2020高中物理奥林匹克竞赛刚体的转动课件

刚体的定轴转动第5章5.1刚体运动的描述5.2转动定律5.3转动惯量的计算5.4转动定律的应用5.5角动量守恒5.6转动中的功和能刚体的定轴转动第5章5.1刚体运动的描述1质点（particle）——考虑质量，没有考虑形状和大小刚体（rigidbody）——在外力作用下，物体的形状和大小不发生变化说明:1)理想化的力学模型2)任何两点之间的距离保持不变3)刚体——特殊的质点系质点（particle）——考虑质量，没有考虑形状和大小说明218世纪欧拉把牛顿第二定律推广到刚体，他应用三个欧拉角来表示刚体绕定点的角位移，又定义转动惯量，并导得了刚体定点转动的运动微分方程。这样就完整地建立了描述具有六个自由度的刚体普遍运动方程。对于刚体来说，内力所做的功之和为零。因此，刚体动力学就成为研究一般固体运动的近似理论。

欧拉（LonHardEuler）

瑞士数学家及自然科学家。

欧拉函数φ(n)另成数论的一分支。

１７０７至１７８３年。刚体的概念是由欧拉引入的。18世纪欧拉把牛顿第二定律推广到刚体，他应用三个欧拉角来表示35.1刚体转动的描述（Fixed-axisRotationofRigidBody）平动(Translation)刚体运动的分类

转动(Rotation)

定轴转动定点转动复杂运动平面平行运动＝平动+定轴转动一般运动＝平动+定点转动一、刚体运动5.1刚体转动的描述平动(Translation)刚体运41、平动(Translation)刚体中所有点的运动轨迹完全相同——平动特点——（1）任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线（2）平动时质元的位置矢量不同，但位移完全相同（3）在任意时刻各个质点的速度和加速度都相同（4）刚体内任何一个质点的运动都可以代表整个刚体的运动1、平动(Translation)刚体中所有点的运动轨迹完全5

2、转动(Rotation)刚体中所有的点都绕同一直线(转轴)做圆周运动.2、转动(Rotation)6瞬时转轴：转轴随时间变化——一般转动固定转轴：转轴不随时间变化——刚体定轴转动定轴转动的特点：各质点都在垂直于轴的平面内作圆周运动－－转动平面，各质点的轨迹是半径大小不一的圆周，圆心在轴线上各质点有相同的角位移、角速度和角加速度，但其线量大小与其作圆周运动的半径有关在同一时间内各质点转过的圆弧长度不同，但矢径在相同的时间内转过的角度相同OvP×ω,αrr定轴刚体参考方向θz瞬时转轴：定轴转动的特点：OvP×ω,αrr定轴刚7

刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+3、刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+3、刚体的一般运81、角位置（角坐标）angularposition

θOvP×ω,αrr定轴刚体参考方向θz<0q0>q约定沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动2、角位移（angulardisplacement）二、刚体转动的角量描述1、角位置（角坐标）OvP×ω,αrr定轴刚体参考方向9

刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示.3、角速度（angularvelocity）

方向:右手螺旋方向4、角加速度（angularacceleration）刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表示10

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动

当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比三匀变速转动公式刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动当11四角量与线量的关系四角量与线量的关系12例1

一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度由15rad/s匀减速地降到10rad/s

。求：(1)角加速度；(2)在此5s内转过的圈数；(3)还需要多少时间轮子停止转动。解根据题意，角加速度为恒量。(1)利用公式(2)利用公式5秒内转过的圈数(3)再利用例1一转动的轮子由于摩擦力矩的作用，在5s内角速度由15r13飞轮30s

内转过的角度

例2

一飞轮半径为0.2m、转速为

，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

时，设.飞轮做匀减速运动时，

t=0s

飞轮30s内转过的角度例2一飞轮14（2）时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数2222nsm6.31sm)π4(2.0--=×.==wra.（2）时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小该15

例3

在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时，它的角速度，经300s后，其转速达到18000r·min-1.已知转子的角加速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？解由题意，令，即，积分得当t=300s

