数学第九章第4节-课件

第四节变量间的相关关系、统计案例精品资料1．两个变量的线性相关

(1)在散点图中，点散布在从到的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

(2)在散点图中，点散布在从到的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致左下角右上角左上角右下角在，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的和最小的方法叫最小二乘法．

(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)、(x2，y2)，„，(xn，yn)．其回归方程为y∧＝b∧x＋a∧，则一条直线附近距离的平方(2)残差平方和为∑i1(yi－y∧i)2.

(1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1，2，„，n，其估计值为e∧i＝yi－y∧i＝yi－b∧xi－a∧，i＝1，2，„，n.e∧i称为相应于点(xi，yi)的残差．n＝3．残差分析

(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表

1．线性回归方程y∧＝bx＋a是否一定过样本点的中心(x，y)，为什么？【提示】一定过点(x，y)，∵a∧＝y－b∧x，∴y＝b∧x＋a∧，即点(x，y)一定在回归直线y∧＝b∧x＋a∧上．

2．残差分析中的相关指数R2对模型拟合效果的影响是怎样的？【提示】R2越大，意味着残差平方和越小，即模型的拟合效果越好．R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归的效果越好．

1．(教材改编题)有一个同学家开了一个小卖部，卖出的热饮杯数与气温变化的回归方程为y∧＝－2.352x＋147.767，则当气温为1℃时，

)B．148大约可卖出热饮的杯数为( A．149 C．147D．146【解析】x＝1时，y∧＝－2.352＋147.767＝145.415，故大约卖出146杯．【答案】D2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()A．y∧＝－10x＋200C．y∧＝－10x－200B．y∧＝10x＋200D．y∧＝10x－200

【解析】由题意回归方程斜率应为负，故排除B，D，又销售量应为正值，故C不正确，故选A.【答案】A

3．(2011·辽宁高考)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y∧＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】由题意知[0.254(x＋1)＋0.321]－(0.254x＋0.321)＝0.254【答案】0.254

4．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算K2的观测值k＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(填有关或无关)．【解析】∵k＝27.63＞6.635，

∴有99%的把握认为“打鼾与患心脏病有关”．【答案】有关

(2)①从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系．②不会，水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长．

1．利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

2．在散点图中，若点散布在从左下角到右上角的区域，称为正相关；若散布在从左上角到右下角的区域称为负相关．学生学科ABCDE数学8075706560物理7066686462由散点图判断它们是否有相关关系，是正相关还是负相关？5个学生的数学和物理成绩如下表：

【解】以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示．由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．【思路点拨】(1)为了方便计算，可将数据适当处理，再列对应表格，求回归系数；(2)根据回归方程进行预测分析．【尝试解答】(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：数学888311 79210 810 011 2物理949110 89610 410 110 6状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x、物理成绩y进行分析．下面是该生7次考试的成绩.(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成绩y与数学成绩x是为了分析某个高三学生的学习线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．乙校高二年级数学成绩：(1)计算x，y的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到1分)．

(2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分的为非优秀，根据以上统计数据写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异？”【思路点拨】(1)先求甲、乙两校各抽取的人数，再计算x、y的值，最后根据频数和组中值估计两个学校数学成绩的平均分．

(2)列出2×2列联表，计算K2后确定答案．

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：

从近两年高考看，以考查独立性检验，回归分析为主，多为选择题、填空题，也可能以解答题形式考查，主要以实际问题为背景，考查阅读理解、分析问题、解决问题的能力，在解决一些简单实际问题的过程中考查基本的统计思想．思想方法之十五用回归分析的思想方法进行预测时间

x12345命中 率y0. 40. 50. 60. 60. 4(2011·广东高考)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．

【答案】0.50.53

易错提示：(1)在求回归直线方程时，易因为数据较多，公式结构复杂，计算b∧及a∧的值时容易出错．

(2)把回归直线中的b∧和a∧弄颠倒，把回归直线写为y＝a∧x＋b∧，导致结果出错．

防范措施：(1)把计算b∧及a∧的公式结构把握好，代入数据，谨慎运算；

(2)注意回归直线方程y∧＝b∧x＋a∧和通常的一次函数y＝kx＋b在系数上的表达习惯不一样，不要把两系数弄颠倒．【答案】B男女总计爱好402060不爱 好203050总计6050110

2．(2011·湖南高考)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

2P(K≥k)0.0 500.0 100.0 01k3.8 416.6 35

10.828参照附表，得到的正确结论是()

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有