保险精算第3章1生命函数课件

第三章生命表基础

背景通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿险保单。按寿险保单的约定，保险人（即寿险公司）将根据被保险人在约定时间内的生存或死亡决定是否给付保险金。这种只有在特定事件发生时才给付的保险金称作条件支付。其最重要特征就是它发生的不确定性。一个人的未来生存时间是不确定的，只有在特殊情况下才是预先可知的。对这个不确定性事件的研究是寿险精算中最重要的工作之一。

背景通常，我们把寿险公司出售的合同称为寿险保单。生存状况从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。这个过程有如下的特征：

1.存在两种状态：生存和死亡。2.生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能相反。3.任何个体的未来生存时间都是未知的.我们应从生存或死亡概率的探讨而着手生存状况的研究。生存状况从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。

生存模型就是用数学公式进行清晰的描述，从而对死亡率的问题作出一些解释。下面就是生存模型可回答的例子：一个45岁的人在下一年中死亡的概率是多少?假若有1000个45岁的人，那么他们中有多少人可能在下一年内死亡?如果某一45岁的男性公民，投保了一个10年的定期的某种人寿保险，那么应该向他收多少保费?一些特定因素(如一天吸50根烟)对于45岁的男性公民的未来生存时间的影响是怎样的?生存模型生存模型就是用数学公式进行清晰的描述，从而对死亡率的问题作生命函数生命表生命表基础生命函数生命表生命表3.1.1分布函数用随机变量表示初生婴儿的未来寿命。分布函数意义：新生儿在岁之前死亡的概率。密度函数新生儿的平均寿命例：表示新生儿50岁仍然生存的概率或50岁以后死亡的概率。3.1.1分布函数用随机变量表示初生婴儿的未来寿命3.1.2生存函数生存函数

意义：新生儿能活过岁的概率。与分布函数的关系：与密度函数的关系：例3.1.2生存函数生存函数前面我们讲分布函数和生存函数都是从年龄开始考虑的，但实际购买保险的被保险人往往已经活到某个年龄岁的人，这时我们关心的是岁的人剩余寿命的分布。表示一个岁的人或已经活到岁的人.表示未来寿命的随机变量,即剩余寿命,简称余命.关于T的分布,就是时,X的条件分布.（X:出生婴儿的未来寿命.）前面我们讲分布函数和生存函数都是从年龄练习：设求：1）2）新生儿在30岁前死亡的概率；3）新生儿活过50岁的概率；4）新生儿在30岁和50岁之间死亡的概率。练习：设求：1）2）新生儿在30岁前死亡的概率；解：1）2）3）4）解：1）2）3）4）3.1.3剩余寿命剩余寿命的分布函数，记作概率密度函数为表示岁的人在岁之前死亡的概率.关于t求导3.1.3剩余寿命剩余寿命的分布函数，记作概剩余寿命的生存函数,记作：表示岁的人在岁时仍活着的概率.剩余寿命的生存函数,记作：基本符号

：x岁的人至少能活到x+1岁的概率：x岁的人将在1年内去世的概率：x岁的人活过t年后的u年内死亡的概率.即x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率基本符号：

基本符号

基本符号3.1.4取整余命定义：未来存活的完整年数，简记例:对某个50岁的人开始观察,在55岁零6个月时死亡,则其余命T(50)=5.5,K(50)=5概率函数3.1.4取整余命定义：未来存活的完整年数，简记练习：用精算符号表示下列概率1）Pr[(50)在51岁之前死亡]2）Pr[(22)活至23岁]3）Pr[(22)活至24岁]4）Pr[(35)在55岁之前死亡或在70岁以后死亡]5）Pr[(20)活至80岁]6）Pr[(50)在55岁和70岁之间死亡]7）Pr[(50)在52岁之前死亡]练习：用精算符号表示下列概率1）Pr[(50)在51岁之前答案：用精算符号表示下列概率1）Pr[(50)在51岁之前死亡]2）Pr[(22)活至23岁]3）Pr[(22)活至24岁]4）Pr[(35)在55岁之前死亡或在70岁以后死亡]5）Pr[(20)活至80岁]6）Pr[(50)在55岁和70岁之间死亡]7）Pr[(50)在52岁之前死亡]答案：用精算符号表示下列概率1）Pr[(50)在51岁之前练习：已知解：1）2）3）求：练习：已知解：1）2）3）求：3.1.5死亡效力定义：的瞬时死亡率，简记用生存函数的相对变化率来表示.用死力表示生存函数联想利息力3.1.5死亡效力定义：的瞬时死亡率，简记联想用死力表示其他函数用死力表示余命的密度函数用死力表示其他函数3.1.6生存函数的解析表达式有关寿命分布的参数模型

DeMoivre模型(1729)提出随机变量X服从均匀分布(DeMoivre假设)假设人的极限年龄为100岁,3.1.6生存函数的解析表达式有关寿命分布的参数模型

DeMoivre模型显然,假设和实际有很多不符的情况.

DeMoivre模型显然,假设和实际有很多不符的情况.有关寿命分布的参数模型DeMoivre模型(1729)Gompertz模型(1825)有关寿命分布的参数模型DeMoivre模型(1729)有关寿命分布的参数模型

Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)有关寿命分布的参数模型Makeham模型(1860)参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果未令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差.还好，精算师可以依赖另一种描述寿命分布的工具,即生命表.参数模型的问题至今为止找不到非常合适的寿命分用随机变量表示初生婴儿的未来寿命。分布函数生存函数剩余寿命分布函数,记作生存函数,记作取整余命总结：用随机变量表示初生