时所以例3在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形16转子的角速度由角速度的定义得有在300s内转子转过的转数转子的角速度由角速度的定义得有在300s内转子转过的转175－2.3转动定律转动惯量的计算1、引入外力对刚体转动的影响—与力的大小、方向和作用点的位置有关力通过转轴：转动状态不改变力离转轴远：容易改变力离转轴近：不易改变2、力对点的力矩一、力矩5－2.3转动定律转动惯量的计算1、引入外力对刚体转183、力对转轴的力矩由力对轴上任一点的力矩：对刚体转动起作用的只有力对点的力矩在z轴方向的分量外力对转轴的力矩3、力对转轴的力矩由力对轴上任一点的力矩：对刚体转动起作用的19外力对转轴的力矩方向：沿与转轴平行的方向大小当刚体受多个力作用时，这些力对同一定轴的力矩为注意，此时用正负号来表示力矩的方向：与z轴正方向相同时力矩取正，反之取负外力对转轴的力矩方向：沿与转轴平行的方向大小当刚体受多个力作20刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O21设刚体可看作n个质点组成，某处一质元质量为在切向:对整个刚体所有的质点：所有外力对转轴力矩所有内力对转轴力矩只与刚体本身有关二转动定律设刚体可看作n个质点组成，某处一质元质量为在切向:对整个刚体22等于零合外力矩转动惯量刚体的定轴转动定律

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.说明：1)力矩和转动惯量是对同一转轴的2)转动定律的地位与牛顿第二定律相当等于零合外力矩转动惯量刚体的定轴转动定律刚体23

物理意义：转动惯性的量度.

质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法

质量连续分布刚体的转动惯量：质量元

转动惯量的大小取决于刚体的体密度（质量）、几何形状（质量分布）及转轴的位置.注意三转动惯量物理意义：转动惯性的量度.质量离散分布刚体的转动24

对质量线分布的刚体：：质量线密度

对质量面分布的刚体：：质量面密度

对质量体分布的刚体：：质量体密度：质量元

质量连续分布刚体的转动惯量对质量线分布的刚体：：质量线密度对质量面分布的刚体：：质25O´O

解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´

为处的质量元

例4一质量为、长为

的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.O´O如转轴过端点垂直于棒O´O解设棒的线密度为，取一距26ORO

例5一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动惯量.

解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环对轴的转动惯量ORO例5一质量为、27P

质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO圆盘对P轴的转动惯量O四平行轴定理P质量为的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为28问：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）问：右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？29题目类型：已知两个物理量，求另一个：1.已知J和M，求2.已知J和，求M3.已知M和，求J解题步骤1.确定研究对象2.受力分析3.选择参考系与坐标系4.列运动方程5.解方程6.必要时进行讨论注意以下几点：1.力矩与转动惯量必须针对同一转轴而言；2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角速度的正负；3.系统中有转动和平动转动物体——转动定律；平动物体——牛顿定律5-4、转动定律的应用题目类型：解题步骤注意以下几点：5-4、转动定律的应用30例7

一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度(定滑轮的转动惯量）。解：(1)研究对象：滑轮和物体m;TTmgoMmx(2)受力分析如图：滑轮：T、Mg、和轴的支持力，只有T产生力矩（why?)，顺时针转动；物体：mg和T，向下运动例7一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上31对物体m：①②③（3）对滑轮：（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：这时滑轮转动的角速度为滑轮和物体的运动学关系为:对物体m：①②③（3）对滑轮：（4）以上三式联立，可得物体下32

例8一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O

转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.

解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得例8一长为质量为33式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得式中得由角加速度的定义代入初始条件积分得341

刚体定轴转动的角动量2

刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理O5.5角动量守恒1刚体定轴转动的角动量2刚体定轴转动的角动量定理非刚35

角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.

内力矩不改变系统的角动量.

守恒条件若不变，不变；若变，也变，但不变.刚体定轴转动的角动量定理3

刚体定轴转动的角动量守恒定律，则若讨论

在冲击等问题中常量角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改36有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰mmω跳水运动员跳水有许多现象都可以用角动量守恒来说明.花样滑冰mmω跳水运动37例:有一子弹,质量为m,以水平速度v射入杆的下端而不复出,求杆和子弹开始一起运动时的角速度?mv0解:

碰撞时间很短,考虑：杆和子弹组成的系统动量守恒?系统对轴O角动量守恒!M.lO请考虑如果子弹穿出或反弹的情形。·例:有一子弹,质量为m,以水平速度v射入杆的下端而不复出,求38例:大圆盘M,R.人m.二者最初都相对地面静止.当人沿盘边缘行走一周时,求盘对地面转过的角度?解:

以盘+人系统对竖直轴的外力矩=0系统对轴的角动量守恒.与分别表示人和盘对地面发生的角位移o例:大圆盘M,R.人m.二者最初都相对地面静止.当人沿盘边39人在盘上走一周时这是一道角动量守恒+相对运动的题型，请大家注意方法，并与动量守恒+相对运动题型的比较。o人在盘上走一周时这是一道角动量守恒+相对运动的题型，请大家注40

例质量很小长度为l

的均匀细杆,可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位置时,有一只小虫以速率

垂直落在距点O为

l/4

处,并背离点O

向细杆的端点A

爬行.设小虫与细杆的质量均为m.问:欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率向细杆端点爬行?

