数学-突破导数压轴中的八大绝技之3.主元十例

3.主元十例高中阶段很多函数问题都是含参数的，对于含参数的函数，可以将其简记为，若将参数也视为自变量的话，那么就是一个二元函数，那么我们就可以用偏导数的思想来研究该函数，这就产生了一个重要的方法：主元法.近年来，在高考试题中，主元法思想考察的相当频繁，例如2019年浙江卷导数压轴题和2020年天津卷导数压轴题等，在这些问题中，使用主元法往往会起到意想不到的好处，从而使得整个问题得到圆满的解决.基于此，本文就通过几个典例来展示主元法的基本应用手法.类型1.主元法解决单变量恒成立例2.（2019年浙江卷）.已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有求的取值范围.解析：(1)当时，，函数的定义域为，且：，因此函数的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)由，得，当时，，等价于，令，则，设，，则，（i）当时，，则可得：故，满足题意.（ii）当时，，令，则，故在上单调递增，，由（i）得，，由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有，综上所述，所求的的取值范围是．注：欲证不等式，此题以为主元构造二次函数讨论易行，若以为主元此题函数过于复杂，很难通过求导找到单调性与最值.例2.已知函数，.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，求证：.解：（1），其定义域为，，当时，或，①当，即时，时，；，时；时，，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增；②当，即时，时，；所以在单调递增；③当，时，时，；时，；时，，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增；④当，即时，时，；时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）当时，欲证，即证.设，则，因为，且，所以，所以在内单调递增，故，原不等式成立.例3.（2023成都一诊理数）已知函数.（1）当时，若曲线在处的切线方程为，证明：；（2）若，求的取值范围.解析：（1）略（2）（必要性探路与主元变换）令，则，下证，证明恒成立.（公众号：凌晨讲数学）令，则，下面讨论的正负号.令，则易得：，故递减，且满足.同理，令，，故，故，因此，于是在小于零，即递减，则，由（1）可得：，即恒成立，证毕.例4．若对于任意的及任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：因为对于任意的及任意的，不等式恒成立，则对任意的恒成立，所以，则对任意的恒成立，当时，成立；当时，时，不等式左边，，所以不成立；当时，，令，，令，解得：；令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有最大值，所以，所以，综上，.故选：A.例5.已知正实数，设.（1）若，求函数在上的值域；（2），均有恒成立，求实数的取值范围.解析：（2）由题意可得：，即.事实上,当时 记,设,则为关于的二次函数,定义域为,其对称轴为.∵∴，设 当递增;当,递减,所以,即,于是有:.所以：.类型2.主元法解决单变量恒成立有关函数凸凹性（詹森不等式）背景的双变量问题也经常使用主元方法!下面我们通过例子说明.例6.（2020天津）已知函数，为的导函数.（1）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（2）当时，求证：对任意的，且，都有.此处仅就第二问进行如下证明：解析：由于，故，另一方面，因此，要证只需证明即证.令,将上述不等式进行代换，可得以为变量，为参数的函数.进而可得：，由于，由于，故.由（1）可得：证毕.注：此题在传统的双变量问题思路的基础上，进一步需要结合主元思想才能将多参数问题解决.例7．已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若对任意，都有，求实数k的取值范围；（3）当时，对任意的，且，试比较与的大小．解析：（1）当时，，所以，，所以在点处的切线方程为．（2）对都有且，而，则，所以，此时，故，则，在上，即单调递增，且，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，满足题意，综上，．（3）不妨设，令，所以，则，又，，，且，当，，而，，所以，故，在上单调递增，所以，所以单调递增，故，所以，即．例8.已知函数，若，试比较与的大小．解析：不妨设，，，令(a)，则，当时，；当时，，在上单调增，在上单调减，当时，(a)，由，故，则．例9.设函数．（1）求的极值；（2）若，证明：．解析：（1）函数，则，令，解得：，且当时，，时，因此：的极小值为（2）构造函数，，，，，在上是单调递增的；故(b)(a)，即：另一方面，构造函数，，在上是单调递减的，故(b)(a)即：综上，．例10．已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)当时，对任意的买数，证明：.解析：（1）①当时，，此时，在单调递增；②当时，令，可以判断在是单调递减的注意到：,,则必存在使得，即,且当时，，于是，此时在单调递增；当时，，于是，此时在单调递减；（2）当时，对于给定的，令则,因此在是递增的，于是，，即：整套系列资料八讲见：数学-突破导数压轴中的八大绝技之1.参数分离数学-突破导数压轴中的八大绝技之2.同构四大类型数学-突破导数压轴中的八大绝技之3.主元十例数学-突破导数压轴中的八大绝