线性代数课件

1第三讲行列式计算续与矩阵的概念本次课学习：一、行列式计算（续）；二、克莱姆法则解线性方程组三、矩阵的定义与基本运算下次课学习：一、第二章第二节：矩阵的运算（续）；二、第二章第三节：逆矩阵2第三讲行列式计算续与矩阵的概念复习行列式计算的分类：1.行（列）和相等行列式——方法：提公因子；2.爪形行列式——方法：段一爪为零；3.行（列）递增行列式——方法：逐行（列）相减多减少；4.分块行列式——方法：类似二阶有零块；5.按行（列）展开行列式——方法：行中很少元素不为零；6.递推行列式——方法：递推公式是关键；7.范德蒙行列式——方法：归纳证明；8.利用展开式构造行列式——方法：元素换值构造新行列式。展开式如下：3第二讲行列式的运算例1：计算下列行列式分析：按照第一列展开或一、行列式计算（续）1.递推行列式4第二讲行列式的运算5解按第一行展开，只有a、b不为0，其余均为0例2.计算0000000000006第三讲行列式计算续与矩阵的概念7证用数学归纳法证。当n=2时，显然成立。现假设对于n-1阶范德蒙德行列式成立，注意，是下标大的元素减下标小的元素分析：这是一种从上往下的升幂行列式，一般要自下而上乘幂相减，以得到相应的02.范德蒙行列式第三讲行列式计算续与矩阵的概念8对于从第n行开始，后一行减去前一行的倍，目的是使第1列产生0第三讲行列式计算续与矩阵的概念9证毕第三讲行列式计算续与矩阵的概念10例3（1992.3）计算分析：首先，本行列式是个1、2行和相等行列式，其次，本例很像范德蒙行列式。因此，设法把第一行变成1。把第2行加到第一行，提取公因式，即为范德蒙行列式第三讲行列式计算续与矩阵的概念11第三讲行列式计算续与矩阵的概念3.构造行列式——元素换值构造新行列式（1）余子式求行列式性质3：

行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于零，即或i＝j时和为D证：由行列式按照行列展开定理，12第三讲行列式计算续与矩阵的概念13同理，用第j行元素对应取代第i行元素，则由于行列式两行元素相等，得0值。定理得证第三讲行列式计算续与矩阵的概念由以上推理，我们可以用任意数取代第i行（列）元素，取代后，只改变原行列式第i行值，而其它代数余子式和元素值不变，如，用1，1，…，1取代第i行值，得：14由定理3及其推论还可以写成如下形式：或第三讲行列式计算续与矩阵的概念15例2

设求分析：根据以上推理，该题相当于在D中把第一行元素变成1，1，1，1即可。解第三讲行列式计算续与矩阵的概念16第三讲行列式计算续与矩阵的概念17例3（2001.4）设行列式则第4行各元素余子式之和的值为_____分析：本题求得是余子式，可将其转换为代数余子式求解，即第三讲行列式计算续与矩阵的概念18二、克莱姆法则解线性方程组1.克莱姆法则的系数行列式不等于零，即(8)若线性方程组教材中已注明，本法则证明在第二章给出第三讲行列式计算续与矩阵的概念19第三讲行列式计算续与矩阵的概念则方程组（8）有唯一解：其中对于线性方程组（8）右端的常数项方程组（8）叫做非齐次线性方程组；不全为零时，2.线性方程组的分类20(9)当全为零时，即称（9）式为齐次线性方程组。3.克莱姆法则判定方程组的解对于非齐次线性方程组，即对于方程组（8），有如下结论

定理4：如果线性方程组（8）的系数行列式D不等于零，则该方程组有解，且解唯一定理4·：如果线性方程组（8）无解或有两个及以上不同的解，则它的系数行列式一定为零第三讲行列式计算续与矩阵的概念21一定是（9）式的解——零解。定理5

如果齐次线性方程组（9）的系数行列式D≠0，则（9）式有唯一零解（即没有非零解）。定理5’

如果齐次线性方程组（9）有非零解，则它的系数行列式必为零。概括克莱姆法则及其推论1.非齐次线性方程组：系数行列式不为零，有唯一解；若无解或多解，则系数行列式一定为零2.齐次线性方程组：系数行列式不为零，有唯一零解；若有非零解，则系数行列式一定为零。对于齐次线性方程组（9）而言，显然：根据克莱姆法则，可以推出第三讲行列式计算续与矩阵的概念22分析;系数行列式是范德蒙行列式，例8（2003.2）第三讲行列式计算续与矩阵的概念23例9:

问λ取何值时，齐次线性方程组有非零解？解（10）由定理5’知，要使（10）有非零解，必须其系数行列式D＝0。得、或。第三讲行列式计算续与矩阵的概念24三、矩阵的概念与运算1.矩阵定义

由m×n个数排成的称为m

行n列矩阵，简称m×n矩阵.记作称为矩阵A

的元素，简称元，数位于矩阵

A

的第i行第j列，称为矩阵A的（i,j)元.以数为（i,j)元的矩阵可简记作或.m×n矩阵A也记作.m行n列数表:第三讲行列式计算续与矩阵的概念251）行数与列数都等于n

的矩阵

A称为n

阶矩阵或n

阶方阵.矩阵A

也记作.n

阶2）行矩阵——行向量3）列矩阵——列向量4）同型矩阵行、列数分别都相等的两个矩阵.且那么就称矩阵A与矩阵B

相等.如果与是同型矩阵，2.几个特殊矩阵第三讲行列式计算续与矩阵的概念266）单位矩阵简记作E.单位矩阵E

的（i,j)元为：7）对角矩阵也记作5）零矩阵元素都是零的矩阵，记作O.注：不同型的零矩阵是不相等的第三讲行列式计算续与矩阵的概念273.矩阵的基本运算（1）矩阵的加法定义2矩阵A

与

B的和记作A+B，规定为只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.矩阵加法满足下列运算规律（设A、B、C都是m×n矩阵):注:(i)A+B=B+A(ii)(A+B)+C=A+(B+C)设有两个m×n矩阵与，第三讲行列式计算续与矩阵的概念28记显然有

A+(－A)=O由此规定矩阵的减法为A－B=A+(－B)（2）数与矩阵相乘定义3规定为设矩阵，数与矩阵A的乘积记作或,

-A称为矩阵A的负矩阵，数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B是m×n矩阵,λ、μ为常数)(i)(ii)(iii)第三讲行列式计算续与矩阵的概念29（3）矩阵与矩阵相乘设有两个线性变换:求出从到的线性变换.1）乘法的历史第三讲行列式计算续与矩阵的概念302×22×33×22）乘法的定义与运算规律定义4其中并把此乘积记作：设是一个m×s

矩阵,是一个s×n

矩阵,那么规定矩阵A与矩阵B

的乘积是一个m×n矩阵

矩阵形式如下：第三讲行列式计算续与矩阵的概念31第三讲行列式计算续与矩阵的概念32如:是一个数.注意：只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个