解小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒例质量很小长度为l的均匀细杆,可绕41由角动量定理即考虑到由角动量定理即考虑到42质点直线运动刚体定轴转动位置矢量角位置位移角位移速度角速度加速度角加速度质量转动惯量力力矩牛顿运动定律转动定律动量角动量冲量冲量矩动量定理角动量定理动量守恒定律角动量守恒定律质点直线运动刚体定轴转动位置矢量角位置位移角位移速度角速度加43质点直线运动刚体定轴转动功力矩的功动能转动动能动能定理转动动能定理

质点直线运动刚体定轴转动功力矩的功动能转动动能动能定理转动动44力矩的功说明：力矩作功的实质是力作功用力矩的角位移来表示一力矩作功5.6转动的功和能力矩的功说明：力矩作功的实质是力作功一力矩作功5.645二、力矩的功率1、定义：单位时间内力矩对刚体所作的功2、公式3、意义表示力矩对刚体作功的快慢功率一定时，转速越大，力矩越小转速越小，力矩越大二、力矩的功率1、定义：2、公式3、意义功率一定时，转速越大46质元——Δmi

距转轴——ri速度为——vi=riω动能为刚体的动能为各个质元动能之和用转动惯量表示刚体绕定轴转动的转动动能等于刚体的转动惯量与角速度的平方的乘积的一半。三、刚体的转动动能质元——Δmi距转轴——ri刚体的动能为各个质元动能47四、刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体的转动动能的增量。合外力矩M角位移为合外力矩所作的元功为四、刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理：合外力48hhihcxOmCm一个质元：整个刚体：一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。机械能守恒对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。

五、刚体的重力势能hhihcxOmCm一个质元：整个刚体：一个不太大的刚体的49质点直线运动刚体定轴转动功力矩的功动能转动动能动能定理转动动能定理质点直线运动刚体定轴转动功力矩的功动能转动动能动能定理转动动50圆锥摆子弹击入杆以子弹和杆为系统机械能不守恒.角动量守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒.圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒.讨论子弹击入沙袋细绳质量不计圆锥摆子弹击入杆以子弹和杆为系统机械能不守恒.角动量守恒；51

例1一长为l,质量为

的竿可绕支点O自由转动.一质量为、速率为的子弹射入竿内距支点为处，使竿的偏转角为30º.问子弹的初速率为多少?

解把子弹和竿看作一个系统.子弹射入竿的过程系统角动量守恒例1一长为l,质量为52

射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统，机械能守恒.射入竿后，以子弹、细杆和53Lo例2

一长为L，质量为m的匀质杆竖直立在地面，下端点由一水平轴O固定.在微扰动作用下以O为轴倒下.求:当杆与竖址方向成

角时，对轴的角速度=

？（三种方法求解）解：先求在任意角时杆对O点的力矩(重力矩)。质量元：dmx质量元对轴的力矩为Lo例2一长为L，质量为m的匀质杆竖直立在地面，下端54M是变力矩，由刚体定轴转动瞬时作用定律：(变角加速度)进而可由积分求出M是变力矩，由刚体定轴转动瞬时作用定律：(变角加速度)进而可55又解：由转动动能定理解。先求在任意角时杆对点O的力矩(重力矩)由转动动能定理.Lcox又解：由转动动能定理解。由转动动能定理.Lcox56刚体的重力势能与它的质量集中在质心时的势能相同.Lcohc又解:用机械能守恒来解。请比较这三种解法，要求掌握这三种方法，显然最后一种用能量守恒是最简单的。L/2L/2hc{刚体的重力势能与它的质量集中在质心时的势能相同.Lcohc又57小结小结58刚体的转动惯量：平行轴定理：外力对转轴的力矩刚体转动的描述：角量：线量：角量与线量的关系：

刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理动量守恒定律，若刚体转动的功和能：转动动能定理刚体的转动惯量：平行轴定理：外力对转轴的力矩刚体转动的描述：59说明：

粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，要把它们看成一个刚体，不要分开考虑。用一根绳连接两个或多个刚体时，要把刚体分开考虑。说明：粘接在一起的两个圆盘（或圆柱）形状的刚体，60（2）