一元二次方程经典测试题(含答案)

一元二次方程经典测试题(含答案)8.1题目：求一元二次方程$x^2+x+k=0$的两个实根，且满足$x_1^2+x_2^2=2k^2$，求$k$的值。9.题目：已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，其中$a>0$，$b<0$，$c<0$，则方程的根的情况是什么？10.题目：已知两个一元二次方程$M:ax^2+bx+c=0$和$N:cx^2+bx+a=0$，其中$a-c\neq0$。下列哪个结论是错误的？11.题目：已知$m$，$n$是关于$x$的一元二次方程$x^2-2tx+t^2-2t+4=0$的两个实数根，则$(m+2)(n+2)$的最小值是多少？12.题目：设关于$x$的方程$ax^2+(a+2)x+9a=0$有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$，且$x_1<1<x_2$，求$a$的取值范围。解答：8.1题目：根据题意，我们可以列出如下方程组：$$\begin{cases}x_1+x_2=-1\\x_1^2+x_2^2=2k^2\end{cases}$$将第一个方程变形为$x_2=-x_1-1$，代入第二个方程得：$$x_1^2+(-x_1-1)^2=2k^2$$化简得$2x_1^2+2x_1-2k^2+1=0$，解得$x_1=\frac{-1\pm\sqrt{8k^2-1}}{4}$。因为$x_1$是实数，所以$8k^2-1\geq0$，即$k\geq\frac{1}{2\sqrt{2}}$。又因为$x_1+x_2=-1$，所以$x_2=\frac{-1\mp\sqrt{8k^2-1}}{4}$。因此：$$x_1^2+x_2^2=\frac{1}{8}\left(2+2\sqrt{8k^2-1}+2+2\sqrt{8k^2-1}\right)=\frac{1}{2}(8k^2-1)$$代入题目中的条件$x_1^2+x_2^2=2k^2$，解得$k=\frac{1}{\sqrt{10}}$。9.题目：由于$a>0$，所以方程的开口向上，因此当$c<0$时，方程有两个实根。10.题目：选项A错误。如果方程$M$有两个不相等的实数根，那么$M$的判别式$\Delta=b^2-4ac>0$，即$b^2>4ac$。将$M$和$N$的系数代入得：$$\begin{cases}b^2>4ac\\b^2>4ac\\ac-bc\neq0\end{cases}$$将第一个不等式和第三个不等式联立可得$a>0$，$c>0$，$b<0$。将第二个不等式和第三个不等式联立可得$a<0$，$c<0$，$b<0$。因此选项A错误。11.题目：根据题意，我们有：$$\begin{cases}m+n=2t\\mn=t^2-2t+4\end{cases}$$将第一个方程变形为$n=2t-m$，代入第二个方程得$m(2t-m)=t^2-2t+4$，即$2m^2-4tm+t^2-4=0$。因为$m$和$n$是实数，所以判别式$\Delta=16t^2-8(t^2-4)\geq0$，即$t\geq\frac{2\sqrt{2}}{3}$。将$t$代入$mn=t^2-2t+4$，得$mn\geq\frac{8}{9}$，因此$(m+2)(n+2)\geq\frac{80}{9}$。当$m=n=\frac{2\sqrt{2}}{3}$时，$(m+2)(n+2)=\frac{80}{9}$，因此$(m+2)(n+2)$的最小值是$\frac{80}{9}$。12.题目：根据题意，我们有：$$\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{a+2}{a}\\x_1x_2=\frac{9a}{a}\\x_1<1<x_2\end{cases}$$因为$x_1<1<x_2$，所以$x_1$和$x_2$都是正数。将第一个方程变形为$x_2=-\frac{a+2}{a}-x_1$，代入第二个方程得$x_1^2+\frac{(a+2)^2}{a^2}+2x_1\frac{a+2}{a}-\frac{9a}{a}=0$，即$ax_1^2+(a+2)x_1+9a=0$。因为$x_1<1<x_2$，所以$x_1<1$，即$\frac{-a-2-\sqrt{(a+2)^2-36a}}{2a}<1$。解得$a>5$。因为$x_1$和$x_2$都是正数，所以判别式$\Delta=(a+2)^2-36a>0$，即$a<\frac{10}{3}$。因此$5<a<\frac{10}{3}$。5.在三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm。