微分中值定理及应用课件

高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第十九讲微分中值定理脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学1第四章一元函数的导数与微分本章学习要求：理解导数和微分的概念。熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。熟悉一阶微分形式不变性。熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。了解n阶导数的概念，会求常见函数的n阶导数。熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。第四章一元函数的导数与微分本章学习要求：2第五节微分中值定理第四章一元函数的导数与微分一.费马定理二.罗尔中值定理三.拉格朗日中值定理四.柯西中值定理第五节微分中值定理第四章一元函数的导数与微分一.费3费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理微分中值定理费马定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理4函数导数的定义为即函数在点x处的导数等于时,函数的极限值.在点x处的差商导数与差商函数导数的定义为即函数在点x处的导数等于时,函数的极5我们常常需要从函数的导数所给出的局部的或“小范围”性质,推出其整体的或“大范围”性质.为此,我们需要建立函数的差商与函数的导数间的基本关系式,这些关系式称为“微分学中值定理”.这些中值定理的创建要归功于费马、拉格朗日、柯西等数学家.我们常常需要从函数的导数所给出6首先,从直观上来看看“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”是怎么一回事.首先,从直观上来看看“函数的差商与函数的导数间的基本关系式7导数与差商相等！导数与差商相等！8将割线作平行移动,那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线上与割线距离最远的那一点P处成为切线,即在点P处与曲线的切线重合.也就是说,至少存在一点使得该命题就是微分中值定理.将割线作平行移动,那么它至少有一次会达到这样的位置：在曲线9极值的定义极值的定义10一.费马定理可微函数在区间内部取极值的必要条件是函数在该点的导数值为零.定理一.费马定理可微函数在区间内部取极值的必要11费马定理的几何解释如何证明？费马定理的几何解释如何证明？12则有于是（极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？则有于是（极小值类似可证）证如何保证函数在区间内部取极值？13但是……不保证在内部！但是……不保证在内部！14水平的可保证在内部一点取到极值水平的可保证在内部一点取到极值15二.罗尔中值定理设则至少存在一点定理二.罗尔中值定理设则至少存在一点定理16实际上,切线与弦线AB平行.实际上,切线与弦线AB平行.17最小值至少各一次.证最小值至少各一次.证18最小值至少各一次.由费马定理可知：最小值至少各一次.由费马定理可知：19例1证其中,例1证其中,20综上所述,综上所述,21连续可微端点函数值相等例2分析连续可微端点函数值相等例2分析22例2证由罗尔定理,至少存在一点例2证由罗尔定理,至少存在一点23分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键.分析问题的条件,作出辅助函数是证明的关键24且满足罗尔定理其它条件,例3证且满足罗尔定理其它条件,例3证25想想,看能不能找到证明的方法.例4分析想想,看能不能找到证明的方法.例4分析26例4证则由已知条件可知:例4证则由已知条件可知:27该矛盾说明命题为真.如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使用罗尔定理?如果需要,当然可以使用.该矛盾说明命题为真.如果使用一次罗尔定理后,能否再一次使28例5证例5证29例6证例6证30引理1达布中值定理达布中值定理费马定理的一种推广引理1达布中值定理达布中值定理费马定理的一种推广31证明引理1证明引理132证明达布中值定理请自己完成!证明达布中值定理请自己完成!33如何描述这一现象如何描述这一现象34三.拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理三.拉格朗日中值定理设则至少存在一点定理35切线与弦线AB平行如何利用罗尔定理来证明？切线与弦线AB平行如何利用罗尔定理来证明？36则由已知条件可得：故由罗尔定理,至少存在一点证则由已知条件可得：故由罗尔定理,至少存在一点证37定理的证明方法很多,例如,可作辅助函数拉格朗日有限增量公式定理的证明方法很多,例如,可作辅助函数拉格朗日有限增量38某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在t=a到t=b的时间段内,连续运动的物体至少会在某一时刻达到它的平均速度.拉格朗日中值定理告诉我们,在t39还有什么？还有什么？40推论1推论141推论2(C为常数)推论2(C为常数)42推论3用来证明一些重要的不等式推论3用来证明一些重要的不等式43推论4用来判断函数的单调性推论4用来判断函数的单调性44在推论4中,在推论4中,45推论5则再由推论4,即得命题成立.该推论可以用来证明不等式.证推论5则再由推论4,即得命题成立.该推论可以用46解例7解例747故从而例8证故从而例8证48例9证例9证49例10证延拓!例10证延拓!50例11证从而例11证从而51例12解例12解52例13解例13解53又故从而即例14证又故从而即例14证54则又且故即例15证则又且故即例15证55在拉格朗日中值定理中,将曲线用参数方程表示,会出现什么结论？在拉格朗日56使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们的斜率相等.注意:并不具备任意性,它们间的关系由曲线确定.使曲线在该点的切线与弦线平行,即它们的斜率相等.注意:并不57四.柯西中值定理设则至少存在一点四.柯西中值定理设则至少存在一点58有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值定理了.有人想：分子分母分别用拉格朗日中值定理,就可证明柯西中值59故由罗尔中值定理