+FN).(3)•模型巩固:练习一、如图，△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,B平分ZABC交AC于点，C垂直于B，交B的延长线于点。求证：B=C练习一变形：如图4练习一变形：如图4,在AODC中,ZD€90o,EC是ZDCO的角平分线,过点E作EF丄OC交OC于点F.猜想：线段EF与OD之间的关系，并证明.图4练习二、如图5,已知△ABC中，CE平分ZACB,且AE丄CE,ZAED+ZCAE=180度，求证:DE〃BC练习三、如图6,AD丄DC,BC丄DC,E是DC上一点，AE平分ZDAB,BE平分ZABC,求证：点E是DC中点。练习四、①、如图7(a),BD、CE分别是€A的外角平分线，过点A作AD丄BD、AE丄CE，垂足分别是D、E，连接DE.求证：DE〃BC,DE=2(AB+BCACC图7(图7(a)图7(b)图7(c)、如图7(b),BD、CE分是€ABC的内角分线其条 件变、如图7(c),BD%€ABC的内角平分线，CE%€ABC的外角平分线，其他条件不变.则在图7(b)、图6(c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与€ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论•(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)练习五、如图8,在直角三角形ABC中，„C=90。，„A的平分线交BC于D.自C作CG丄AB交AD于E，交AB于G.自D作DF丄AB于F，求证：CF丄DE.

练习六、如图所示，在€ABC中，AC>AB,M为BC的中点，AD是,BAC的平分线，若CF丄AD且交AD的延长线于F，求证MF=-„AC-AB….2练习六变形一：如图10所示，AD是€ABC中,BAC的外角平分线，CD丄AD于D,E是BC的中点，求证DE〃AB且DE=|(AB+AC).练习六变形二：如图所示，在€ABC中，AD平分,BAC,AD=AB,CM丄AD于M,求证AB+AC=2AMD练习七、如图12，在€ABC中，,B=2,C，,BAC的平分线AD交BC与D.则有AB+BD=AC.那么如图13，已知在€ABC中，也ABC=3,C，,1=,2，BE丄AE.求证：AC—AB=2BE.

图12 图13练习八、在AABC中，AB€3AC,ZBAC的平分线交BC于D,过B作BE丄AD,E为垂足，求证:AD€DE•练习九、AD是练习九、AD是AABC的角平分线,

求证：AF€FB•BE丄AD交AD的延长线于E,EF〃AC交AB于F•3•角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线OA上取点使OB=OA，从而使AOACSOBC.(1(1).例题应用：①、在△ 中，Z于，求证：6Z°，平分Z交于，平分Z交思路分析：)题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。)解题思路：本题要证明的是 =形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过作的平行线。得△。得到， ，只要再证出 就可以了。解答过程：图⑴TOC\o"1-5"\h\z证明：如图（），过作〃交于，AZO =- 0- ° °,又TZO+ °,AZOq又TZ OA ,・•・△ QA , ,又•・• 〃 ,AZ O ,又TZ OBAZ O ,A ,又TZA+ °,ZPA°,AZZ,解题后的思考：()本题也可以在上截取，连，构造全等三角形，即“截长法”。()本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图()，过作〃交于，则△ 从而得以解决。如图（3）,过0作DE/7BC交AB于D,交AC于E,则色ADO^AAQO,△AB0空△AEO从而得以解决□③如图（4）,过P作PDZ/BQ交AB的延长线于D,则AAPD空AAPC从而得以解决・，则△ 从而得以解决。图⑸小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。②、如图所示，在€ABC中，AD是ZBAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB,PC与AB,AC的大小，并说明理由.【解析】

