新教材高中数学第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.4数乘向量学案（含解析）

6.1.4数乘向量学习目标1.通过实例,了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算.自主预习1.一只兔每次位移向量为a,3次位移多少?n(n∈N*)次位移多少?2.在物理中,位移与速度的关系是什么?力与加速度的关系是什么?这几个问题中,位移、速度、加速度、力都是,而次数、时间、质量都是.

仔细阅读教材P145,疑难问题认真思考,将不能解决的问题标注出来,等待课堂解决.问题1按照向量的加法法则,若a为非零向量,则a+a的长度与|a|的关系怎样?问题2我们知道,实数x满足x+x+x=3x,那么a+a+a能否写成3a呢?问题33a与a的方向有什么关系?-3a与a的方向呢?课堂探究问题探究一:1.数乘向量概念的形成2.数乘向量的概念定义:一般地,给定一个实数λ与任意一个向量a,实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘运算.规定它们的乘积是一个向量,记作λa.问题数乘向量的结果是数值还是向量?λa这个向量与a的长度、方向有何关系?问题λa的几何意义是什么?3.向量数乘的运算律问题类比实数的运算律,向量数乘有怎样的运算律?问题探究二:4.向量共线定理问题如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情况?问题根据向量的数乘运算,λa与a(λ≠0,a≠0)的方向有何关系?问题向量a与λa(λ为常数)共线吗?结论:向量共线定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.典型例题例1已知a=3e,b=-2e,其中e为非零向量,判断a与b是否平行,并求|a|∶|b|的值.变式训练已知AB=-e,AC=5e,判断A,B,C三点是否共线,如果共线,求出AB∶AC.例2(1)化简23(2)已知向量为a,b,未知向量为x,y,向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,求向量x,y.变式训练化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a);(2)16[2(2a+8b)-4(4a-2b)]课堂练习1.设e1,e2是两个不共线的向量,若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线,则()A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k=12.(多选题)下列各式计算正确的有()A.(-7)6a=-42aB.7(a+b)-8b=7a+15bC.a-2b+a+2b=2aD.4(2a+b)=8a+4b核心素养专练1.已知向量a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.B,C,D B.A,B,CC.A,B,D D.A,C,D2.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且PA+PB+PC=AB,则()A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边上或其延长线上D.P在AC边上3.已知△ABC和点M满足MA+MB+MC=0.若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m的值为()4.在△ABC中,点D在直线CB的延长线上,且CD=4BD=rAB+sAC,则r-s等于() B.45C.8参考答案自主预习略课堂探究问题探究略例1解:由b=-2e,得e=-12b,代入a=3e,得a=-3|a|=32|b|,即|a|∶|b|=3∶2变式训练解:由已知可得AC=5e=-5AB,因此A,B,C三点共线且AC=5AB,即AB∶AC=1∶5.例2解:(1)原式=234=2352a-(2)3x-2y=a①,-4代入①,得3×(3a+2b)-2y=a,所以x=3a+2b,y=4a+3b.变式训练解:(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.(2)原式=16(4a+16b-16a+8b)=16(-12a+24b)=-2a+课堂练习1.D2.ACD核心素养专练1.C∵BD=BC+CD=2a+4b=2AB,∴A,B,D三点共线.2.DPA+PB+PC=PB-PA,∴PC=-2PA,∴P在AC边上.3.B∵MA+MB+MC=0,∴点M是△ABC的重心.∴AB+AC=3AM,∴m