动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动。下列时间瞬间中，能使△PBQ的面积为15cm²的是（）A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟6.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x米，可列方程为（）A.x(x+12)=21B.x(x-12)=210C.2x+2(x+12)=210D.2x+2(x-12)=2107.一元二次方程x²+bx-2=0中，若b<0，则这个方程根的情况是（）A.有两个正根B.有一正根一负根且正根的绝对值大C.有两个负根D.有一正根一负根且负根的绝对值大二.填空题(共8小题，每题3分，共24分)13.若x1，x2是关于x的方程x²-2x-5=0的两根，则代数式x1²-3x1-x2+6的值是。14.已知x1，x2是关于x的方程x²+ax-2b=0的两实数根，且x1+x2=-2，x1·x2=1，则b·a的值是。15.已知2|x|-2x+3=9是关于x的一元二次方程，则m=。16.已知x²+6x=-1可以配成(x+p)²=q的形式，则q=。17.已知关于x的一元二次方程(m-1)x²-3x+1=0有两个不相等的实数根，且关于x的不等式组的解集是x<-1，则所有符合条件的整数m的个数是。18.关于x的方程(m-2)x²+2x+1=0有实数根，则偶数m的最大值为。19.如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为米。23.（6分）关于x的一元二次方程（a-6）x²-8x+9=0有实根。（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x²-20。24．(6分)关于x的方程x²-(2k-3)x+k²+1=0有两个不相等的实数根x1、x2。1.求k的取值范围。2.1.(6分)解下列方程。(1)x^2-14x=8(配方法)(2)x-7x-18=0(公式法)(3)(2x+3)^2=4(2x+3)(因式分解法)2.2.(6分)关于x的一元二次方程(m-1)x^2-x-2=0(1)若x=-1是方程的一个根，求m的值及另一个根。(2)当m为何值时方程有两个不同的实数根。2.3.(2)若x1x2+|x1|+|x2|=7,求k的值。2.5.(8分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元。据销售人员调查发现，每月的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间存在如图所示的变化规律。(1)求每月销售量y与销售单价x之间的函数关系式。(2)若某月该茶叶店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x为多少元。2.6.(8分)如图，为美化环境，某小区计划在一块长方形空地上修建一个面积为1500平方米的长方形草坪，并将草坪四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60米，宽为40米。(1)求通道的宽度。(2)晨光园艺公司承揽了该小区草坪的种植工程，计划种植“四季青”和“黑麦草”两种绿草，该公司种植“四季青”的单价是3元/平方米，超过50平方米后，每多出5平方米，所有“四季青”的种植单价可降低1元，但单价不低于20元/平方米，已知小区种植“四季青”的面积超过了50平方米，支付晨光园艺公司种植“四季青”的费用为2000元，求种植“四季青”的面积。2.8.(10分)已知关于x的一元二次方程x^2-(m+6)x+3m+9=0的两个实数根分别为x1,x2。(1)求证：该一元二次方程总有两个实数根。(2)若n=4(x1+x2)-x1x2，判断动点P（m,n）所形成的函数图象是否经过点A(1,16)，并说明理由。2.7.(10分)某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元。请根据以上信息，解答下列问题：(1)求甲、乙两种商品的零售单价。次,则该景点游客人数年平均增长率为多少？解：设游客人数的年平均增长率为x，则2016年的游客人数为：12×(1+x)，2017年的游客人数为：12×(1+x)×(1+x)=12(1+x)2。由题可得方程：12(1+x)2=17×10^4，解得x≈0.077，即游客人数年平均增长率为7.7%。该商店平均每天卖出甲乙两种商品各500件。经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件。