【解析】如图所示，在AB的延长线上截取AE€AC，连接PED如图所示，在AB的延长线上截取AE€AC，连接PED故ZCAP=ZEAPD在,ACP和AAEP中，AC€AE,ZCAP=ZEAP,AP公用，因此AACP竺AAEP,从而PC€PED在ABPE中，PB+PE„BE,而BE€BA+AE€AB+AC,故PB+PC„AB+ACD变形：在,ABC中，AB„AC,AD是ZBAC的平分线.P是AD上任意一点.求证：AB—AC„PB—PC.【解析】 在AB上截取AE€AC，连结EP，根据SAS证得AAEPD,ACP,DPE=PC,AE=AC又,BEP中，BE„PB—PE,BE=AB—AC,DAB—AC„PB—PC（2）、模型巩固：练习一、.如图，在厶ABC中，AD丄BC于D,CD=AB+BD,ZB的平分线交AC于点E,求证：点E恰好在BC的垂直平分线上。练习二、如图，已知△ABC中，AB=AC,ZA=100°,ZB的平分线交AC于D,求证：AD+BD=BC A练习三、如图，已知△ABC中，BC=AC,ZC=90°,ZA的平分线交BC于D,求证：AC+CD=AB练习四、已知：在厶ABC中，€B的平分线和外角€ACM的平分线相交于D,D,BC,交AC于EE,交AB于F,求证：EF，BF-CE练习五、在△ABC中，AB，2AC,AD平分€BAC，E是AD中点，连结CE，求证：BD，2CE变式：已知：在厶ABC中，€B，2€C,BD平分€ABC，AD丄BQ于D,1求证:BD，-AC求证:2练习七、已知如图，在四边形 中,交于点练习七、已知如图，在四边形 中,交于点P.求证：ZAPB=ZCPDZA+C的外角平分线与ZCDA的外角平分线练习六、已知：如图，在四边形占中，〃平分Z〃的延长线交于点求证：（） ；

练习八、如图，在平行四边形ABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E,F分别是AD,AB边上的点，且BE、DF交于G点，BE=DF,求证：GC是ZBGD的平分线。练习九、如图，在厶ABC中，ZACB为直角，CM丄AB于， 平分ZBAC交于，交于，过作〃交于，求证：练习十、如图所示，已知€ABC中，AD平分ZBAC，E、F分别在BD、AD上.DE，CD，EF，AC.求证：EF〃AB【补充】如图，在€ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF〃AD交CA的延长线于点F,交AB于点G，若BG=CF，求证：AD为,BAC的角平分线.4.中考巡礼：(1)•如图1,OP是Z 的平分线，请你利用图形画一对以为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。①、如图，在厶中，Z是直角，Z0,、是ZAZ 的角平分线,相交于点，请你判断并写出与之间的数量的关系。②、如图3在^中，Z 不是直角，而()中的其他条件不变，请问，()中的结论是否任然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。(2)•如图，在平面直角坐标系中，B(-1,0)，C(1,0)D为y轴上的一点，点A为第二象限内一动点，且ZBAC=2ZBDO,过点D作DM丄AC于M,、求证：ZABD=ZACD；、若点E在BA的延长线上，求证：AD平分ZCAE；

二、等腰直角三角形模型1•在斜边上任取一点的旋转全等:操作过程:（1） •将△ABD逆时针旋转900，使△ACM竺AABD,从而推出厶ADM为等腰直角三角形.（但是写辅助线时不能这样写）（2） •过点C作MC丄BC,连am导出上述结论.2•定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：(2)•使ZEDF+ZBAC=1800，导出△BDF^^ADE.

(1)、例题应用:在等膜直角△且EC中，^BAC=9^,点3•岛在斜边眈上滑动，且口142好是探究阴人磁V、GV±间的数量关系.①APC±BC解析:方法一:过点APC±BC解析:方法一:过点C作过点段作2V迟"G使川迟=匚馆连方法二：2•两个全等的含3。说(Ffi的三角板.4Z＞爵U三角板』EG如图所示放置,丑、£、G点在一条直线上，连接召D,取WD的中点甘，连接倔，是判断△EVC的形状，并证明你的结论.②证明：方法一：连接AM,证明△MDE^^MAC.特别注意证明/MDE=/MAC.方法二：过点M作MN丄EC交EC于点N,得出MN为直角梯形的中位线，从而导出5MEC为等腰直角三角形.①已知：如图所示， △中， =ZCAC€90。，o为BC中点，若M、N分别在线段AC.AB上移动，且在移动中保持AN=CM.、是判断AOMN的形状，并证明你的结论.、当M、N分别在线段AC.AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化？思路：两种方法:

