71lei1多元函数的基本概念课件

第七章多元函数微分法及其应用推广一元函数微分学多元函数微分学注意:善于类比,区别异同7/27/20231主要内容第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的微分法第五节隐函数的微分法第六节多元微分学在几何上的应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其求法7/27/20232第一节多元函数的基本概念第七章(Conceptionoffunctionsofseveralvariables)四、多元函数的连续性一、平面点集n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限五、小结与思考练习7/27/202331.平面点集

坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作

E={(x,y)|(x,y)具有性质P}.

例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是一、平面点集n维空间7/27/20234邻域7/27/20235点集称为点P0的邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点P0的去心邻域记为7/27/20236在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为.因为方邻域与圆邻域可以互相包含.7/27/20237(1)内点、外点、边界点、聚点设有点集

E

及一点

P

:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,若对点P的任一邻域U(P)既含有

E的点也含则称P为E的内点；则称P为E的外点

;则称P为E

的边界点

.有不是E的点,显然,E的内点必属于E,

E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.2.区域7/27/20238若对任意给定的,点P

的去心邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.内点一定是聚点；边界点可能是聚点；说明：例(0,0)既是边界点也是聚点．

点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．7/27/20239开集:如果点集E的点都是内点，则称E为开集.内点开集闭集：如果点集E的余集为开集，则称E为闭集.开集既非开集，也非闭集.(2)开集、闭集7/27/202310连通集：如果点集E内的任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集.例如：闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.区域(或开区域)：连通的开集称为区域或开区域.例如：（4）区域7/27/202311开区域闭区域例如，在平面上7/27/202312

整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o

对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界区域,

无界域.否则称为有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得，其中O是坐标原点，则称E为有界集.无界集：不是有界集的集合称为无界集.

7/27/202313n元有序数组的全体称为n维空间,n维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标

.记作即一个点,当所有坐标称该元素为中的零元,记作O.3.n维空间7/27/202314设x=(x1,x2,…,xn)，y=(y1,y2,…,yn)为Rn中任意两个元素，规定这样定义了线性运算的集合Rn称为n维空间.7/27/202315的距离记作规定为n维空间中邻域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．7/27/202316二、多元函数的概念引例:

圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式7/27/202317点集D

称为函数的定义域

;数集称为函数的值域

.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数

,记作定义1设非空点集7/27/202318例1.求的定义域．解所求定义域为7/27/202319二元函数的几何意义：设二元函数z=f(x,y)的定义域为xoy面上的某一区域D，对于D上的每一点P(x,y)，在空间可以作出一点M(x,y,f(x,y))与它对应；当点P(x,y)在D中变动时，点M(x,y,f(x,y))就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.7/27/202320定义域为圆域说明:二元函数

z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球例如,二元函数7/27/202321三、多元函数的极限定义2

设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记二元函数的极限可写作：P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数

,总存在正数,切7/27/202322(1)不研究P0(x0

,y0)处的状态，仅研究点 的过程中，函数f(x,y)的变化趋势.所以，函数z=f(x,y)在点P0(x0

,y0)的极限与函数在点P0(x0

,y0)有无定义无关.(2)极限值A应是一个确定的常数，它与P(x,y)趋近P0(x0,y0)的方式无关.也就是说：P(x,y)以任何方式趋于P0(x0,y0)时，函数都无限接近于A.注意：（3）若当点趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限以不同方式趋于不存在.函数7/27/202323求证：证:故总有要证（课本例5）例2设7/27/202324例3考察函数这也是一种特殊方式(2)当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时,解：(1)当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时,这是一种特殊的趋近方式当时的极限.7/27/202325(3)当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时7/27/202326例4求:7/27/202327例5求极限解其中7/27/202328四、多元函数的连续性定义3

设二元函数f(P)=f(x,y)的定义域为D，为D的聚点，且.如果则称函数f(x,y)在点P0(x0

,y0)处连续.如果函数z=f(x,y)在定义域D上每一点都连续，则称函数z=f(x,y)在定义域D上连续，或者称f(x,y)是D上的连续函数.以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到n元函数f(P)上.7/27/202329

二元函数在点P0(x0

,y0)处的连续，要求有以下三个条件成立，即：(1)函数z=f(x,y)在点P0(x0

,y0)有定义，且点P0(x0

,y0)是函数z=f(x,y)定义域的聚点.(2)函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)有极限.(3)函数z=f(x,y)在点P0(x0

,y0)处的极限值等于该点函数值，即：7/27/202330定义4设函数f(x,y)的定义域为D，是D的聚点.如果函数f(x,y)在点不连续，则称为函数f(x,y)的间断点.

例如函数其中定义域，O(0,0)是D的聚点.f(x,y)当时的极限不存在，所以点O(0,0)是该函数的一个间断点；7/27/202331圆周上的点都是D的聚点，而f(x,y)在C上没有定义，当然f(x,y)在C上各点都不连续，所以圆周C上各点都是该函数的间断点.其定义域为又如函数7/27/202332

一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用，根据多元函数的极限运算法则，可以证明多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.7/27/202333

多元初等函数：由常数及具有不同变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．7/27/202334解:

原式例6（课本例9）求7/27/202335在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则7/27/202336内容小结1.区域

邻域:

区域连通的开集

2.多元函数概念n元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数7/27/202337有4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续3.多元函数的极限7/27/202338作业习题7-1P69-70