商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m>0）元。在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元？解：设甲种商品原单价为p，则甲种商品的销售额为500p，乙种商品的销售额也为500p。当甲种商品的单价下降m元时，甲种商品的销售量增加了100件，因此甲种商品的销售额变为(500+100)(p-m)。则商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为：500p+500p-500m+100(p-m)=1000，化简得p-m=2，即m=p-2。因此，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1000元时，甲种商品的单价下降2元。2秒钟。解：设动点P和Q运动t秒后，能使△PＢQ的面积为15cm²，则BP为(8-t)cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，(8-t)×2t/2=15，解得t=3或t=5（当t=5时，BQ=10，不符合题意，舍去）。答：动点P和Q运动3秒后，能使△PＢＱ的面积为15cm²。6.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地，它的长比宽多12米，设场地的长为x米，可列方程为x(x+12)=210。解：设场地的长为x米，则宽为(x-12)米，根据题意得：x(x-12)=210，故选B。7.一元二次方程x²+bx-2=0中，若b<0，则这个方程根的情况是有一正根一负根且正根的绝对值大。解：x²+bx-2=0，△=b²-4×1×(-2)=b²+8，即方程有两个不相等的实数根，设方程x²+bx-2=0的两个根为c、d，则c+d=-b，cd=-2，由c×d=-2得出方程的两个根一正一负，由c+d=-b和b<0得出方程的两个根中，正数的绝对值大于负数的绝对值，故选B。8.设x₁，x₂是方程x²+x+k=0的两个实根，若恰有x₁²+x₁x₂+x₂²=2k²成立，k的值为-1或1。解：根据根与系数的关系，得x₁+x₂=-1，x₁x₂=k。又x₁²+x₁x₂+x₂²/2=k²，则(x₁+x₂)²-x₁x₂=2k²，即1-k=2k²，解得k=-1或1。当k=-1时，△=1-2<0，方程没有实数根，应舍去。∴取k=-1。故本题选A。9.一元二次方程ax²+bx+c=0中，若a>0，b<0，c<0，则这个方程根的情况是有一正根一负根且负根绝对值大。解：∵a>0，b<0，c<0，∴△=b²-4ac>0，<，-，设方程ax²+bx+c=0的两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-b/a<0，x₁x₂=c/a<0，由x₁+x₂=-b/a和b<0得出方程的两个根中，负数的绝对值大于正数的绝对值，由x₁x₂=c/a<0得出方程的两个根一正一负，故选D。)2+(x2-1)2>0，即x1x2>1，代入得a>3或a<-1/5，即-1/5<a<3，故选D。方法2、由题意可列出不等式组：a(x1+x2)+2x1<9aa(x1+x2)+2x2<9ax1<1x2>1将前两个不等式相加得：a(x1+x2)+2(x1+x2)<18a(a+2)(x1+x2)<18a由于x1+x2=-a/9，所以：(a+2)(-a/9)<18a解得-1/5<a<3，故选D。值情况。【解答】解：根据题目中给出的函数图象，可以判断出该函数的斜率k为正数，且截距b为负数。因此，关于x的一元二次方程x²-2x+kb+1=0的判别式△=4-4(kb+1)应该小于0，即kb<(-3/4)。又因为k和b的符号不同，所以k和b都应该是非零数。综上所述，该方程的根应该是两个虚数根。判别式△＞0。而此不等式组的解集是x<﹣1，因此m≥﹣1，即﹣1≤m＜且m≠１，所以k>0，b＜0，符合条件的整数m为﹣1、2、３，故答案为4。关于x的方程(m﹣2)x＋２ｘ+１=０有实数根，则偶数m的最大值为２。解：由已知得：△＝ｂ2﹣４ac=22﹣４(m﹣２）≥0，即12﹣4ｍ≥0，解得：ｍ≤3，因此偶数m的最大值为２，故答案为2。如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为6米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为1米。解：设人行道的宽度为x米（＜x<3），根据题意得：(18﹣3x)（6﹣2x)=60，整理得，（x﹣1)(ｘ﹣8）＝０。