②在正方形中,,求②在正方形中,,求ZBAE=ZDCF为多少度.提示如右图:3•构造等腰直角三角形（1） 、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角（略）；（2） 、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.如下图：例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，A'0）'B2,O'C€°,3）,求ZOCA+ZOCB的度数.例题应用：如图，在等腰直角△SAGAC=BC, P^AABC^］部一点，满足PE二PC,且FUC求证=^BCP=15C.从而造出又根据

从而造出又根据Z€A\!=9Oz，可得Z€A\!=9Oz，可得^CAP=y.\:，再由于AP=AC，故而得到^4CjF=_5：从而得证.例题拓展：若△ABC不是等腰直角三角形，即其他条件不变，求证：Z2=2Z1.练习巩固：在平面直角坐标系中，A(0,3),点B的纵坐标为2,点C的纵坐标为0,当A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标.(1)、当点B为直角顶点：二、二垂直模型(弦图模型)①由厶由厶ABE^ABCD导出EC=AB-CD由厶ABE^ABCD导出ED=AE-CD1•例题应用：由厶ABE竺ABCD导出BC=BE+ED=AB+CDZCAC€90€ZCAC€90€,D为AC中点，AF丄BD于E,交BC于F,连接DF.求证：ZADB=ZCDF.思路：方法一：过点C作MC丄AC交AF的延长线于点M.先证△ABD^^CAM,再证5CDF^△CMF即可.方法二：过点A作AM丄BC分别交BD、BC于H、M.先证△ABH^^CAF,再证△CDF^△ADH即可.方法三：过点A作AM丄BC分别交BD、BC于H、M.先证Rt^AMF^RtABMH，得出HFAC.由M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为AABC的中位线从而推出MD^AB，又由于ZBAC€90。,故而MD丄AC,MD丄HF,所以MD为线段HF的中垂线.所以Z1=Z2•再由ZADB+Z1=ZCDF+Z2，贝VZADB=ZCDF・

例1例1拓展（1）：已知：如图所示，在△ABC中,BC于F,连接NF.求证：①^ADB=^CDF.②BM=AF+FN，AM,AF丄BM于E,交思路：同上题的方法一和方法二一样.拓展（2）：其他条件不变，只是将BM和FN分别延长交于点P,求证：①PM=PN,②PB=PF+AF.思路：同上题的方法一和方法二一样.例2.如图2-1,已知AD〃BC,AABE和ACDF是等腰直角三角形，ZEAB=ZCDF=9°。,AD=2,BC=5,求四边形AEDF的面积.图2-1解析：如图2-2,过点E、B分别作EN丄DA,BM丄DA交DA延长线于点N、M.过点F、C分别作FP丄AD,CQ丄AD交AD及AD延长线于点P、Q.S ，S +S ，1€AD€EN+-€AD•FP，-•AD・（EN+FP）四边形EAFD AAEDAADF2 2 2

•・•△ABE和HCDF是等腰直角三角形，・•・ZEAB=ZCDF=90。,ae=ab,df=CD.^ENLDA,BMLDA,FPLAD,CQLAD,:.ZNMB=ZENA=ZFPD=ZDQC=90。.AZAZENA=ZMBA,ZFDP=ZQCD.:△ENA^^ABM,△FPD^^DQC.•:Ne=AM,PF=DQ. :-Ne+PF=DQ+AM=MQ-AD・'：ADIIBC,CQIIBM,ZBMN=90。,・：四边形BMQC是矩形.:BC=MQS =—x2x3€3.:AD=2,BC=5:・Ne+PF=5-2=3 ・：四边形EAFD2图2-22•练习巩固:(1)、如图(1)-1,直角梯形ABCD中,ADIIBC,ZADC=90。,1是ad的垂直平分线,交AD于点M,以腰AB为边做正方形ABFE,EP丄1于点P.求证：2EP+AD=2CD.⑴-1⑴-2⑴-1(2)、如图，在直角梯形ABCD中，ZABC=90。,AD^BC, =是的中点,CE1BD.求证：BE=AD；求证：AC是线段ED的垂直平分线；ABCD是等腰三角形吗？请说明理由.四、手拉手模型[.△ABE和AACF均为等边三角形结论：(1).△ABF^^AEC・ZBOE=BAE=600“八字模型证明”OA平分ZEOF条件：△ABC和ACDE均为等边三角形结论：(1)、AD=BE(2)