解得：x=1或x=8（不合题意，舍去），因此人行道的宽度为1米。解下列方程：（1）x²﹣14x=8（配方法）；（2）x²﹣7x﹣18=0（公式法）；（3）(2x＋3)²＝4(2x+3)（因式分解法）；（4）2(x﹣3)²=x²﹣9。解：（1）x²﹣14x+49＝57，(x﹣7)²=57，x﹣7=±√57，因此x1=7+√57，x2=7-√57；（2）△＝(﹣7)²﹣4×1×(﹣18)=121，x=（7±11）/2，因此x1=9，x2=﹣2；（3）(2x+3)²﹣4(2x+3)=0，(2x+3)(2x﹣1)=0，因此x1=﹣3/2，x2=1/2；（4）2(x﹣3)²﹣(x+3)(x﹣3)=0，(x﹣3)(2x﹣6﹣x﹣3)=0，因此x1=3，x2=9。关于x的一元二次方程（m﹣1)x²﹣x﹣2=0：（1）若x=﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根。将x=﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2=0，解得：m=2，另一个根为2；（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根。根据判别式，方程有两个不同的实数根当且仅当△=1+8(m-1)>0，解得m>2/3。23.关于x的一元二次方程$(a-6)x^2-8x+9=0$有实根。(1)求$a$的最大整数值；(2)当$a$取最大整数值时，①求出该方程的根；②求$2x^2$的值。【解答】解：(1)根据题意，$\Delta=64-4\times(a-6)\times9\geq0$，且$a-6\neq0$，解得$a\leq7$且$a\neq6$，所以$a$的最大整数值为7；(2)①当$a=7$时，原方程变形为$x^2-8x+9=0$，$\Delta=64-4\times9=28$，$\thereforex_1=\dfrac{8+\sqrt{28}}{2}=4+\sqrt{7}$，$x_2=\dfrac{8-\sqrt{28}}{2}=4-\sqrt{7}$；②由题意，$x_1x_2+|x_1|+|x_2|=7$，又因为$x_1$和$x_2$是实数，所以$x_1$和$x_2$的符号相同，不妨设$x_1>0,x_2>0$，则$x_1+x_2=8>0$，$\therefore|x_1|+|x_2|=x_1+x_2=8$，所以$2x^2=2(x_1^2+x_2^2)=2(x_1+x_2)^2-8x_1x_2=2\times8^2-8\times9=40$。24.关于$x$的方程$x^2-(2k-3)x+k^2+1=0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$。(1)求$k$的取值范围；(2)若$x_1x_2+|x_1|+|x_2|=7$，求$k$的值。【解答】解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴$\Delta=[-(2k-3)]^2-4(k^2+1)=4k^2-12k+5>0$，解得$k<\dfrac{3}{2}$或$k>\dfrac{5}{2}$；(2)∵$k<\dfrac{5}{2}$，∴$x_1+x_2=2k-3<0$，又∵$x_1x_2=k^2+1>0$，∴$x_1<0,x_2<0$，$\therefore|x_1|+|x_2|=-x_1-x_2=2k-3$，所以$x_1x_2+|x_1|+|x_2|=k^2+1+2k-3=7$，解得$k=-1$。25.某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量$y$（千克）与销售单价$x$（元/千克）之间存在如图所示的变化规律。(1)求每月销售量$y$与销售单价$x$之间的函数关系式。(2)若某月该茶叶店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价$x$为多少元。【解答】解：(1)由图可知，当销售单价$x$为50元/千克时，销售量$y$为200千克；当销售单价$x$为90元/千克时，销售量$y$为100千克。因此，可设函数关系式为$y=k(90-x)$，代入已知条件可解得$k=\dfrac{5}{9}$，$\thereforey=\dfrac{5}{9}(90-x)$。(2)设该月销售量为$y_0$千克，销售单价为$x_0$元/千克，则利润为$(x_0-80)y_0=1350$，代入函数关系式可解得$x_0=110$元/千克。某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；信息2：甲商品零售